2023-2024学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省襄阳市襄州区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．方程x（x﹣1）＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝1
C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
2．如图所示图案中不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知⊙O的半径是4cm，点P与⊙O在同一平面内，OP＝3cm，下列结论正确的是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定
4．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝20°，则∠AOD的度数是（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
5．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
6．如图，在⊙O中，＝＝，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．150°
7．某商品原价每件为200元，连续两次降价m%后，售价为162元，则m的值为（ ）
A．5B．10C．15D．20
8．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）
A．3B．4C．D．
9．点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣1上，将y1，y2，y3按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．b＞0B．b2＜4acC．2a﹣b＞0D．a+b+c＞0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．一元二次方程x2﹣6x+m＝0有一个根为2，则另一个根为 ．
13．参加聚会的所有人之间都要互送一张卡片，共送出56张卡片，参加聚会的有 人．
14．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 米．
15．点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点C为⊙O上不与A，B重合的点，若∠P＝80°，则∠ACB的度数是 ．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将OABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0；
（2）x2﹣x＝x+1．
18．如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）请在图1中画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；
（2）请在图2中画出△ABC的外接圆的圆心O．（保留画图过程痕迹）
19．抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点（0，3），且顶点在第四象限．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）请直接写出当0≤x≤3时，y的取值范围．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若EF＝4，DF＝2，求⊙O的半径．
21．关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣3＝0有实数根．
（1）求m的范围；
（2）如果方程两根分别为α，β，若αβ＝17，求m的值．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，AC平分∠BAE，CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接EC，若DE＝1，AE＝2，求EC的长．
23．某批发商出售一种成本价为10元件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与销售价x（元/件）满足一次函数y＝﹣10x+400．这种商品每周的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）该商品销售价定为每件多少元时，每周的销售利润最大？
（3）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？
24．在△AOB中，OA＞OB，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，点M，N分别是AB，CD的中点，连接OM，ON，MN．
（1）证明与推断：如图1，当∠AOB＝90°时，
①求证：△AOM≌△CON；
②推断：△MON是三角形；
（2）类比探究：如图2，当∠AOB＞90°时，判断△MON的形状并证明；
（3）拓展运用：在（2）的条件下，当点N在OB上时（如图3），设AB，CD相交于点E，若AM＝MN，OB＝3，求线段MN的长．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD∥OC交BC于点D，求PD长度的最大值；
（3）当﹣1≤x≤m时，y的最大值与最小值的和是﹣2，求m的值．
参考答案
一、选择题：（本大题共l0个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在括号里.
1．方程x（x﹣1）＝0的根是（ ）
A．x＝0B．x＝1
C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1
【分析】由题意推出x＝0，或（x﹣1）＝0，解方程即可求出x的值．
解：∵x（x﹣1）＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，关键在于根据题意推出x＝0，或（x﹣1）＝0即可．
2．如图所示图案中不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，即可求解．
解：A．图形不是中心对称图形，符合题意；
B．图形是中心对称图形，不符合题意；
C．图形是中心对称图形，不符合题意；
D．图形是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．已知⊙O的半径是4cm，点P与⊙O在同一平面内，OP＝3cm，下列结论正确的是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定
【分析】直接根据点与圆的位置关系解答即可．
解：∵⊙O的半径是4cm，点P与⊙O在同一平面内，OP＝3cm，
∴点P在⊙O内．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；①点P在圆内⇔d＜r是解题的关键．
4．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝20°，则∠AOD的度数是（ ）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【分析】根据旋转的性质得出∠AOC＝60°，∠AOB＝∠COD＝20°，从而可得答案．
解：根据旋转的性质可知∠AOC＝60°，∠AOB＝∠COD＝20°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝40°，
故选：B．
【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．
5．要得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1，可以将抛物线y＝2x2（ ）
A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
解：∵y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标为（4，1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝2x2向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣4）2+1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
6．如图，在⊙O中，＝＝，则∠BOC的度数为（ ）
A．100°B．110°C．120°D．150°
【分析】证明△ABC是等边三角形，求出∠BAC＝60°，根据圆周角定理求出即可．
解：∵＝＝，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠A的度数和根据定理得出∠BOC＝2∠A是解此题的关键．
7．某商品原价每件为200元，连续两次降价m%后，售价为162元，则m的值为（ ）
A．5B．10C．15D．20
【分析】本题中，第一次降价后售价变为200（1﹣m%）元，第二次在200（1﹣m%）元的基础之上又降m%，变为200（1﹣m%）（1﹣m%）即200（1﹣m%）2元，由此可列出方程，求出答案．
解：根据题意得200（1﹣m%）2＝162，
整理得（1﹣m%）2＝0.81，
解之得m%＝1.9（舍去）或m%＝0.1，
所以m＝10．
故选：B．
【点评】此题的关键在于分析降价后的价格，找到关键描述语，利用等量关系准确地列出方程，要注意降价的基础，另外还要注意解的取舍．
8．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ）
A．3B．4C．D．
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长．
解：如图所示：
过点O作OD⊥AB于点D，
∵OB＝3，AB＝4，OD⊥AB，
∴BD＝AB＝×4＝2，
在Rt△BOD中，OD＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键．
9．点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）都在抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣1上，将y1，y2，y3按从小到大排列并用“＜”连接，正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣1的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣1的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，B（﹣2，y2）点离直线x＝﹣1最近，
∴y3＜y1＜y2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．b＞0B．b2＜4acC．2a﹣b＞0D．a+b+c＞0
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
解：由图象开口向上可知：a＞0，
由对称轴可知：﹣＜0，
∴b＞0，故A正确，不合题意；
由图象可知抛物线与x轴有两个交点可知：b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故B错误，符合题意；
∵﹣＞﹣1，a＞0，
∴﹣b＞﹣2a，
∴2a﹣b＞0，故C正确，不合题意；
由图象可知当x＝1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，故D正确，不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，数形结合是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣2） ．
【分析】根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，即可得出答案．
解：根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，
∴点（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣2），
故答案为（3，﹣2）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数，难度较小．
12．一元二次方程x2﹣6x+m＝0有一个根为2，则另一个根为 4 ．
【分析】设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2+t＝6，然后解一次方程即可．
解：设方程另一根为t，
根据题意得2+t＝6，
解得t＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
13．参加聚会的所有人之间都要互送一张卡片，共送出56张卡片，参加聚会的有 8 人．
【分析】设参加聚会的有x人，根据参加聚会的所有人之间都要互送一张卡片，共送出56张卡片，列出一元二次方程，解方程即可．
解：设参加聚会的有x人，
由题意得：x（x﹣1）＝56，
整理得：x2﹣x﹣56＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去），
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 4 米．
【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4），
∴喷水的最大高度为4米，
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
15．点P为⊙O外一点，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，点C为⊙O上不与A，B重合的点，若∠P＝80°，则∠ACB的度数是 50°或130° ．
【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°求出∠AOB，分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可．
解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°，
综上所述：∠ACB的度数是50°或130°，
故答案为：50°或130°．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，灵活运用分情况讨论思想、掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将OABC绕点A旋转，使点C落在AB边上的点E处，点B落在点D处，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，则EF的长为 ．
【分析】过E作EH⊥BC于H，由旋转的性质得到：AE＝AC＝3，DE＝BC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，由勾股定理得到AB＝＝5，求出BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，由△BEH∽△BAC，推出EH：AC＝BH：BC＝BE：AB＝2：5，求出EH＝，BH＝，得到CH＝BC﹣BH＝，得到EH：CH＝BE：DE，即可证明△ECH∽△BDE，得到∠EDF＝∠ECH，由AC＝AE，得到∠ACE＝∠AEC，由余角的性质推出∠DEF＝∠ECH，因此∠EDF＝∠DEF，推出DF＝FE，由余角的性质得到∠EBF＝∠FBE，因此FE＝FB，即可得到FE＝BD，由勾股定理求出BD的长，即可得到EF的长．
解：过E作EH⊥BC于H，
由旋转的性质得到：AE＝AC＝3，DE＝BC＝4，∠AED＝∠ACB＝90°，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，
∵AC⊥BC，EH⊥BC，
∴EH∥AC，
∴△BEH∽△BAC，
∴EH：AC＝BH：BC＝BE：AB＝2：5，
∵AC＝3，BC＝4，
∴EH＝，BH＝，
∴CH＝BC﹣BH＝，
∵EH：CH＝：＝1：2，BE：DE＝2：4＝1：2，
∴EH：CH＝BE：DE，
∵∠ECH＝∠DEB＝90°，
∴△ECH∽△BDE，
∴∠EDF＝∠ECH，
∵AC＝AE，
∴∠ACE＝∠AEC，
∵∠DEF+∠AEC+∠AED＝180°，∠AED＝90°，
∴∠DEF+∠AEC＝90°，
∵∠ECH+∠ACE＝90°，
∴∠DEF＝∠ECH，
∴∠EDF＝∠DEF，
∴DF＝FE，
∵∠EBF+∠EDF＝∠FEB+∠DEF＝90°，
∴∠EBF＝∠FBE，
∴FE＝FB，
∴FE＝BD，
∵BD＝＝＝2，
∴FE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证明△ECH∽△BDE，得到∠EDF＝∠ECH．
三、解答题（本大题共9小题，共72分.解答应写出文
17．用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0；
（2）x2﹣x＝x+1．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法求解可得．
解：（1）（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0，
因式分解得：（x﹣2）[（x﹣2）﹣1]＝0，
即（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0 或 x﹣3＝0，
∴x1＝2，x2＝3；
（2）x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝1+1，
即（x﹣1）2＝2，
∴x﹣1＝±，
∴，x2＝1﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
（1）请在图1中画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1；
（2）请在图2中画出△ABC的外接圆的圆心O．（保留画图过程痕迹）
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）分别作线段BC，AC的垂直平分线，交点即为△ABC的外接圆的圆心O．
解：（1）如图1，△AB1C1即为所求．
（2）如图2，点O即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、三角形的外接圆与外心，熟练掌握旋转的性质、三角形的外接圆与外心是解答本题的关键．
19．抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点（0，3），且顶点在第四象限．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）请直接写出当0≤x≤3时，y的取值范围．
【分析】（1）把点（0，3）代入y＝x2﹣2mx+m2﹣1即可确定m的值，再由抛物线的顶点在第四象限确定m的取值范围，从而确定m的值；
（2）抛物线开口向上，顶点为最低点，x＝2时y取最小值，x＝0时y取最大值．
解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点（0，3），
根据题意，得m2﹣1＝3，
解得，m1＝2，m2＝﹣2，
∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣＞0，即m＞0，
∴m＝2．
∴该抛物线的解析式为 y＝x2﹣4x+3．
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴x＝2时，y有最小值﹣1，
x＝0时，y＝（0﹣2）2﹣1＝3，
∴当0≤x≤3时，﹣1≤y≤3．
【点评】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若EF＝4，DF＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）由等腰三角形的性质推出∠C＝ODB，得到OD∥AC，由圆周角定理得到BE⊥AC，即可证明问题．
（2）设圆的半径为r，由勾股定理得到（r﹣2）2+42＝r2，求出r，即可得到圆的半径长．
【解答】qc解：（1）证明：∵AB＝AC，OB＝OD，
∴∠ABC＝∠C，∠ABC＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE⊥AC，
∴OD⊥BE．
（2）解：∵OD⊥BE，
∴BF＝EF＝4，
设的半径为r，则OF＝r﹣2，
∵BF2+OF2＝OB2，
∴（r﹣2）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，
21．关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2+m﹣3＝0有实数根．
（1）求m的范围；
（2）如果方程两根分别为α，β，若αβ＝17，求m的值．
【分析】（1）根据题意列不等式即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论．
解：（1）根据题意得（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣3）＝﹣4m+12≥0，
解得，m≤3；
（2）由一元二次方程根与系数关系可知，αβ＝m2+m﹣3．
∴m2+m﹣3＝17．
解得 m1＝﹣5，H2＝4．
∵m≤3，
∴m＝﹣5．
【点评】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，正确地解不等式是解题的关键．
22．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，AC平分∠BAE，CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接EC，若DE＝1，AE＝2，求EC的长．
【分析】（1）连接OC，EB，根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠OAC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，等量代换得到∠DAC＝∠OCA，求得AD∥OC，于是得到半径OC⊥CD，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BE交OC于点P，首先证得四边形PCDE是矩形，进而得到PC＝DE＝1，OC⊥BE．进一步得出．最后推导出EC＝OB＝OC＝2．
【解答】（1）证明：连接OC，EB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC＝∠DAC．
∴∠DAC＝∠OCA．
∴AD∥OC．
∴∠ADC＝∠OCF．
∵CD⊥AE，
∴∠OCF＝∠ADF＝90°，
∴半径OC⊥CD．
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接BE交OC于点P，如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BED＝∠ADC＝∠OCD＝90°．
∴四边形PCDE是矩形．
∴PC＝DE＝1，∠CPE＝90°．
∴OC⊥BE．
∴PE＝PB．
∴EC＝BC．
∵OA＝OB，
．
∴OP＝PC．
∴BC＝OB．
∴EC＝OB＝OC＝2．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．某批发商出售一种成本价为10元件的商品，市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与销售价x（元/件）满足一次函数y＝﹣10x+400．这种商品每周的销售利润为w元．
（1）求w与x的函数关系式；
（2）该商品销售价定为每件多少元时，每周的销售利润最大？
（3）商家为了盘活资金，减少库存，要确保这种商品每周的销售量不少于180件，若这种商品每周的销售利润为2000元，则该商品每周的销售量是多少？
【分析】（1）由题意得：w＝（x﹣10）（﹣10x+400），即可求解；
（2）由w＝﹣10x2+500x﹣400＝﹣10（x﹣25）2+2250，即可求解；
（3）根据题意，w＝﹣10x2+500x﹣400＝2000，即可求解．
解：（1）w＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣400．
∴w与x之间的函数关系式是：w＝﹣10x2+500x﹣400；
（2）w＝﹣10x2+500x﹣400＝﹣10（x﹣25）2+2250，
∵﹣10＜0，故w有最大值，
∴当x＝25时，w取最大值．
答：该商品销售价定为每件25元时，每天的销售利润最大；
（3）根据题意，w＝﹣10x2+500x﹣400＝2000，
解得 x＝30或20，
由y＝﹣10x+400≥180，解得x≤22，
∴x＝20．
当x＝20时，y＝﹣10x+400＝200．
答：该商品每周的销售量是200件．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握题目的等量关系是解答本题的关键．
24．在△AOB中，OA＞OB，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，点M，N分别是AB，CD的中点，连接OM，ON，MN．
（1）证明与推断：如图1，当∠AOB＝90°时，
①求证：△AOM≌△CON；
②推断：△MON是三角形；
（2）类比探究：如图2，当∠AOB＞90°时，判断△MON的形状并证明；
（3）拓展运用：在（2）的条件下，当点N在OB上时（如图3），设AB，CD相交于点E，若AM＝MN，OB＝3，求线段MN的长．
【分析】（1）①根据旋转的性质得到OA＝OC，AB＝CD，∠A＝∠C，得到AM＝CN，根据全等三角形 的判定定理即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到OM＝ON，∠AOM＝∠CON，求得∠MON＝90°，根据等腰直角三角形的判定定理得到△MON是三角形；
（2）根据旋转的性质得到OA＝OC，AB＝CD，∠A＝∠C，∠AOC＝90°，根据全等三角形的性质得到OM＝ON，∠AOM＝∠CON，根据等腰直角三角形的判定定理得到△MON是等腰直角三角形；
（3）根据等腰直角三角形的性质得到OM＝ON，∠MON＝90°，设ON＝x．则MN＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）①证明：∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，
∴OA＝OC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵点M，N分别是AC，BD的中点，
∴AM＝AB，CN＝CD，
∴AM＝CN，
∴△AOM≌△CON（SAS）；
②推断：△MON是等腰直角三角形，
理由：△AOM≌△CON，
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝∠COM+∠AOM＝∠AOC＝90°，
∴△MON是三角形；
（2）解：△MON是等腰直角三角形，
证明：∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，
∴OA＝OC，AB＝CD，∠A＝∠C，∠AOC＝90°，
∵点M，N分别是AC，BD的中点，
∴，
∴AM＝CN，
∴△AOM≌△CON（SAS），
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠COM+∠CON＝∠COM+∠AOM＝∠AOC＝90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
（3）解：由（2）可知，△MON是等腰直角三角形，
∴OM＝ON，∠MON＝90°，
∴设ON＝x．
则MN＝x，
∵AM＝MN，OB＝3，
∴BM＝AM＝x，
∵OM2+OB2＝BM2，
∴x2+32＝（x）2，
解得x＝1（负值舍去），
∴MN＝．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD∥OC交BC于点D，求PD长度的最大值；
（3）当﹣1≤x≤m时，y的最大值与最小值的和是﹣2，求m的值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）设P（m，m2﹣2m﹣3），D（m，m﹣3），则FD＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝m2+3m＝，即可求解；
（3）①若﹣1＜m≤1，则当﹣1≤x≤m时，y随x的增大而减小，即可求解；②若m＞1，同理可解．
解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，则a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3．
∴C（0，﹣3）；
（2）设点P的横坐标为m．
由B，C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∴P（m，m2﹣2m﹣3），D（m，m﹣3），
∴FD＝（m﹣3）﹣（m2﹣2m﹣3）＝m2+3m＝，
∵﹣1＜0，0＜m＜3，
∴当 时，PD取最大值，最大值为 ，
∴PD长度的最大值是 ；
（3）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
①若﹣1＜m≤1，则当﹣1≤x≤m时，y随x的增大而减小，
∴当 x＝﹣1 时，y的值最大值为0，
由题意可知：当 x＝m时，y的值最小值为﹣2．
则（m﹣1）2﹣4＝﹣2，
解得：m＝1﹣或1+ （不合题意，舍去），
②若m＞1，则当 x＝1时，y的值最小值为﹣4，
由题意可知；当x＝m时，y的值最大值为2．
∴（m﹣1）2﹣4＝2，
解得：m＝1+或1﹣（不合题意，舍去），
综上可知：m＝1﹣或1+．
【点评】本题主要考查了二次函数应用，求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，由一定的综合性，难度适中．