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人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试复习练习题
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这是一份人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试复习练习题，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版八年级上册 第十一章
三角形
一、单选题
1.（2020·上海模拟）如果一个正多边形的中心角等于 72° ，那么这个多边形的内角和为（ ）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
2.（2019九下·黄石月考）一个三角形的两边分别是2和7，则它的第三边可能是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.（2019七下·丹阳期中）有长为1cm、2cm、3cm、4cm的四根木棒，选其中的3根作为三角形的边，可以围成的三角形的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.（2020·宁波模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=46°，∠1=52°，则∠2=( )
A. 92° B. 94° C. 96° D. 98°
5.（2020八上·扎兰屯期末）长度分别为 2 ， 7 ， x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 9
6.（2021七下·历城期末）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A.1，2，3
B.1，1，2
C.1，2，2
D.1，5，7
7.（2020八上·越城期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是（ ）
A. △ABE的面积＝△BCE的面积 B. ∠AFG＝∠AGF C. BH＝CH D. ∠FAG＝2∠ACF
8.（2021八下·锦江期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是（ ）边形.
A.六
B.七
C.八
D.九
9.（2021九下·曹县期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A1 ， A2 ， A3 ，…， An 在 x 轴上，点 B1 ， B2 ，…， Bn 在直线 y=33x 上，若点 A1 的坐标为 (1,0) ，且 △A1B1A2 ， △A2B2A3 ，…， △AnBnAn+1 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 S1 ， S2 ，．．， Sn ，则 Sn 可表示为（ ）
A. 22n3 B. 22n−13 C. 22n−23 D. 22n−33
10.（2021八上·港南期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法：①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③
11.（2020七下·江阴期中）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则 1x+1y+1z 的值为（ ）
A. 1 B. 23 C. 12 D. 13
12.（2021七上·长沙期末）一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC//DE；②如果BC//AD，则有∠2＝45°；③∠BAE+∠CAD随着∠2的变化而变化；④如果∠4＝45°，那么∠1＝60°，其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题
13.（2019八上·下陆期末）n边形的内角和等于540°，则n=________.
14.（2019八上·永定月考）如图所示，直线AD和BC相交于点O，AB∥CD，∠AOC＝95°，∠B＝50°，则∠D=________
15.（2021八下·上海期中）某多边形的内角和是 1260° ，从这个多边形的一个顶点出发可以作 条对角线.
16.（2020七下·洛南期末）如图，将 △ABC 沿直线AB向右平移后到达 △BDE 的位置，连接CD、CE，若 △ACD 的面积为10，则 △BCE 的面积为 .
17.（2020八上·湛江月考）如图，在 ΔABC 中， BC=3 ，将 ΔABC 平移5个单位长度得到 ΔA1B1C 1，点P、Q分别是 AB 、 A1C1 的中点， PQ 的最小值等于________．
18.（2019八上·潮南期末）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．若△ABC的面积S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝________．
19.（2019七下·南昌期末）如图，在△ABC中，已知点D ， E ， F分别为边BC ， AD ， CE的中点，且 S△ABC=8cm2 ，则阴影部分的面积等于________．
20.（2019八上·和平期中）已知，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A＝α，∠D＝β，
（1）如图①，当α+β＞180°时，∠F＝________（用含α，β的式子表示）；
（2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F ， 且∠F＝________（用含α，β的式子表示）；
（3）当α，β满足条件________时，不存在∠F ．
三、解答题
21.如图，在△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
22.（2019七下·长春期中）已知，如图，O是ΔABC高AD与BE的交点，∠C=50°，求∠AOB的度数.
23.（2019八上·长沙月考）已知三角形的三边长分别为 4 ， a−3 ， 5 ，求 a 的取值范围.
24.（2020八上·台州月考）已知三角形的三边长分别为2，a-1，4，则化简|a-3|+|a-7|.
25.（2019八上·双流开学考）
（1）已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点．如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，求∠BED的度数．
（2）（探究）如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1 ， ∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2 ， ∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3 ， …以此类推，求∠En的度数．
（3）（变式）如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试猜想∠P与∠E的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，
∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．
故答案为：B．
【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．
2.【答案】 D
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】由题意得2+7＞x＞7-2，即9＞x＞5，故答案为：D.
【分析】 根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
3.【答案】 A
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：任取3根可以有以下几组：
①1cm，2cm，3cm，能够组成三角形，
∵1+2＝3，
∴不能组成三角形；
②1cm，2cm，4cm，
∵1+2＜4，
∴不能组成三角形；
③1cm，3cm，4cm，能够组成三角形，
∵1+3＝4，
∴不能组成三角形；
④2cm，3cm，4cm，
能组成三角形，
∴可以围成的三角形的个数是1个．
故答案为：A．
【分析】先写出不同的分组，再根据三角形的任意两边之和大于第三边对各组数据进行判断即可得解．
4.【答案】 D
【考点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠1=∠B=52°，
∵∠2是△ABC的一个外角，
∴∠2=∠A+∠B，
∴∠2=46°+52°=98°.
故答案为：D.
【分析】利用两直线平行，同位角相等求出∠B的度数，再利用三角形外角的性质求出∠2的度数。
5.【答案】 C
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.
6.【答案】 C
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、 1+2=3 ，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、 1+1=2 ，不能构成三角形，故B不符合题意；
C、 1+2>2 ，能构成三角形，故C符合题意；
D、 1+5<7 ，不能构成三角形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各项分析判断即可。
7.【答案】 C
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】A、S△ABE=12×AE×AB，S△BCE=12×CE×AB
∵ BE是中线
∴AE=CE
∴S△ABE=S△BCE
故A正确；
B、∵CF是角平分线
∴∠ACF=∠BCF
∵∠BAC＝90°
∴∠ACF+∠AFG=90°
∵AD是高
∴∠ADC=90°
∴∠DGC+∠BCF=90°
∵∠AGF与∠DGC是对顶角
∴∠AGF=∠DGC
∴∠AGF+∠BCF=90°
又∵∠ACF=∠BCF
∴∠AFG=∠AGF
故B正确；
C、根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故C错误；
D、∵AD为高
∴∠ADB=90°
∴∠ABC+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ABC+∠ACB=90°
∴∠ACB=∠BAD
∵CF是∠ACB的平分线
∴∠ACB=2∠ACF
∴∠BAD=2∠ACF
即∠FAG=2∠ACF，故D正确；
综上所述：不正确的是C，故答案为：C.
【分析】根据中线的性质即可判断A；根据等角的余角相等结合对顶角相等即可判断B；根据等腰三角形的判定判断C；根据三角形内角和定理求出∠BAD=∠ACB，结合角平分线定义即可判断D．
8.【答案】 C
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意得：（n−2）×180°＝360°×3.
解得n＝8.
故答案为：C.
【分析】利用n边形的内角和为（n−2）×180°，根据一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，建立关于n的方程，解方程求出n的值.
9.【答案】 D
【考点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ △A1B1A2 ， △A2B2A3 ，…， △AnBnAn+1 都是等边三角形，
∴ A1B1//A2B2//A3B3//⋅⋅⋅//AnBn ， B1A2//B2A3//B3A4//⋅⋅⋅//BnAn+1 ，
∵直线 y=33x 与 x 轴的成角 ∠B1OA1=30∘ ， ∠OA1B1=120∘ ，
∴ ∠OB1A1=30° ，
∴ OA1=A1B1 ，
∵ A1(1,0) ，
∴ A1B1=1 ，
同理 ∠OB2A2=30∘ ，…， ∠OBnAn=30∘ ，
∴ B2A2=OA2=2 ， B3A3=4 ，…， BnAn=2n−1 ，
易得 ∠OB1A2=90∘ ，…， ∠OBnAn+1=90∘ ，
∴ B1B2=3 ， B2B3=23 ，…， BnBn+1=2n3 ，
∴ S1=12×1×32=34 ， S2=12×2×3=3 ，…， Sn=12×2n−1×2n-23=22n−43 ；
故答案为：D．
【分析】先求出∠OB2A2=30∘ ，…， ∠OBnAn=30∘ ，再根据三角形的面积公式计算求解即可。
10.【答案】 B
【考点】余角、补角及其性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形的外角性质
【解析】【解答】∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故答案为：B．
【分析】 根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC=
∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD=∠ACB，再根据角平分线的定义可对③进行判断．
11.【答案】 C
【考点】多边形内角与外角，平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： （x−2）×180x + （y−2）×180y + （z−2）×180z =360，两边都除以180得：1﹣ 2x +1﹣ 2y +1﹣ 2z =2，两边都除以2得： 1x + 1y + 1z = 12 .
故答案为：C.
【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案.
12.【答案】 B
【考点】平行线的判定与性质，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：①∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝60°，
∵∠AED＝60°，
∴∠1＝∠AED，
∴AC//DE；
所以①正确；
②∵BC//AD，
∴∠B＝∠3＝45°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝45°；
所以②正确；
③∵∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°，
∴∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CAD随着∠2的变化不会发生变化；
所以③错误；
④如图，
∵∠EGF＝∠4＝45°，∠FEG＝60°，
∴∠GFA＝45°+60°＝105°，
∵∠GFA＝∠C+∠1，
∵∠C＝45°，
∴∠1＝60°.
所以④正确.
所以其中正确的是①②④.
故答案为：B.
【分析】① 如果∠2＝30°，则∠1=∠E，则有AC//DE，正确；
② 如果BC//AD，则∠B=∠3=45°，则有∠2＝45° ，正确；
③ ∠BAE+∠CAD =180°，故错误；
④∠4=∠C=45°，则AC//DE，则∠1=∠E=60°，正确.
二、填空题
13.【答案】 5
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和等于540°，
∴180°（n-2）=540°，
解得：n=5.
故答案为：5.
【分析】先由n边形的内角和定理可得方程180°（n-2）=540°，再解此方程即可求得答案.
14.【答案】 45°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°，
∵∠AOC=95°，
∴∠D=∠AOC-∠C=95°-50°=45°
【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据三角形外角性质得出∠D=∠AOC-∠C，代入求出即可．
15.【答案】 6
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为x，根据题意可得
（x-2）×180=1260
解得x=9
∴从多边形一个顶点出发可以作6条对角线。
【分析】根据多边形得内角和公式即可得到多边形得边数，再计算得到对角线的条数。
16.【答案】 5
【考点】三角形的面积，平移的性质
【解析】【解答】解： ∵ △ABC 沿直线AB向右平移后得到 △BDE ，
∴AD//CE，△ABC≅△BDE
又 ∵ 平行线间的距离处处相等，
∴S△BDC=S△BDE=S△BCE
∵S△ADC=S△ABC+S△BDC=2S△BDE=10
∴S△BCE=S△BDE=5
故答案为：5.
【分析】由平移性质，可知 S△BDC=S△BDE=S△BCE ，结合已知条件解题即可.
17.【答案】 72
【考点】三角形三边关系，平移的性质
【解析】【解答】解：取 AC 的中点M， A1B1 的中点N，连接 PM ， MQ ， NQ ， PN ，
∵将 ΔABC 平移5个单位长度得到 ΔA1B1C1 ，
∴ B1C1=BC=3 ， PN=5 ，
∵点 P 、 Q 分别是 AB 、 A1C1 的中点，
∴ NQ=12B1C1=32 ，∴ 5−32≤PQ≤5+32 ，
即 72≤PQ≤132 ，
∴ PQ 的最小值等于 72 ，
故答案为： 72 ．
【分析】取 AC 的中点M， A1B1 的中点N，连接 PM ， MQ ， NQ ， PN ，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
18.【答案】 2
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝ 12 AC，
∵S△ABC＝12，
∴S△ABD＝ 12 S△ABC＝ 12 ×12＝6．
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，
∴S△ABE＝ 13 S△ABC＝ 13 ×12＝4，
∵S△ABD﹣S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF﹣S△BEF ，
即S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
【分析】本题需先分别求出S△ABD ， S△ABE再根据S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE即可求出结果．
19.【答案】 2cm2
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝ 12 EC，高相等；
∴S△BEF＝ 12 S△BEC ，
D、E、分别是BC、AD的中点，同理得，
S△EBC＝ 12 S△ABC ，
∴S△BEF＝ 14 S△ABC ， 且S△ABC＝8cm2 ，
∴S△BEF＝2cm2 ，
即阴影部分的面积为2cm2.
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得S△ABE=12S△ABD ， S△ACE=12S△ACD ， 即可推出S△BEC=12S△ABC ， 再根据S△BEF=12S△BEC即可计算出阴影部分的面积.
20.【答案】 （1）12 （α+β）﹣90°
（2）90°﹣ 12 （α+β）
（3）α+β＝180°
【考点】角的运算，三角形的外角性质，多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图：
由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，
∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠FBC＝ 12 ∠ABC，∠FCE＝ 12 ∠DCE，
∴∠F+∠FBC＝ 12 （∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝ 12 （∠A+∠D）+ 12 ∠ABC﹣90°，
∴∠F＝ 12 （∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A＝α，∠D＝β，
∴∠F＝ 12 （α+β）﹣90°；（2）如图3，
由（1）可知，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
∴∠FCE＝∠F+∠FBC，
∵∠FBC＝ 12 （360°﹣∠ABC），∠FCE＝180°﹣ 12 ∠DCE，
∴∠F=∠FCE﹣∠FBC=180°﹣ 12 （∠A+∠D+∠ABC﹣180°）﹣ 12 （360°﹣∠ABC），
∴∠F=90°﹣ 12 （∠A+∠D）
∴∠F＝90°﹣ 12 （α+β）；（3）当α+β＝180°时，
∴∠F＝90°﹣ 12×180°=0 ，
此时∠F不存在．
【分析】（1）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC= 12 ∠ABC，∠FCE= 12 ∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；（2）与（1）的思路相同，得到∠FBC= 12 ∠ABC，∠FCE= 12 ∠DCE，由外角性质，得到∠F+∠FBC=∠FCE，通过等量代换，求解即可；（3）根据∠F的表示，∠F为0时，不存在．
三、解答题
21.【答案】 解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∴ AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=35°．
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB= 90°，
∴∠BAD=90°-∠B=25°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理
【解析】【分析】先求出 AE是∠BAC的平分线， 再求出 ∠BAE=∠CAE=35° ，最后计算求解即可。
22.【答案】 解：∵在直角△ACD中，∠CAD=90°-∠C=90°-50°=40°，
∠AOB=∠AEO+∠CAD=90°+40°=130゜.
故答案为130°.
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【分析】直角△ACD中利用三角形的内角和定理求得∠CAD的度数，然后在直角△AOE中利用外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．
23.【答案】 解：∵三角形的三边长分别为 4 ， a−3 ， 5 ；
∴5-4
【解析】【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出a的取值范围.
24.【答案】 解：由三角形三边关系得： 2
【考点】绝对值及有理数的绝对值，三角形三边关系
【解析】【分析】由三角形的三边关系可以得到a的取值范围，再根据绝对值的意义进行化简可以得解.
25.【答案】 （1）解：如图1，过E作EF∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE= 12 ∠ABP=25°，∠CDE= 12 ∠CDP=30°，
∴∠BED=25°+30°=55°，
故答案为55°；
（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1 ，
∴∠ABE1= 12 ∠ABP= 12 α，∠CDE1= 12 ∠CDP= 12β ，
∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠AFE1= 12β ，
∴∠E1=∠AFE1﹣∠ABE1= 12β ﹣ 12 α= 12 （β﹣α），
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2 ，
∴∠ABE2= 12 ∠ABE1= 14 α，∠CDE2= 12 ∠CDE1= 14β ，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE2= 14β ，
∴∠E2=∠AGE2﹣∠ABE2= 14 （β﹣α），
同理可得，∠E3= 18 （β﹣α），
以此类推，∠En的度数为 12n （β﹣α）．
（3）∠DEB=90°﹣ 12 ∠P．理由如下：
如图3，过E作EG∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，
∴∠FDE= 12 ∠PDF= 12 （180°﹣∠CDP），∠ABQ= 12 ∠ABP，
∴∠DEB= 12 ∠ABP+ 12 （180°﹣∠CDP）=90°﹣ 12 （∠CDP﹣∠ABP），
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠AHP，
∴∠DEB=90°﹣ 12 （∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣ 12 （∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣ 12 ∠P．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【解析】【分析】过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，依据角平分线即可得出∠BED的度数；【探究】依据平行线的性质以及三角形外角性质，求得∠E1= 12 （β﹣α），∠E2= 14 （β﹣α），∠E3= 18 （β﹣α），以此类推∠En的度数为 12n （β﹣α）；【变式】过E作EG∥AB，进而得出∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠DEB=90°﹣ 12 （∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣ 12 （∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣ 12 ∠P．
人教版八年级上册 第十一章
三角形
一、单选题
1.（2020·上海模拟）如果一个正多边形的中心角等于 72° ，那么这个多边形的内角和为（ ）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
2.（2019九下·黄石月考）一个三角形的两边分别是2和7，则它的第三边可能是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.（2019七下·丹阳期中）有长为1cm、2cm、3cm、4cm的四根木棒，选其中的3根作为三角形的边，可以围成的三角形的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.（2020·宁波模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，点F在BC的延长线上，DE∥BC，∠A=46°，∠1=52°，则∠2=( )
A. 92° B. 94° C. 96° D. 98°
5.（2020八上·扎兰屯期末）长度分别为 2 ， 7 ， x 的三条线段能组成一个三角形，x 的值可以是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 9
6.（2021七下·历城期末）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ）
A.1，2，3
B.1，1，2
C.1，2，2
D.1，5，7
7.（2020八上·越城期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是（ ）
A. △ABE的面积＝△BCE的面积 B. ∠AFG＝∠AGF C. BH＝CH D. ∠FAG＝2∠ACF
8.（2021八下·锦江期末）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是（ ）边形.
A.六
B.七
C.八
D.九
9.（2021九下·曹县期中）如图，在平面直角坐标系中，点 A1 ， A2 ， A3 ，…， An 在 x 轴上，点 B1 ， B2 ，…， Bn 在直线 y=33x 上，若点 A1 的坐标为 (1,0) ，且 △A1B1A2 ， △A2B2A3 ，…， △AnBnAn+1 都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为 S1 ， S2 ，．．， Sn ，则 Sn 可表示为（ ）
A. 22n3 B. 22n−13 C. 22n−23 D. 22n−33
10.（2021八上·港南期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法：①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．其中正确的是（ ）
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③
11.（2020七下·江阴期中）用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面.已知正多边形的边数为x，y，z，则 1x+1y+1z 的值为（ ）
A. 1 B. 23 C. 12 D. 13
12.（2021七上·长沙期末）一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC//DE；②如果BC//AD，则有∠2＝45°；③∠BAE+∠CAD随着∠2的变化而变化；④如果∠4＝45°，那么∠1＝60°，其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题
13.（2019八上·下陆期末）n边形的内角和等于540°，则n=________.
14.（2019八上·永定月考）如图所示，直线AD和BC相交于点O，AB∥CD，∠AOC＝95°，∠B＝50°，则∠D=________
15.（2021八下·上海期中）某多边形的内角和是 1260° ，从这个多边形的一个顶点出发可以作 条对角线.
16.（2020七下·洛南期末）如图，将 △ABC 沿直线AB向右平移后到达 △BDE 的位置，连接CD、CE，若 △ACD 的面积为10，则 △BCE 的面积为 .
17.（2020八上·湛江月考）如图，在 ΔABC 中， BC=3 ，将 ΔABC 平移5个单位长度得到 ΔA1B1C 1，点P、Q分别是 AB 、 A1C1 的中点， PQ 的最小值等于________．
18.（2019八上·潮南期末）如图，△ABC中，点E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点．若△ABC的面积S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝________．
19.（2019七下·南昌期末）如图，在△ABC中，已知点D ， E ， F分别为边BC ， AD ， CE的中点，且 S△ABC=8cm2 ，则阴影部分的面积等于________．
20.（2019八上·和平期中）已知，在四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若∠A＝α，∠D＝β，
（1）如图①，当α+β＞180°时，∠F＝________（用含α，β的式子表示）；
（2）如图②，当α+β＜180°时，请在图②中，画出∠F ， 且∠F＝________（用含α，β的式子表示）；
（3）当α，β满足条件________时，不存在∠F ．
三、解答题
21.如图，在△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．
22.（2019七下·长春期中）已知，如图，O是ΔABC高AD与BE的交点，∠C=50°，求∠AOB的度数.
23.（2019八上·长沙月考）已知三角形的三边长分别为 4 ， a−3 ， 5 ，求 a 的取值范围.
24.（2020八上·台州月考）已知三角形的三边长分别为2，a-1，4，则化简|a-3|+|a-7|.
25.（2019八上·双流开学考）
（1）已知直线AB∥CD，点P为平行线AB，CD之间的一点．如图1，若∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，求∠BED的度数．
（2）（探究）如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=α，∠CDP=β，∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1 ， ∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2 ， ∠ABE2与∠CDE2的角平分线交于点E3 ， …以此类推，求∠En的度数．
（3）（变式）如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，试猜想∠P与∠E的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，
∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．
故答案为：B．
【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．
2.【答案】 D
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】由题意得2+7＞x＞7-2，即9＞x＞5，故答案为：D.
【分析】 根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
3.【答案】 A
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：任取3根可以有以下几组：
①1cm，2cm，3cm，能够组成三角形，
∵1+2＝3，
∴不能组成三角形；
②1cm，2cm，4cm，
∵1+2＜4，
∴不能组成三角形；
③1cm，3cm，4cm，能够组成三角形，
∵1+3＝4，
∴不能组成三角形；
④2cm，3cm，4cm，
能组成三角形，
∴可以围成的三角形的个数是1个．
故答案为：A．
【分析】先写出不同的分组，再根据三角形的任意两边之和大于第三边对各组数据进行判断即可得解．
4.【答案】 D
【考点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠1=∠B=52°，
∵∠2是△ABC的一个外角，
∴∠2=∠A+∠B，
∴∠2=46°+52°=98°.
故答案为：D.
【分析】利用两直线平行，同位角相等求出∠B的度数，再利用三角形外角的性质求出∠2的度数。
5.【答案】 C
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．
4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，
故答案为：C．
【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.
6.【答案】 C
【考点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、 1+2=3 ，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、 1+1=2 ，不能构成三角形，故B不符合题意；
C、 1+2>2 ，能构成三角形，故C符合题意；
D、 1+5<7 ，不能构成三角形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，对各项分析判断即可。
7.【答案】 C
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】A、S△ABE=12×AE×AB，S△BCE=12×CE×AB
∵ BE是中线
∴AE=CE
∴S△ABE=S△BCE
故A正确；
B、∵CF是角平分线
∴∠ACF=∠BCF
∵∠BAC＝90°
∴∠ACF+∠AFG=90°
∵AD是高
∴∠ADC=90°
∴∠DGC+∠BCF=90°
∵∠AGF与∠DGC是对顶角
∴∠AGF=∠DGC
∴∠AGF+∠BCF=90°
又∵∠ACF=∠BCF
∴∠AFG=∠AGF
故B正确；
C、根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故C错误；
D、∵AD为高
∴∠ADB=90°
∴∠ABC+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ABC+∠ACB=90°
∴∠ACB=∠BAD
∵CF是∠ACB的平分线
∴∠ACB=2∠ACF
∴∠BAD=2∠ACF
即∠FAG=2∠ACF，故D正确；
综上所述：不正确的是C，故答案为：C.
【分析】根据中线的性质即可判断A；根据等角的余角相等结合对顶角相等即可判断B；根据等腰三角形的判定判断C；根据三角形内角和定理求出∠BAD=∠ACB，结合角平分线定义即可判断D．
8.【答案】 C
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意得：（n−2）×180°＝360°×3.
解得n＝8.
故答案为：C.
【分析】利用n边形的内角和为（n−2）×180°，根据一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，建立关于n的方程，解方程求出n的值.
9.【答案】 D
【考点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ △A1B1A2 ， △A2B2A3 ，…， △AnBnAn+1 都是等边三角形，
∴ A1B1//A2B2//A3B3//⋅⋅⋅//AnBn ， B1A2//B2A3//B3A4//⋅⋅⋅//BnAn+1 ，
∵直线 y=33x 与 x 轴的成角 ∠B1OA1=30∘ ， ∠OA1B1=120∘ ，
∴ ∠OB1A1=30° ，
∴ OA1=A1B1 ，
∵ A1(1,0) ，
∴ A1B1=1 ，
同理 ∠OB2A2=30∘ ，…， ∠OBnAn=30∘ ，
∴ B2A2=OA2=2 ， B3A3=4 ，…， BnAn=2n−1 ，
易得 ∠OB1A2=90∘ ，…， ∠OBnAn+1=90∘ ，
∴ B1B2=3 ， B2B3=23 ，…， BnBn+1=2n3 ，
∴ S1=12×1×32=34 ， S2=12×2×3=3 ，…， Sn=12×2n−1×2n-23=22n−43 ；
故答案为：D．
【分析】先求出∠OB2A2=30∘ ，…， ∠OBnAn=30∘ ，再根据三角形的面积公式计算求解即可。
10.【答案】 B
【考点】余角、补角及其性质，三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，三角形的外角性质
【解析】【解答】∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC＋∠BCF，∠AGF＝∠CAD＋∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，∠ABC＋∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故答案为：B．
【分析】 根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC=
∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD=∠ACB，再根据角平分线的定义可对③进行判断．
11.【答案】 C
【考点】多边形内角与外角，平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：由题意知，这3种多边形的3个内角之和为360度，已知正多边形的边数为x、y、z，那么这三个多边形的内角和可表示为： （x−2）×180x + （y−2）×180y + （z−2）×180z =360，两边都除以180得：1﹣ 2x +1﹣ 2y +1﹣ 2z =2，两边都除以2得： 1x + 1y + 1z = 12 .
故答案为：C.
【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案.
12.【答案】 B
【考点】平行线的判定与性质，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：①∵∠2＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠2＝60°，
∵∠AED＝60°，
∴∠1＝∠AED，
∴AC//DE；
所以①正确；
②∵BC//AD，
∴∠B＝∠3＝45°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝45°；
所以②正确；
③∵∠1+∠2＝∠3+∠2＝90°，
∴∠BAE+∠CAD=∠1+∠2+∠2+∠3=180°，
∴∠BAE+∠CAD随着∠2的变化不会发生变化；
所以③错误；
④如图，
∵∠EGF＝∠4＝45°，∠FEG＝60°，
∴∠GFA＝45°+60°＝105°，
∵∠GFA＝∠C+∠1，
∵∠C＝45°，
∴∠1＝60°.
所以④正确.
所以其中正确的是①②④.
故答案为：B.
【分析】① 如果∠2＝30°，则∠1=∠E，则有AC//DE，正确；
② 如果BC//AD，则∠B=∠3=45°，则有∠2＝45° ，正确；
③ ∠BAE+∠CAD =180°，故错误；
④∠4=∠C=45°，则AC//DE，则∠1=∠E=60°，正确.
二、填空题
13.【答案】 5
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵n边形的内角和等于540°，
∴180°（n-2）=540°，
解得：n=5.
故答案为：5.
【分析】先由n边形的内角和定理可得方程180°（n-2）=540°，再解此方程即可求得答案.
14.【答案】 45°
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【解析】【解答】∵AB∥CD，∠B=50°，
∴∠C=∠B=50°，
∵∠AOC=95°，
∴∠D=∠AOC-∠C=95°-50°=45°
【分析】根据平行线的性质求出∠C，根据三角形外角性质得出∠D=∠AOC-∠C，代入求出即可．
15.【答案】 6
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为x，根据题意可得
（x-2）×180=1260
解得x=9
∴从多边形一个顶点出发可以作6条对角线。
【分析】根据多边形得内角和公式即可得到多边形得边数，再计算得到对角线的条数。
16.【答案】 5
【考点】三角形的面积，平移的性质
【解析】【解答】解： ∵ △ABC 沿直线AB向右平移后得到 △BDE ，
∴AD//CE，△ABC≅△BDE
又 ∵ 平行线间的距离处处相等，
∴S△BDC=S△BDE=S△BCE
∵S△ADC=S△ABC+S△BDC=2S△BDE=10
∴S△BCE=S△BDE=5
故答案为：5.
【分析】由平移性质，可知 S△BDC=S△BDE=S△BCE ，结合已知条件解题即可.
17.【答案】 72
【考点】三角形三边关系，平移的性质
【解析】【解答】解：取 AC 的中点M， A1B1 的中点N，连接 PM ， MQ ， NQ ， PN ，
∵将 ΔABC 平移5个单位长度得到 ΔA1B1C1 ，
∴ B1C1=BC=3 ， PN=5 ，
∵点 P 、 Q 分别是 AB 、 A1C1 的中点，
∴ NQ=12B1C1=32 ，∴ 5−32≤PQ≤5+32 ，
即 72≤PQ≤132 ，
∴ PQ 的最小值等于 72 ，
故答案为： 72 ．
【分析】取 AC 的中点M， A1B1 的中点N，连接 PM ， MQ ， NQ ， PN ，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
18.【答案】 2
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝ 12 AC，
∵S△ABC＝12，
∴S△ABD＝ 12 S△ABC＝ 12 ×12＝6．
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，
∴S△ABE＝ 13 S△ABC＝ 13 ×12＝4，
∵S△ABD﹣S△ABE＝（S△ADF+S△ABF）﹣（S△ABF+S△BEF）＝S△ADF﹣S△BEF ，
即S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE＝6﹣4＝2．
故答案为：2．
【分析】本题需先分别求出S△ABD ， S△ABE再根据S△ADF﹣S△BEF＝S△ABD﹣S△ABE即可求出结果．
19.【答案】 2cm2
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF＝ 12 EC，高相等；
∴S△BEF＝ 12 S△BEC ，
D、E、分别是BC、AD的中点，同理得，
S△EBC＝ 12 S△ABC ，
∴S△BEF＝ 14 S△ABC ， 且S△ABC＝8cm2 ，
∴S△BEF＝2cm2 ，
即阴影部分的面积为2cm2.
【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得S△ABE=12S△ABD ， S△ACE=12S△ACD ， 即可推出S△BEC=12S△ABC ， 再根据S△BEF=12S△BEC即可计算出阴影部分的面积.
20.【答案】 （1）12 （α+β）﹣90°
（2）90°﹣ 12 （α+β）
（3）α+β＝180°
【考点】角的运算，三角形的外角性质，多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图：
由四边形内角和定理得，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
由三角形的外角性质得，∠FCE＝∠F+∠FBC，
∵BF、CF分别是∠ABC和∠DCE的平分线，
∴∠FBC＝ 12 ∠ABC，∠FCE＝ 12 ∠DCE，
∴∠F+∠FBC＝ 12 （∠A+∠D+∠ABC﹣180°）＝ 12 （∠A+∠D）+ 12 ∠ABC﹣90°，
∴∠F＝ 12 （∠A+∠D）﹣90°，
∵∠A＝α，∠D＝β，
∴∠F＝ 12 （α+β）﹣90°；（2）如图3，
由（1）可知，∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC，
∴∠DCE＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D﹣∠ABC）＝∠A+∠D+∠ABC﹣180°，
∴∠FCE＝∠F+∠FBC，
∵∠FBC＝ 12 （360°﹣∠ABC），∠FCE＝180°﹣ 12 ∠DCE，
∴∠F=∠FCE﹣∠FBC=180°﹣ 12 （∠A+∠D+∠ABC﹣180°）﹣ 12 （360°﹣∠ABC），
∴∠F=90°﹣ 12 （∠A+∠D）
∴∠F＝90°﹣ 12 （α+β）；（3）当α+β＝180°时，
∴∠F＝90°﹣ 12×180°=0 ，
此时∠F不存在．
【分析】（1）根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC= 12 ∠ABC，∠FCE= 12 ∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；（2）与（1）的思路相同，得到∠FBC= 12 ∠ABC，∠FCE= 12 ∠DCE，由外角性质，得到∠F+∠FBC=∠FCE，通过等量代换，求解即可；（3）根据∠F的表示，∠F为0时，不存在．
三、解答题
21.【答案】 解：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，
∴ AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=35°．
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB= 90°，
∴∠BAD=90°-∠B=25°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°．
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理
【解析】【分析】先求出 AE是∠BAC的平分线， 再求出 ∠BAE=∠CAE=35° ，最后计算求解即可。
22.【答案】 解：∵在直角△ACD中，∠CAD=90°-∠C=90°-50°=40°，
∠AOB=∠AEO+∠CAD=90°+40°=130゜.
故答案为130°.
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【分析】直角△ACD中利用三角形的内角和定理求得∠CAD的度数，然后在直角△AOE中利用外角的性质：三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．
23.【答案】 解：∵三角形的三边长分别为 4 ， a−3 ， 5 ；
∴5-4
【解析】【分析】根据三角形的三边关系列出不等式即可求出a的取值范围.
24.【答案】 解：由三角形三边关系得： 2
【考点】绝对值及有理数的绝对值，三角形三边关系
【解析】【分析】由三角形的三边关系可以得到a的取值范围，再根据绝对值的意义进行化简可以得解.
25.【答案】 （1）解：如图1，过E作EF∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠FEB，∠CDE=∠FED，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，
又∵∠ABP=50°，∠CDP=60°，BE平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠ABE= 12 ∠ABP=25°，∠CDE= 12 ∠CDP=30°，
∴∠BED=25°+30°=55°，
故答案为55°；
（2）如图2，∵∠ABP和∠CDP的平分线交于点E1 ，
∴∠ABE1= 12 ∠ABP= 12 α，∠CDE1= 12 ∠CDP= 12β ，
∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠AFE1= 12β ，
∴∠E1=∠AFE1﹣∠ABE1= 12β ﹣ 12 α= 12 （β﹣α），
∵∠ABE1与∠CDE1的角平分线交于点E2 ，
∴∠ABE2= 12 ∠ABE1= 14 α，∠CDE2= 12 ∠CDE1= 14β ，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE2= 14β ，
∴∠E2=∠AGE2﹣∠ABE2= 14 （β﹣α），
同理可得，∠E3= 18 （β﹣α），
以此类推，∠En的度数为 12n （β﹣α）．
（3）∠DEB=90°﹣ 12 ∠P．理由如下：
如图3，过E作EG∥AB，而AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠MBE=∠BEG，∠FDE=∠GED，
∴∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，
又∵∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E，
∴∠FDE= 12 ∠PDF= 12 （180°﹣∠CDP），∠ABQ= 12 ∠ABP，
∴∠DEB= 12 ∠ABP+ 12 （180°﹣∠CDP）=90°﹣ 12 （∠CDP﹣∠ABP），
∵AB∥CD，
∴∠CDP=∠AHP，
∴∠DEB=90°﹣ 12 （∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣ 12 （∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣ 12 ∠P．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【解析】【分析】过E作EF∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠CDE，依据角平分线即可得出∠BED的度数；【探究】依据平行线的性质以及三角形外角性质，求得∠E1= 12 （β﹣α），∠E2= 14 （β﹣α），∠E3= 18 （β﹣α），以此类推∠En的度数为 12n （β﹣α）；【变式】过E作EG∥AB，进而得出∠DEB=∠BEG+∠DEG=∠MBE+∠FDE=∠ABQ+∠FDE，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠DEB=90°﹣ 12 （∠CDP﹣∠ABP）=90°﹣ 12 （∠AHP﹣∠ABP）=90°﹣ 12 ∠P．
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