必修第一册综合测评

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一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.函数y=ln(1-x)的定义域为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.(-∞,0) B.(-∞,1)

C.(0,+∞) D.(1,+∞)

2.已知全集U={0,1,2,3},∁UA={0,2},则集合A的真子集共有(　　)

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

3.命题“∃x>1,x+ex≥2”的否定形式是(　　)

A.∀x≤1,x+ex<2 B.∀x>1,x+ex<2

C.∃x>1,x+ex<2 D.∃x≤1,x+ex<2

4.若关于x的不等式kx2-kx<1的解集是全体实数,则实数k的取值范围是(　　)

A.-4<k<0 B.-4<k≤0

C.k<-4或k>0 D.k<-4或k≥0

5.方程log3x-8+2x=0的解所在的区间是(　　)

A.(1,2) B.(2,3)

C.(3,4) D.(5,6)

6.已知函数f(x)=sin(3x+φ)的图象的一个对称中心是,则φ的可能取值为(　　)

A. B.- C. D.-

7.若x,y是正数,且=1,则xy有(　　)

A.最大值36 B.最小值

C.最小值36 D.最大值

8.现有四个函数:(1)y=x·sin x;(2)y=x·cos x;(3)y=x·|cos x|;(4)y=x·2x,其部分图象如图所示,则上述函数对应的图象序号排列正确的一组是(　　)

A.①③④② B.①④③②

C.④①②③ D.③④②①

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.设a>0,b>0,给出的下列不等式中恒成立的是(　　)

A.a2+1>a B.a2+9>6a

C.(a+b)≥4 D.≥4

10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分数据如下表所示,则下列结论正确的是(　　)

A.函数解析式为f(x)=3sin

B.函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=-

C.是函数f(x)图象的一个对称中心

D.函数f(x)的图象先向左平移个单位长度,再向下平移2个单位长度所得的函数为奇函数

11.下列关于函数f(x)=的性质描述正确的是(　　)

A. f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1]

B. f(x)的值域为(-1,1)

C. f(x)在定义域上是增函数

D. f(x)的图象关于原点对称

12.给出下列命题,其中真命题的是(　　)

A.tan 1<-tan 2

B.∀x∈(2,+∞),都有x2>2x

C.函数y=sin图象的一个对称中心为

D.若命题p:∃x0∈R, f(x0)=a+x0+a=0是假命题,则a∈∪

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答

案填在题中横线上)

13.(lg 2)2+(lg 5)2+lg 4·lg 5=　　　　. 

14.若角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边所在直线过点(3,-4),则sin=　　　　. 

15.已知f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=2x,当x<0时, f(x)=　　　;若f(1-2x)<f(3),则x的取值范围是　　　　　　. 

16.设函数f(x)=+aex(a为常数),若∀x∈R,f(x)≥3恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=(x∈R).

(1)求函数f(x)的单调递减区间;

(2)当x∈时,求f(x)的值域.

18.(本小题满分12分)已知全集为R,集合A=,集合B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}.

(1)若B⊆∁RA,求实数a的取值范围;

(2)从下面所给的三个条件中选择一个,说明它是B⊆∁RA的什么条件(从“充分不必要条要”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选一个).

①a∈[-7,12);②a∈(-6,12];③a∈(6,12].

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=是奇函数.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)函数f(x)在(0,)上单调递增,试求p的最大值.

20.(本小题满分12分)某市将举办2020年新年大型花卉展览活动,举办方将建一块占地10 000平方米的矩形展览场地ABCD,设计要求该场地的任何一边长度不得超过200米.场地中间设计三个矩形展览花圃①,②,③,其中花圃②与③是全等的矩形,每个花圃周围均是宽为5米的赏花路径,①号花圃的一边长度为25米.如图所示,设三个花圃占地总面积为S平方米,矩形展览场地BC的长为x米.

(1)试将S表示为x的函数,并写出定义域;

(2)应该如何设计矩形展览场地的边长,使花圃占地总面积S取得最大值?

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x,g(x)=log2x,x0是方程f(x)=-x的根.

(1)证明是方程g(x)=-x的根;

(2)设方程f(x-1)=-x的根分别是x1,x2,求x1+x2的值.

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-ax-6(a为常数,a∈R).给出四个函数:①g1(x)=2x+1;②g2(x)=3x;③g3(x)=log2x;④g4(x)=cos x.

(1)当a=5时,求不等式f[g2(x)]≥0的解集;

(2)求函数y=f[g4(x)]的最小值;

(3)在给出的四个函数中,请选择一个函数(不需写出选择过程和理由),该函数记为g(x),g(x)满足条件:存在实数a,使得关于x的不等式f[g(x)]≤0的解集为[s,t],其中常数s,t∈R,且s>0.对选择的g(x)和任意x∈[2,4],不等式f[g(x)]≤0恒成立,求实数a的取值范围.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.B　由1-x>0,得x<1,故选B.

2.A　全集U={0,1,2,3},∁UA={0,2},则A={1,3},故集合A的真子集共有22-1=3(个).故选A.

3.B　命题“∃x>1,x+ex≥2”的否定形式是“∀x>1,x+ex<2”.故选B.

4.B　当k=0时,0<1恒成立,

当k≠0时,要使kx2-kx-1<0的解集是全体实数,

只需满足解得-4<k<0.

综上,-4<k≤0.故选B.

5.C　令f(x)=log3x-8+2x,

∴f(1)=log31-8+2=-6<0, f(2)=log32-4<0, f(3)=log33-8+6=-1<0, f(4)=log34>0, f(5)=log35+2>0, f(6)=log36+4>0,

∴f(3)·f(4)<0,

∵函数f(x)=log3x-8+2x在定义域上的图象是不间断的,

∴函数f(x)的零点所在的区间是(3,4).

故选C.

6.D　∵函数f(x)=sin(3x+φ)的图象的一个对称中心是,

∴f=0,

∴-+φ=kπ,k∈Z,

即φ=kπ+,k∈Z,

当k=-2时,φ=-.

故选D.

7.C　=1≥2,

∴xy≥36,当且仅当,

即x=18,y=2时,等号成立.

故选C.

8.A　(1)y=x·sin x为偶函数,它的图象关于y轴对称,故对应题图①;

(2)y=x·cos x为奇函数,它的图象关于原点对称,它在上的值为正数,在上的值为负数,故对应题图③;

(3)y=x·|cos x|为奇函数,当x>0时,　f(x)≥0,故对应题图④;

(4)y=x·2x为非奇非偶函数,故它的图象没有对称性,故对应题图②.故选A.

二、多项选择题

9.ACD　a>0,b>0,

a2+1-a=>0,故A恒成立;

a2+9-6a=(a-3)2≥0,故B不恒成立;

(a+b)+1≥2+2=4,

当且仅当,

即a=b时取等号,故C恒成立;

∵a+≥2,b+≥2,

∴≥4,当且仅当a=,即a=b=1时取等号,故D恒成立.

故选ACD.

10.BCD　设函数的最小正周期为T.由题中表格数据可得A×0+B=2⇒B=2,A+B=5⇒A=3,

⇒=π⇒ω=2,

2×⇒φ=,

∴f(x)=3sin+2,故A错误;

令g(x)=3sin,

∵g=-3,

∴直线x=-是函数g(x)图象的一条对称轴,即为f(x)图象的一条对称轴,故B正确;

∵g=0,

∴是函数g(x)图象的一个对称中心,

∴ 是函数f(x)图象的一个对称中心,故C正确;

函数f(x)的图象先向左平移个单位长度,再向下平移2个单位长度所得的函数为y=3sin+2-2=-3·sin 2x,易知该函数为奇函数,故D正确.

故选BCD.

11.ABD　对于A,解得-1≤x≤1且x≠0,可得函数f(x)=的定义域为[-1,0)∪(0,1],

故A正确;

对于B,由选项A可得f(x)=,即f(x)=,

当0<x≤1时,f(x)=-∈(-1,0],

当-1≤x<0时,f(x)=∈[0,1),可得函数f(x)的值域为(-1,1),故B正确;

对于C, f(-1)=f(1)=0,

则f(x)在定义域上不是增函数,故C错误;

对于D,因为f(x)=的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,

 f(-x)==-f(x),

所以f(x)为奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,故D正确.

故选ABD.

12.ACD　因为-tan 2=tan(π-2),0<1<π-2<,所以tan 1<-tan 2,

故A是真命题;

当x=4时,42=24,故B是假命题;

令2x-=kπ(k∈Z),解得x=(k∈Z),

所以函数y=sin图象的对称中心为,k∈Z,

当k=0时,可得对称中心为,故C是真命题;

因为p为假命题,所以¬p为真命题,

即∀x0∈R,使得f(x0)=a+x0+a≠0,

故Δ=1-4a2<0,且a≠0,解得a<-或a>,故D是真命题.

故选ACD.

三、填空题

13.答案　1

解析　(lg 2)2+(lg 5)2+lg 4·lg 5

=(lg 2)2+(lg 5)2+lg 22·lg 5

=(lg 2)2+(lg 5)2+2lg 2·lg 5

=(lg 2+lg 5)2

=[lg(2×5)]2

=1.

14.答案　-

解析　由题意可得cos α=,所以sin=-cos α=-.

15.答案　2-x;{x|-1<x<2}

解析　设x<0,则-x>0,

因为当x≥0时, f(x)=2x,

所以f(-x)=2-x,

又函数f(x)为定义在R上的偶函数,

所以f(-x)=f(x)=2-x,

所以当x<0时, f(x)=2-x.

因为f(x)=2x在[0,+∞)上为增函数,且f(1-2x)<f(3),

所以|1-2x|<3,解得-1<x<2,

故x的取值范围是{x|-1<x<2}.

16.答案　

解析　若∀x∈R,f(x)≥3恒成立,

则+aex≥3恒成立,则a≥,

设g(x)=,

令t=,t∈(0,+∞),

则g(x)=y=3t-t2=-,

当t=时,ymax=,

所以a≥.

四、解答题

17.解析　(1)由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,(2分)

所以函数f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(5分)

(2)当x∈时,-≤2x-≤,(7分)

所以-1≤sin≤,

所以-≤≤1,

所以函数f(x)的值域是[-,1].(10分)

18.解析　(1)集合A==(-∞,-3)∪(6,+∞),

 所以∁RA=[-3,6],

集合B={x∈R|2x2-(a+10)x+5a≤0}={x∈R|(2x-a)(x-5)≤0},(2分)

因为B⊆∁RA,且5∈∁RA=[-3,6],

所以只需-3≤≤6,

所以-6≤a≤12.(6分)

(2)由(1)可知B⊆∁RA的充要条件是a∈[-6,12].(8分)

选择①,[-7,12)不属于[-6,12]且[-6,12]不属于[-7,12),则a∈[-7,12)是B⊆∁RA的既不充分又不必要条件;

选择②,(-6,12]属于[-6,12],但[-6,12]不属于(-6,12],则a∈(-6,12]是B⊆∁RA的充分不必要条件;

选择③,(6,12]属于[-6,12],但[-6,12]不属于[6,12],则a∈(6,12]是B⊆∁RA的充分不必要条件.(12分)

19.解析　(1)∵函数f(x)=是奇函数,

∴f(-x)+f(x)=0,即=0,

即=0,即a+3x=3x-a,解得a=0,

所以f(x)=.(4分)

(2)f(x)=,

设g(x)=x+,任取0<x1<x2,

则g(x1)-g(x2)=x1+,

当0<x1<x2≤时,x1-x2<0,且x1x2-2<0,

则g(x1)>g(x2),则g(x)=x+在(0,)上为减函数,(8分)

所以函数f(x)在(0,)上为增函数.(10分)

若函数f(x)在(0,)上单调递增,则(0,)⊆(0,),所以≤,所以0<p≤2,所以p的最大值为2.(12分)

20.解析　(1)易知花圃①的EF边的长为(x-10)米,花圃②与③的一边长为米,其邻边长为米,

所以S=2×+25×(x-10)=10 350-15,

又故50≤x≤200,

故S=10 350-15,x∈[50,200].(8分)

(2)由基本不等式可得x+≥2=200,当且仅当x=,

即x=100时,等号成立,

故当x=100时,Smax=7 350,

即矩形展览场地BC的长为100米时,花圃占地总面积S取得最大值,最大为7 350平方米.(12分)

21.解析　(1)证明:因为x0是方程f(x)=-x的根,所以-x0,

即x0=,

g(,

所以是方程g(x)=-x的根.(6分)

(2)由题意知,方程2x-1=-x的根分别为x1,x2,

即方程2x-1=-(x-1)的根分别为x1,x2,

令t=x-1,

设方程2t=-t的根分别为t1=x1-1,t2=x2-1,(8分)

由题意知t1是方程2t=-t的根,是方程log2t=-t的根.

令h(t)=log2t+t-,则是h(t)=0的零点,

又因为h(t)是(0,+∞)上的增函数,

所以是h(t)=0的唯一零点,即是方程log2t=-t的唯一根.

所以=t2,

所以t1+t2=t1+,

即(x1-1)+(x2-1)=,

所以x1+x2=.(12分)

22.解析　(1)当a=5时, f(x)=x2-5x-6.

令u=g2(x),因为u2-5u-6≥0的解为u≤-1或u≥6,

所以3x≤-1(舍去)或3x≥6,故x≥1+log32,

所以f[g2(x)]≥0的解集为[1+log32,+∞).(4分)

(2)令t=g4(x)=cos x,x∈R,则t∈[-1,1],令h(t)=t2-at-6,t∈[-1,1],

则函数y=f[g4(x)]的最小值即为h(t)的最小值.

当∈(-1,1),即-2<a<2时, h(t)min=--6;

当≤-1,即a≤-2时,h(t)min=a-5;

当≥1,即a≥2时, h(t)min=-a-5.(7分)

故ymin=h(t)min=(8分)

(3)取g(x)=g3(x)=log2x,

令m=log2x,设m2-am-6≤0的解集为闭区间[m1,m2],

由m1≤m≤m2得≤x≤,故f[g(x)]≤0的解集为[],

取s=,则s>0,故g(x)满足条件.

当x∈[2,4]时,m∈[1,2],

故f(m)≤0在[1,2]上恒成立,

故解得a≥-1,

所以实数a的取值范围是a≥-1.(12分)