新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】章末检测试卷(七)

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章末检测试卷(七)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若扇形的面积为16 cm2，圆心角为2 rad，则该扇形的弧长为(　　)
A．4 cm B．8 cm C．12 cm D．16 cm
答案　B
解析　S＝|α|r2＝r2＝16，
∴r＝4，l＝|α|r＝2×4＝8，故选B.
2．若α是第三象限角，则π－是(　　)
A．第一或第二象限角
B．第一或第三象限角
C．第二或第三象限角
D．第二或第四象限角
答案　B
解析　∵α是第三象限角，
∴2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，
∴kπ＋< ∴－kπ－<－<－kπ－，k∈Z.
∴－kπ＋<π－<－kπ＋，k∈Z.
当k为偶数时，π－是第一象限角；
当k为奇数时，π－是第三象限角．
3．已知角θ终边经过点(3，－4)，则等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　C
解析　由三角函数的定义可得tan θ＝－，
因此，
＝＝－＝.
4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案　A
解析　∵最小正周期为π，∴ω＝2，
又图象关于直线x＝对称，
∴f ＝±1，故只有A符合．
5.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的减区间为(　　)

A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　A
解析　易得周期T满足T＝－＝π，故T＝π.且图中最高点横坐标x＝－T＝－×π＝.故一个减区间为＝.
又函数周期为T＝π.
故减区间为，k∈Z.
6.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．如图，画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A，C处作圆弧的切线，两条切线交于B点，测得如下数据：AB＝6 cm，BC＝6 cm，AC＝10.392 cm(其中≈0.866)．根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于(　　)


A. B.
C. D.
答案　A
解析　依题意知AB＝BC＝6，设∠ABC＝2θ.
则sin θ＝＝0.866≈.
∴θ＝，2θ＝.
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α，
则α＋2θ＝π，
∴α＝.
7．若把函数y＝f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度，沿y轴向下平移1个单位长度，然后再把图象上每个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sin x的图象，则y＝f(x)的解析式为(　　)
A．y＝sin＋1 B．y＝sin＋1
C．y＝sin－1 D．y＝sin－1
答案　B
解析　把函数y＝sin x图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标保持不变)，得到y＝sin 2x，沿y轴向上平移1个单位长度，得到y＝sin 2x＋1，图象沿x轴向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2＋1＝sin＋1.
8．方程lg|x|＝sin的实数根的个数为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　C
解析　由≤1得－1≤lg|x|≤1，
即≤|x|≤10，
方程lg|x|＝sin实数根的个数就是函数y＝lg|x|与y＝sin图象公共点的个数，
当x>0时，两函数图象如图所示，

两图象有3个公共点，同理，当x<0时，两图象也有3个公共点，故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列函数中最小正周期为π的是(　　)
A．y＝cos|2x|
B．y＝|cos x|
C．y＝cos
D．y＝tan
答案　ABC
解析　A中，y＝cos|2x|＝cos 2x，其最小正周期为π；B中，知y＝|cos x|是y＝cos x将x轴下方的部分向上翻折得到的，故周期减半，即y＝|cos x|的最小正周期为π；
C中，y＝cos的最小正周期T＝＝π；
D中，y＝tan的最小正周期T＝.


10．已知函数f(x)＝2sin＋1，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于点对称
B．函数f(x)图象的一条对称轴是x＝－
C．若x∈，则函数f(x)的最小值为＋1
D．若0 答案　BC
解析　A项，令2x－＝kπ(k∈Z)知函数f(x)关于点(k∈Z)对称，所以A不成立；
B项，令2x－＝＋kπ(k∈Z)知函数f(x)关于x＝＋(k∈Z)对称，所以B成立；
C项，若x∈，2x－∈，
则函数f(x)的最小值为＋1，C成立；
D项，由于当0 11．设sin x＋sin y＝，则M＝sin x－cos2y的(　　)
A．最小值为－ B．最小值为－
C．最大值为 D．最大值为
答案　BC
解析　由题意，得sin x＝－sin y.
由sin x∈[－1,1]，
得
解得－≤sin y≤1.
∴M＝－sin y－cos2y
＝sin2y－sin y－＝2－，
则当sin y＝时，Mmin＝－；
当sin y＝－时，Mmax＝.
12．对于函数f(x)＝下列说法中不正确的是(　　)
A．该函数的值域是[－1,1]
B．当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1
C．当且仅当x＝2kπ－(k∈Z)时，函数取得最小值－1
D．当且仅当2kπ＋π 答案　ABC
解析　画出函数f(x)的图象如图所示，由图象容易看出，该函数的值域是；当且仅当x＝2kπ＋或x＝2kπ，k∈Z时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数取得最小值－；当且仅当2kπ＋π
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知cos(45°＋α)＝，则cos(135°－α)＝________.
答案　－
解析　cos(135°－α)＝cos[180°－(45°＋α)]
＝－cos(45°＋α)＝－.
14．已知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则ω＝______，f ＝________.
答案　4　0
解析　∵f(x)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段的长度即为f(x)＝tan ωx的一个周期，
∴＝，ω＝4，
因此f ＝tan＝tan π＝0.
15．设定义在区间上的函数y＝cos x与y＝tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
答案　
解析　不妨设P1坐标为(x0,0)，
则P1P2的长为sin x0.
∵y＝cos x与y＝tan x的图象交于点P，
即cos x0＝tan x0，cos x0＝.
解得sin x0＝，
则线段P1P2的长为.
16．函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的值为________．
答案　
解析　∵函数f(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，
∴ω＝＝2，即f(x)＝cos(x∈R)，
将y＝f(x)的图象向左平移φ个单位长度，
所得函数为g(x)＝cos
＝cos，
又所得图象关于原点对称，
∴2φ＋＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋，k∈Z，又0<φ<，
∴φ＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知函数f(x)＝sin－1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的减区间及最大值．
解　(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为函数y＝sin x的减区间为，k∈Z，
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的减区间为，k∈Z.
当sin＝1时，f(x)max＝－1.
18．(12分)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：
条件①：f(x)的图象关于点对称；
条件②：f(x)的图象关于直线x＝对称．
(1)请写出你选择的条件，并求f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，当x∈时，求f(x)的最大值和最小值，并指出相应的x的取值．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)若选①，由题意得，＝π，则ω＝2，
因为函数的图象关于点对称，
所以2×＋φ＝kπ(k∈Z)，
解得φ＝－π＋kπ(k∈Z)，
而－<φ<，
则φ＝，
于是f(x)＝2sin.
若选②，由题意得，＝π，则ω＝2，
因为函数的图象关于直线x＝对称，
所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
解得φ＝＋kπ(k∈Z)，
而－<φ<，
则φ＝，
于是f(x)＝2sin.
(2)结合(1)，因为x∈，
所以2x＋∈，
则当2x＋＝－，
即x＝－时，f(x)有最小值为
f ＝2sin＝－，
当2x＋＝，
即x＝时，f(x)有最大值为f ＝2sin ＝2.
19．(12分)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，且图象上与点P最近的一个最低点是Q.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f ＝，且α为第三象限角，求cos 2α的值．
解　(1)根据题意可知，
A＝2，＝－＝，
∴T＝＝π，解得ω＝2.
又f ＝0，∴sin＝0，而|φ|<，
∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin.
(2)由f ＝，可得2sin 2α＝，
即sin 2α＝.
∵α为第三象限角，
∴π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
∴2π＋4kπ<2α<3π＋4kπ，k∈Z，
又sin 2α＝≠1，
∴易知2α为第一或第二象限角，
∴当π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z时，
2α为第一象限角，
cos 2α＝＝.
当＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z时，
2α为第二象限角，
cos 2α＝－＝－ .
20．(12分)已知关于x的方程2x2－bx＋＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈.
(1)求实数b的值；
(2)求的值．
解　(1)∵sin θ，cos θ为关于x的方程2x2－bx＋＝0的两根，
∴
由②③，得＝1＋，
解得b＝±，此时Δ＝5－2>0，
又θ∈，
∴sin θ＋cos θ>0，
∴b＝.
(2)由(1)，得sin θ＋cos θ＝.
又θ∈，
∴sin θ>cos θ，
∴sin θ－cos θ＝
＝＝，
∴＝＝
＝4＋2－2－.
21．(12分)某同学在做研究性学习时发现，在某景区，每年到访的游客人数会发生周期性的变化．现假设该风景区每年各个月份游客的人数(单位：万人)φ(n)可近似地用函数φ(n)＝10[Acos(ωn＋2)＋k]来刻画．其中，正整数n表示月份且n∈[1,12]，例如n＝2时表示二月份；A和k是正整数；ω>0.统计发现，风景区每年各个月份游客人数有以下规律：
①每一年相同的月份，该风景区游客人数大致相同；
②该景区游客人数最多的八月份和最少的二月份相差约400 000人；
③二月份该风景区游客大约为100 000人，随后逐渐增加，八月份达到最多．
(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的φ(n)的表达式；
(2)一般地，当该地区游客超过400 000人时，该风景区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该风景区的旅游“旺季”？请说明理由．
解　(1)根据三条规律，可知该函数为周期函数且周期为12，可得T＝＝12，即ω＝，
由规律②③可知，
解得A＝2，k＝3，
综上可得，φ(n)＝10.
(2)由条件φ(n)＝10>40，
可得cos>，
∴2kπ－ 即12k－2－ 又n∈[1,12]，n∈Z，
所以k＝1,6.18 故n＝7,8,9,10，
即一年中的7,8,9,10四个月是该风景区的旅游“旺季”．
22．(12分)已知函数f(x)＝2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f(x)的图象可以由函数y＝sin x的图象经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围．
解　(1)f(x)min＝－2，
此时2x－＝2kπ－，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z，即此时自变量x的集合是.
(2)把函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数y＝sin的图象，最后再把函数y＝sin的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象．
(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f(x)取到最大值2，所以m≥.

又函数y＝f(x)在上是减函数，f(0)＝－，
故m的最大值为内使函数值为－的值，
令2sin＝－，得x＝，
所以m的取值范围是.