（新）苏教版高中数学必修第一册章末综合测评2　常用逻辑用语（含解析）

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册本册综合精品课时练习，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(二) 常用逻辑用语


(满分：150分 时间：120分钟)


一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是( )


A．∃x>0，使得x2－x≤0 B．∃x>0，使得x2－x>0


C．∀x>0，都有x2－x>0 D．∀x≤0，都有x2－x>0


B [全称量词命题的否定为存在量词命题，命题“∀x>0，都有x2－x≤0”的否定是∃x>0，使得x2－x>0．故选B．]


2．已知p：A＝∅，q：A∩B＝∅，则p是q的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


A [由已知A＝∅⇒A∩B＝∅，反之不成立，得p是q的充分不必要条件，所以选A．]


3．“∃x∈R，x＋|x|<0”的否定是( )


A．∃x∈R，x＋|x|≥0 B．∀x∈R，x＋|x|≥0


C．∀x∈R，x＋|x|<0 D．∃x∈R，x＋|x|≤0


B [因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“∃x∈R，x＋|x|<0”的否定是“∀x∈R，x＋|x|≥0”故选B．]


4．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )


A．∃x∈R，x3－x2＋1<0


B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0


C．∀x∈R，x3－x2＋1>0


D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0


C [由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C．]


5．“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的 ( )


A．充要条件


B．充分不必要条件


C．必要不充分条件


D．既不充分也不必要条件


B [当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．]


6．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )


A．a<0 B．a>0


C．a<－1 D．a>1


C [方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知eq \f(3,a)＜0，即a＜0，a<－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a<－1，故选C．]


7．设a，b∈R，那么“eq \f(a,b)＞1”是“a＞b＞0”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


B [由不等式的性质，a＞b＞0，可推出eq \f(a,b)>1，而当eq \f(a,b)>1，时，例如取a＝－2，b＝－1，显然不能推出a＞b＞0．故eq \f(a,b)>1是a＞b＞0的必要不充分条件．故选B．]


8．满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是( )





A B C D


C [由题图A，闭合开关K1或者闭合开关K2都可以使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，不一定非要闭合开关K1，因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充分不必要条件．由题图B，闭合开关K1而不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，若要使灯泡R亮，则开关K1必须闭合．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的必要不充分条件．由题图C，闭合开关K1可使灯泡R亮；反之，若要使灯泡R亮，开关K1一定是闭合的．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件．由题图D，闭合开关K1但不闭合开关K2，灯泡R不亮；反之，灯泡R亮也可不闭合开关K1，只要闭合开关K2即可．因此“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的既不充分也不必要条件．]


二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)


9．a2＞b2的一个充分条件是( )


A．a＞|b| B．a＜b


C．a＝b D．a

AD [A中，当a＞|b|时，能推出|a|＞|b|⇔a2＞b2，所以A正确；B中，当a＝－1，b＝1时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，当a＝b时，a2＝b2，不能推出a2＞b2；D中，a

10．下列命题中，假命题是( )


A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1


B．∀x∈R,2x＞x2


C．a＋b＝0的充要条件是eq \f(a,b)＝－1


D．∃x∈R，x2＋2≤0


BCD [当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但eq \f(a,b)＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选BCD．]


11．命题“已知y＝|x|－1，当m∈A时，∀x∈R都有m≤y恒成立，则集合A可以是( )


A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]


C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)


BD [由已知y＝|x|－1，得y≥－1，要使∀x∈R，都有m≤y成立，只需m≤－1，所以正确选项为BD．]


12．已知A、B为实数集R的非空集合，则AB的必要不充分条件可以是( )


A．A∩B＝A B．A∩∁RB＝∅


C．∁RB∁RA D．B∪∁RA＝R


ABD [因为AB⇔∁RB∁RA，所以∁RB∁RA是AB的充分必要条件，


因为AB⇒A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∩∁RB＝∅⇔B∪∁RA＝R，所以选ABD．]


三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)


13．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 ．


m＝－2 [函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－eq \f(m,2)＝1，即m＝－2；反之，若m＝－2，则f(x)＝x2－2x＋1的图象关于直线x＝1对称．]


14．命题“∀1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是．


{a｜a≤1} [命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∴a≤1．]


15．设p：实数x满足|x－2a|0且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．(本题第一空2分，第二空3分)


(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)) [由|x－2a|

由|x－2a|0，得－a

若p是q的充分不必要条件，


则p⇒q，且qp，所以q⇒p，且pq，即q是p的充分不必要条件．


设A＝{x|p}，B＝{x|q}，则BA，


又A＝{x|p}＝{x|a

∴实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))．]


16．对任意实数a，b，c，给出下列命题：


①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；


②“a>b”是“a2>b2”的充分条件；


③“a<5”是“a<3”的必要条件；


④“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件．


其中真命题的序号为 ．


③④ [对于①，因为“a＝b”时ac＝bc成立，ac＝bc，c＝0时，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故①错；对于②，a＝－1，b＝－2, a>b时，a2b2时，ab”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故②错；对于③，因为“a<3 ”时一定有“a<5”成立，所以“a<5”是“a<3”的必要条件，③正确；对于④“a＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，④正确，故答案为③④．]


四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：


(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；


(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0．


[解] (1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；


又由于“任意”的否定为“存在一个”，


因此，p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，


即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．


(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；


又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，


因此，p：对任意一个x∈R，都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．


18．(本小题满分12分)已知命题p：x∈[1,3]，命题q：x∈{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．


[解] 根据题意，p是q的必要不充分条件，


{x|a≤x≤a＋1}⊆[1,3]，则a≥1且a＋1≤3，得1≤a≤2．


当a＝1时，{x|a≤x≤a＋1}[1,3]，满足题意；


当a＝2时，{x|a≤x≤a＋1}[1,3]，满足题意．


所以，实数a的取值范围是1≤a≤2．


19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断真假．


(1)p：正数的对数都是正数；


(2)p：存在x∈R，x2－x＋1≤0；


(3)p：所有的一次函数都是单调函数；


(4)p：有的三角形是等边三角形；


(5)p：任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；


(6)p：有一个素数含三个正因数．


[解] (1) p：存在一个正数，它的对数不是正数．真命题．


(2) p：任意x∈R，x2－x＋1>0．真命题．


(3) p：有些一次函数不是单调函数．假命题．


(4) p：所有的三角形都不是等边三角形．假命题．


(5) p：存在x0∈Z，使xeq \\al(2,0)的个位数字等于3．假命题．


(6) p：所有的素数都不含三个正因数．真命题．


20．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．


(1)条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；


(2)条件p：AB，结论q：A∪B＝B．


[解] (1)因为a，b∈R，a＋b＞0，


所以a，b至少有一个大于0，所以pq．


反之，若ab＞0，可推出a，b同号．


但推不出a＋b＞0，即qp．


综上所述，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．


(2)因为AB⇒A∪B＝B，所以p⇒q．


而当A∪B＝B时，A⊆B，即qp，


所以p为q的充分不必要条件．


21．(本小题满分12分)已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a}且B≠∅．


(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；


(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．


[解] (1)∵x∈A是x∈B的充分条件，


∴A⊆B．


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤2，,3a≥4，))


解得a的取值范围为eq \f(4,3)≤a≤2．


(2)由B＝{x｜a＜x＜3a}且B≠∅，


∴a＞0．


若A∩B＝∅，∴a≥4或3a≤2，


所以a的取值范围为0＜a≤eq \f(2,3)或a≥4．


22．(本小题满分12分)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0．


[证明] 法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得eq \f(x,xy)＞eq \f(y,xy)，


即eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)．


必要性：由eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)，得eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＜0，即eq \f(y－x,xy)＜0．


因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0．


所以eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0．


法二：eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)⇔eq \f(1,x)－eq \f(1,y)＜0⇔eq \f(y－x,xy)＜0．


由条件x＞y⇔y－x＜0，故由eq \f(y－x,xy)<0⇔xy＞0．


所以eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)⇔xy＞0，


即eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0．