新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】章末检测试卷(八)

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章末检测试卷(八)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是一条不间断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值(　　)
A．大于0 B．小于0
C．无法判断 D．等于0
答案　C
解析　由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．
2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案　B
解析　因为f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，
所以f(x)在区间(－1,0)上存在零点．
3．以半径为R的半圆上任意一点P为顶点，直径AB为底边的△PAB的面积S与高PD＝x的函数关系式是(　　)
A．S＝Rx B．S＝2Rx(x>0)
C．S＝Rx(0 答案　C
解析　S△PAB＝·AB·PD＝Rx，
又0 4．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：
x
－2.0
－1.0
0
1.00
2.00
3.00
y
0.24
0.51
1
2.02
3.98
8.02

则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中，a，b为待定系数，b>0且b≠1)(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx
C．y＝a＋logbx D．y＝a＋
答案　A
解析　B中，为匀速递增；在C中，x要求大于0；D是成反比；又因为函数值增长速度越来越快，只有A项中指数型函数最接近．
5．设函数f(x)＝ln x－x2＋1(x>0)，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间(0,1)，(1,2)内均有零点
B．在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点
C．在区间(0,1)，(1,2)内均无零点
D．在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点
答案　A
解析　f ＝ln －×2＋1<0，f(1)＝ln 1－＋1>0，f(2)＝ln 2－2＋1<0.且函数f(x)在(0，＋∞)上的图象是不间断的，所以函数f(x)在区间(0,1)，(1,2)上均有零点．
6．用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如下表所示：
x
1
2
1.5
1.625
1.75
1.875
1.812 5
f(x)
－6
3
－2.625
－1.459
－0.14
1.341 8
0.579 3

则当精确到0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取(　　)
A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9
答案　C
解析　根据表中数据可知f(1.75)＝－0.14<0，f(1.812 5)＝0.579 3>0，由近似解精确到0.1可知1.75≈1.8,1.812 5≈1.8，故方程的一个近似解为1.8.
7．在物价飞速上涨的今天，某商品2021年零售价比2020年上涨25%，欲控制2022年比2020年只上涨10%，则2022年应比2021年降价(　　)
A．15% B．12% C．10% D．8%
答案　B
解析　设2022年应比2021年降价x%，则(1＋25%)(1－x%)＝1＋10%，解得x＝12.
8．已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0 A．恒为正值 B．等于0
C．恒为负值 D．不大于0
答案　A
解析　∵函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
且f(x0)＝0，
∴当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0，
而00.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9. 函数f(x)＝lg|x|的零点是(　　)
A．(1,0) B．(－1,0) C．1 D．－1
答案　CD
解析　由f(x)＝0，得lg|x|＝0，
所以|x|＝1，x＝±1.
10．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1有零点的是(　　)

答案　ABD
解析　把y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度后，只有选项C中图象与x轴无交点．
11.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示(横轴为投资时间，纵轴为每天的回报)．

根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是(　　)
A．投资3天以内(含3天)，采用方案一
B．投资4天，不采用方案三
C．投资8天，采用方案二
D．投资12天，采用方案二
答案　ABC
解析　若投资3天以内(含3天)，因为每天的回报均是方案一的回报最大，故采用方案一；投资4天，方案三的总回报是最小的，故不采用该方案；投资8天，由图可得方案三的每天回报均低于方案二的每天回报，计算可以得到方案一的总回报为320；方案二的总回报为10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80＝360，故采用方案二；投资12天时，采用方案三．
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数．下列为“不动点”函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x
B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝
D．f(x)＝－x
答案　BCD
解析　根据定义可知，若f(x)有不动点，
则f(x)＝x有解．
A中，令2x＋x＝x，所以2x＝0，此时无解，
故f(x)不是“不动点”函数；
B中，令x2－x－3＝x，所以x＝3或x＝－1，所以f(x)是“不动点”函数；
C中，当x≤1时，令2x2－1＝x，
所以x＝－或x＝1，
所以f(x)是“不动点”函数；
D中，令－x＝x，
所以x＝±，
所以f(x)是“不动点”函数．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
答案　
解析　设函数f(x)＝x3－6x2＋4，显然f(0)>0，f(1)<0，
又f ＝3－6×2＋4>0，
∴下一步可断定方程的根所在的区间为.
14．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是不间断的，且f(1)＝－6<0, f(4)＝6>0，故函数在(1,4)内有零点，用二分法求解时，取1和4的平均数a，则f(a)＝________.
答案　－2.25
解析　显然a＝2.5，则f(a)＝f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.
15．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)·(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年．
答案　7
解析　由已知可得第n年的年产量
y＝
f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)，所以f(1)＝3.
当n∈N*，n≥2时，
f(n－1)＝n(n－1)(2n－1)，
所以f(n)－f(n－1)＝3n2，n＝1时，也满足上式．所以第n年的年产量为y＝3n2，n∈N*.
令3n2≤150，得n2≤50.
因为n∈N*，所以1≤n≤7，所以nmax＝7.
16．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
答案　3　0
解析　因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
又因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也是增函数，
由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)，(－∞，0)上都只有一个零点，
综上，函数f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)方程x2－＝0在区间(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．
解　不存在，因为当x＜0时，－＞0，
∴x2－＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，
使x2－＝0.
18．(12分)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)有且仅有一个零点；
(2)有两个零点且均比－1大．
解　(1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，
即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，
∴m＝4或m＝－1.
(2)由题意知
即
∴－5 19．(12分)某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8,64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10%发奖金．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取获得年奖金y∈[4,10](万元)，求年销售额x在什么范围内．
解　(1)依题意知y＝logax在x∈[8,64]上为增函数，
由题意得所以a＝2，
所以y＝
(2)易知x≥8.当8≤x≤64时，
要使y∈[4,10]，
则4≤log2x≤10，所以16≤x≤1 024，
所以16≤x≤64.
当x＞64时，要使y∈[4,10]，则x∈[4,10]，
即40≤x≤100，所以64＜x≤100.
综上，当年销售额x在[16,100](万元)内时，年奖金y∈[4,10](万元)．
20．(12分)定义在R上的偶函数y＝f(x)在(－∞，0]上是增函数，函数f(x)的一个零点为－，求满足的x的取值范围．
解　∵－是函数的一个零点，
∴f ＝0.
∵y＝f(x)是偶函数且在(－∞，0]上是增函数，
∴f ＝0且y＝f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又
∴－≤≤，∴≤x≤2，
综上所述，x的取值范围为.
21．(12分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－|t－10| (元)．
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
解　(1)y＝g(t)·f(t)
＝(80－2t)·
＝(40－t)(40－|t－10|)
＝
(2)当0≤t<10时，
y＝(30＋t)(40－t)＝－(t－5)2＋1 225，
y的取值范围是[1 200,1 225]，
所以当t＝5时，y取得最大值为1 225；
当10≤t≤20时，y＝(40－t)(50－t)＝(t－45)2－25，y的取值范围是[600,1 200]，
所以当t＝20时，y取得最小值为600.
综上，第5天时日销售额y最大，最大为1 225元，第20天时日销售额y最小，最小为600元．
22．(12分)某市地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁1号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10≤t≤20时，地铁为满载状态，载客量为500人；当2≤t<10时，载量会减少，减少的人数与(10－t)2成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记地铁的载客量为s(t)．
(1)求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；
(2)若该线路每分钟的净收益为Q＝－60(元)．问：当列车发车时间间隔为多少分钟时，该线路每分钟的净收益最大？
解　(1)当10≤t≤20时，s(t)＝500.
当2≤t<10时，s(t)＝500－k(10－t)2，
∵s(2)＝372，
∴372＝500－k×(10－2)2，
解得k＝2.∴s(t)＝500－2(10－t)2.
∴s(t)＝
∴s(5)＝500－2×52＝450(人)．
(2)当10≤t≤20时，s(t)＝500.
∴Q＝－60
＝－60≤－60＝74.4.
可得Qmax＝74.4.
当2≤t<10时，s(t)＝500－2(10－t)2.
∴Q＝－60
＝－16＋260，
∵函数y＝t＋在t∈[2,4)上为减函数，在t∈(4,10)上为增函数，
∴当t＝4时，Qmax＝132.
∴当列车发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为132元．