综合测评-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

全书综合测评

(满分150分,考试用时120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设集合A={x|0<x<4},B={2,3,4},则A∩B=(　　)

A.{2,3}　　　　　　　B.{1,2,3}

C.{2,3,4}　　　　　　　D.{1,2,3,4}

2.命题“∃x∈R,x2≠1”的否定是(　　)

A.∀x∈R,x2=1　　　　　　　B.∀x∉R,x2=1

C.∃x∈R,x2=1　　　　　　　D.∃x∉R,x2=1

3.将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度,再将各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),则得到的图象对应的函数解析式是(　　)

A.y=cos      B.y=-cos 6x

C.y=cos      D.y=-cos x

4.函数f(x)=log2|x|+cos x的大致图象是(　　)

5.考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·(N0表示碳14原有的质量).经过测定,某遗址文物样本中碳14的质量是原来的至,据此推测该遗址存在的时期距今约　　　　年到5 730年之间(参考数据:log23≈1.6,log25≈2.3)(　　) 

A.4 011 B.3 438 C.2 865 D.2 292

6.设α∈,若sin α=,则2cos=(　　)

A.　　　　　　　B.-

C.　　　　　　　D.-

7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递减,设a=f(log45),b=f,c=f(0.20.5),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.c<a<b　　　　　　　B.b<a<c

C.b<c<a　　　　　　　D.a<b<c

8.定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)恒成立,若f(1)=2,则f(20)+f(21)+f(22)的值为(　　)

A.6 B.4 C.2 D.0

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.下列命题中正确的是(　　)

A.若a>b,则ac2>bc2

B.若2<a<3,-2<b<-1,则3<a-b<5

C.若a>b>0,m>0,则>

D.若c>a>b>0,则>

10.下列各式的值为1的是(　　)

A.

B.log627+log68-

C.sin 72°cos 18°-cos 108°sin 18°

D.2cos222.5°-1

11.某校高一数学研究性学习小组的同学为研究课题“碳排放与气候变化问题”,观察记录了某天从6时到14时的温度变化,其变化曲线近似满足函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),如图,则(　　)

A.φ=

B.函数f(x)的最小正周期T为16π

C.∀x∈R, f(x)+f(x+8)=40

D.若g(x)=f(x+m)是偶函数,则|m|的最小值为2

12.定义f(x)={x}(其中{x}表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”.例如{2.1}=3,{4}=4.以下关于“取上整函数”的结论正确的是(　　)

A.f(2x)=2f(x)

B.若f(x)=f(y),则x-y<1

C.∀x,y∈R, f(x+y)≤f(x)+f(y)

D. f(x)+f =f(2x)

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知扇形AOB的圆心角∠AOB=,弧长为2π,则扇形的面积为　　　　. 

14.已知定义在R上的奇函数f(x)是增函数,若f(a)+f(3a-1)<0,则a的取值范围是　　　　. 

15.若函数f(x)=lg[(a-1)x2+ax+1]的值域为R,则实数a的取值范围是　　　　. 

16.设函数f(x)=若关于x的方程f(x)=m有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则m的取值范围是　　　　,+4x3的取值范围是　　　　. 

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)设集合A={x|(x+1)(x-5)<0},集合B={x|2-a≤x≤1+2a},其中a∈R.

(1)当a=1时,求A∪B;

(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求a的取值范围.

18.(12分)已知f(θ)=.

(1)若f(θ)=,求cos 2θ的值;

(2)若f =,且<θ<,求sin θ的值.

19.(12分)已知函数f(x)=2sin xsin+cos 2x.

(1)求f(x)的单调递增区间和最值;

(2)若函数g(x)=f(x)-a在x∈上有且仅有两个零点,求实数a的取值范围.

20.(12分)某企业决定开发生产一款大型净水设备,生产这款设备的年固定成本为600万元,每生产x(x∈N*)台需要另投入成本c(x)万元.当年产量x不足100台时,c(x)=x2+40x-650;当年产量x不少于100台时,c(x)=101x+-3 600.若每台设备的售价为100万元,且该企业生产的净水设备能全部售完.

(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式;

(2)当年产量x为多少时,该企业在这一款净水设备的生产中获利最大?最大年利润是多少万元?

21.(12分)已知函数f(x)=(x≥0).

(1)证明:f(x)在区间[0,+∞)上为增函数;

(2)若在[0,2]上存在实数x0,使得f(x0)>+1成立,求正数m的取值范围

22.(12分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数.

(1)求实数a的值;

(2)解关于x的不等式f(x2+2x-3)+f(1-3x)<0;

(3)是否存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是?若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,请说明理由.

答案全解全析

1.A　

2.A　

3.A　将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=cos的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=cos的图象.故选A.

4.C　因为f(-x)=log2|-x|+cos(-x)=log2|x|+cos x=f(x),且f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,

所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除B,D.

当x趋近于0时,y=log2|x|趋近于负无穷,y=cos x趋近于1,所以f(x)趋近于负无穷,排除A.故选C.

5.A　因为碳14的质量是原来的至,所以≤≤,两边同时取以2为底的对数得-1≤-≤log2,所以-5 730log2≤t≤5 730,

又-5 730log2=-5 730(log23-log25)≈4 011,所以推测该遗址存在的时期距今约4 011年到5 730年之间.故选A.

6.B　因为α∈,且sin α=,

所以cos α=-=-=-.

所以sin 2α=2sin αcos α=2××=-,

cos 2α=2cos2α-1=2×-1=,

所以2cos=2

=2=-.故选B.

7.A　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,且b=f=f(log23).因为f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为log23>log2=log45>1,0<0.20.5<0.20=1,所以 log23>log45>0.20.5>0,所以 f(log23)>f(log45)>f(0.20.5),即c<a<b.故选A.

8.C　∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)恒成立,

∴f(0)=0, f(2+x)=f(-x)=-f(x),

∴f(4+x)=-f(x+2)=f(x),

∴f(x)是周期为4的函数,

∴f(20)=f(5×4+0)=f(0)=0, f(21)=f(5×4+1)=f(1)=2, f(22)=f(5×4+2)=f(2)=f(0)=0,

∴f(20)+f(21)+f(22)=2.故选C.

9.BCD　对于A选项,当c=0时命题不成立,故A错误;

对于B选项,由-2<b<-1,得1<-b<2,又2<a<3,所以3<a-b<5,故B正确;

对于C选项,由于a>b>0,m>0,因此-==>0,故C正确;

对于D选项,由c>a>b>0得0<c-a<c-b,故>>0,所以>,故D正确.

故选BCD.

10.BC　=-=-tan(20°+25°)

=-tan 45°=-1,A不符合题意;

log627+log68-=3log63+3log62-2=3(log63+log62)-2=3log66-2=1,B符合题意;

sin 72°cos 18°-cos 108°sin 18°=sin 72°cos 18°+cos 72°sin 18°=sin(72°+18°)=sin 90°=1,C符合题意;

2cos222.5°-1=cos 45°=,D不符合题意.

故选BC.

11.ACD　由题图可知所以

所以f(x)=10sin(ωx+φ)+20.

由题图可知=14-6=8,所以T=16,故B选项错误.

ω===,故f(x)=10sin+20,

又f(6)=10sin+20=10,所以sin=-1,

由0<φ<π,得<+φ<,

所以+φ=,故φ=,A选项正确.

由上述分析可得f(x)=10sin+20,

所以f(x+8)=10sin+20=10sin+20

=-10sin+20,所以f(x)+f(x+8)=40,C选项正确.

若g(x)=f(x+m)=10sin+20=10sin+20是偶函数,则m+=kπ+,k∈Z,所以m=8k-2,k∈Z,所以|m|的最小值为2,D选项正确.

故选ACD.

12.BC　作出函数f(x)的部分图象如图所示:

由图可知,对任意的x1,x2∈R且x1<x2, f(x1)≤f(x2).

当x=1.5时,f(2x)=3,2f(x)=4,f(2x)≠2f(x),故A错误;

设x=m-a(m∈Z,0≤a<1),y=n-b(n∈Z,0≤b<1),

若f(x)=f(y),则m=n,因此x-y=b-a≤b<1,故B正确;

f(x+y)=f(m+n-a-b)≤f(m+n)={m+n}=m+n, f(x)+f(y)=f(m-a)+f(n-b)=m+n,所以f(x+y)≤f(x)+f(y),故C正确;

当x=1.9时, f(1.9)+f(1.9+0.5)=2+3=5≠f(2×1.9)=4,故D错误.

故选BC.

13.答案　3π

解析　设扇形AOB的半径为r,则r==3,

故扇形的面积为×2π×3=3π.

14.答案　

解析　因为f(x)为奇函数,所以f(a)+f(3a-1)<0等价于f(a)<-f(3a-1)=f(1-3a),又f(x)在R上为增函数,所以a<1-3a,即a<,故a的取值范围是.

15.答案　[1,+∞)

解析　若f(x)的值域为R,

则或a-1=0,解得a≥1.

16.答案　0<m≤2;(0,15]

解析　若关于x的方程f(x)=m有四个不同的解,则y=m与y=f(x)的图象有四个交点.作出y=m和y=f(x)的图象如图所示,

由图可知0<m≤2,0<x3<1<x4≤4,=-2,即x1+x2=-4.

因为|log2x3|=|log2x4|,所以-log2x3=log2x4,即x3x4=1,

所以+4x3=4x4-.

设y=4t-(1<t≤4),

易知y=4t-在(1,4]上单调递增,所以y∈(0,15],

故+4x3的取值范围是(0,15].

17.解析　(1)由题意得A={x|-1<x<5}.(2分)

当a=1时,B={x|1≤x≤3},故A∪B={x|-1<x<5}. (4分)

(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,可得B⫋A.(5分)

当B=⌀时,2-a>1+2a,解得a<,满足题意; (7分)

当B≠⌀时,则有解得≤a<2. (9分)

综上,a的取值范围为(-∞,2).(10分)

18.解析　(1)f(θ)===cos θ.(4分)

因为f(θ)=cos θ=,所以cos 2θ=2cos2θ-1=-.(6分)

(2)由题意可得f=cos=.

因为<θ<,所以0<θ-<,

所以sin=.(9分)

所以sin θ=sin=sincos +cossin

=×+×=. (12分)

19.解析　(1)f(x)=2sin x+cos 2x

=sin2x+sin 2x+cos 2x=+sin 2x+cos 2x

=sin 2x+cos 2x+=sin+.(2分)

令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,

解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.(4分)

易得f(x)的最大值为,最小值为-.(6分)

(2)若函数g(x)=f(x)-a在x∈上有且仅有两个零点,

则函数y=f(x),x∈与y=a的图象有2个交点.(9分)

由(1)可得当x∈时, f(x)在上单调递增,在上单调递减,

又f(0)=1, f =, f =0,所以实数a的取值范围为.(12分)

20.解析　(1)由题意可得y=100x-[600+c(x)]

=(3分)

即y=(6分)

(2)当x<100时,y=-x2+60x+50=-(x-90)2+2 750,

∴当x=90时,ymax=2 750;(8分)

当x≥100时,y=-+3 000=-+2 998≤-2+2 998=2 798,当且仅当x-2=,即x=102时,等号成立,故ymax=2 798.

∵2 798>2 750,∴当年产量为102台时,该企业在这一款净水设备的生产中获利最大,最大年利润是2 798万元.(12分)

21.解析　 (1)证明:易得f(x)==2-.

任取x1,x2∈[0,+∞),且x1>x2,

则f(x1)-f(x2)=-=,(3分)

因为x1>x2≥0,所以x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0,

所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),

故f(x)在[0,+∞)上是增函数.(6分)

(2)由(1)可知, f(x)是[0,+∞)上的增函数,

故f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)=. (9分)

若在[0,2]上存在实数x0,使得f(x0)>+1成立,则>+1,(10分)

解得m<2,又m为正数,∴0<m<2.

故正数m的取值范围为(0,2).(12分)

22.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,

所以f(0)=0,即=0,得a=1.(2分)

此时f(x)=, f(-x)===-f(x),满足题意,

所以a=1.(4分)

(2)由(1)知, f(x)=.任取x1,x2∈R且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=-==.

∵x1<x2,∴-<0,又+1>0,+1>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上为增函数.(6分)

原不等式可化为f(x2+2x-3)<-f(1-3x),即f(x2+2x-3)<f(3x-1),

∴x2+2x-3<3x-1,∴x2-x-2<0,∴-1<x<2,

∴原不等式的解集为{x|-1<x<2}.(8分)

(3)假设存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是,则即

∴方程2xf(x)=k,即2x·=k有两个不相等的实数根,

∴方程-(k+1)2x-k=0有两个不相等的实数根.(10分)

令2x=t,则t>0,故方程t2-(k+1)t-k=0有两个不相等的正根,

故解得-3+2<k<0,

∴存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是,

k的取值范围为(-3+2,0).(12分)