知识讲解_函数y=Asin(ωx+φ)的图象_提高练习题

的图象与性质

编稿：丁会敏     审稿：王静伟

【学习目标】

1.了解对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象；

2．明确函数（、、为常数，）中常数、、的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念。

【要点梳理】

要点一：用五点法作函数的图象

用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.

要点诠释：用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.

要点二：函数中有关概念

表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.

要点三：由得图象通过变换得到的图象

1.振幅变换：

(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A，A]，最大值是A，最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅.

2.周期变换：

函数的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.

3.相位变换：

函数(其中)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).

要点诠释：一般地，函数的图象可以看作是用下面的方法得到的：

(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位；

(2) 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)；

(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变).

【典型例题】

类型一：三角函数的图象

例1（2015  佛山一模）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．

（1）求f（）．

（2）在图3给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．

【思路点拨】（1）依题意先解得ω=2，可得解析式f（x）=sin（2x﹣），从而可求f（）的值．

（2）先求范围2x﹣∈[﹣，]，列表，描点，连线即可五点法作图象，并根据图象写出其在（﹣，）上的单调递减区间．

【解析】（1）依题意得=π，解得ω=2，

∴f（x）=sin（2x﹣），

∴f（）=sin（）=sincos﹣cossin==

（2）∵x∈[﹣，]

∴2x﹣∈[﹣，]，

列表如下：

画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象如下：

由图象可知函数y=f（x）在（﹣，）上的单调递减区间为（﹣，﹣），（，）

【总结升华】“五点法”作图时，五点的确定应先令分别为0、、、、，解出x，从而确定这五点。

例2.画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图.

【解析】(五点法)由，得，列表：

描点画图：

这种曲线也可由图象变换得到：

【总结升华】由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).

先将y=sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图象.

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.

先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得的图象.

举一反三：

【变式1】（2015  湖北高考）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．

【解析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：

且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．

（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．

因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．

令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．

由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，

解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．

【变式2】如何由y=sin x的图象变化到的图象？

【解析】

 解法一：

。

解法二：

。

【总结升华】本题用了由函数y=sin x（x∈R）的图象变换到函数（x∈R）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系。

类型二：三角函数的解析式

例3.如图，它是函数，的图象，由图中条件，写出该函数解析式.

【思路点拨】由图可以确定图象的振幅、周期，由此求出，再由题意知，点(，5)在此函数的图象上，由此求出.

【解析】 A=5，

由点(，5)在此函数的图象上，则

法一：(单调性法)

∵点在递减的那段曲线上

∴

由得

∴

∵.

法二：(最值点法)

将最高点坐标(，5)代入得

∴

∴取.

法三：(起始点法)

函数的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由解得的，故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角.由图象求得，∴

法四：(平移法)

由图象知，将的图象沿x轴向左平移个单位，就得到本题图象，故所求函数为，即.

【总结升华】错解：

将代入该式得：，

由，得

∵或

∴或.

代入点坐标时，通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式，再结合图形的上升、下降趋势变化求出.

举一反三：

【变式1】函数的图象如下图，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析。

【思路点拨】 本题主要考查正弦型函数解析式的求法及识图能力，由图知A=3，，则，可由点或或确定。

【解析】

方法一：（逐一定参法）

由图象知，振幅A=3，又，

∴。由点，令，得。

∴。

方法二：（待定系数法）

由图象知A=3，又图过点和，根据五点作图法原来（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有，解得ω=2，。

∴。

【总结升华】如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式中的参数A和ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得。

【变式2】（1）已知函数的图象如下图①所示，求解析式：

（2）函数的图象如下图②所示，确定A、ω、的值，确定其一个函数解析式。

【解析】  （1）∵T=(2+1)×4=12，∴。

∵C点为第四点，∴，∴。

∵，∴。

又∵点在图象上，∴。

∴A=2，∴。

（2）由题图知，振幅A=3，又，

∴。

由点，令，得。

∴。

【总结升华】（1）若已知“五点”之外的某点坐标，可将其代入方程中求出，但必须判断出该点坐标是在“五点”当中的哪两点之间。若在第一、二两点之间，则；若在第二、三两点之间，则；若在第三、四两点之间，则或；若第四、五两点之间，则或。

（2）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式中的参数A和ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”）求得。

类型三：函数的性质的综合运用

例4．函数的图象如图所示，试依图推出：

（1）的最小正周期；

（2）时x的取值集合；

（3）使的x的取值集合；

（4）的单调递增区间和递减区间；

（5）使取最小值时的x的取值集合；

（6）图象的对称轴方程；

（7）图象的对称中心；

（8）要使成为偶函数，应对的图象作怎样的平移变换？

【思路点拨】先由图象得到函数的最小正周期，后面的问题可迎刃而解。

【解析】 （1）。

（2）在一个周期中，使的x是，π，。

故所求的x的取值集合是。

（3）使的x的取值集合是。

（4）的单调递增区间是；

单调递减区间是。

（5）取最小值时x的取值集合是。

（6）对称轴方程是。

（7）对称中心是。

（8）要使成为偶函数，可以把其图象向左平移个单位长度。

【总结升华】 较强的作图、识图能力是一项重要的数学能力，为数形结合解题提供了可能，在利用的性质解题时，一定要与y=sin x的性质结合，更离不开对定义的理解和掌握。

举一反三：

【变式1】已知函数，，其中，。若的最小正周期为6π，且当时，取得最大值，则（    ）

A．在区间[―2π，0]上是增函数

B．在区间[―3π，―π]上是增函数

C．在区间[3π，5π]上是减函数

D．在区间[4π，6π]上是减函数

【答案】A

【变式2】已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是。

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的递增区间。

【解析】（1）依题意得：，周期,

,故，又图象过点，

，解得：，即

。

（2）由

得：

故函数的递增区间为：。