知识讲解_函数y=Asin(ωx+φ)的图象_基础练习题

的图象与性质

编稿：丁会敏     审稿：王静伟

【学习目标】

1.了解对函数图象变化的影响，并会由的图象得到的图象；

2．明确函数（、、为常数，）中常数、、的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念．

【要点梳理】

要点一：用五点法作函数的图象

用“五点法”作的简图，主要是通过变量代换，设，由z取来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.

要点诠释：用“五点法”作图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为.

要点二：函数中有关概念

表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相.

要点三：由得图象通过变换得到的图象

1.振幅变换：

(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍得到的(横坐标不变)，它的值域[-A，A]，最大值是A，最小值是-A.若A<0可先作y=-Asinx的图象，再以x轴为对称轴翻折.A称为振幅.

2.周期变换：

函数的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变).若则可用诱导公式将符号“提出”再作图.决定了函数的周期.

3.相位变换：

函数(其中)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”).

要点诠释：一般地，函数的图象可以看作是用下面的方法得到的：

(1)先把y=sinx的图象上所有的点向左(>0)或右(<0)平行移动个单位；

(2) 再把所得各点的横坐标缩短或伸长到原来的倍(纵坐标不变)；

(3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变).

【典型例题】

类型一：三角函数的图象

例1.画出函数y=sin(x+)，x∈R的简图.

【解析】

法一：(五点法)：

列表

描点画图：

法二：(图象变换)

函数y=sin(x+)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.

例2.画出函数y=3sin(2x+)，x∈R的简图.

【解析】(五点法)由，得，列表：

描点画图：

这种曲线也可由图象变换得到：

【总结升华】由y=sinx的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换.

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换).

先将y=sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍，便得的图象.

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换.

先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，便得的图象.

举一反三：

【变式1】已知函数．

（1）作出函数的简图；

（2）指出其振幅、周期、初相、值域．

【解析】（1）

列表：

描点画图，如下图所示：

把之间的图象向左、右扩展，即可得到它的简图．

（2）振幅为2，周期为4π，初相是，最大值为2，最小值为―2，故值域是[―2，2]．

【变式2】如何由函数y=sin x的图象得到函数的图象？

【解析】  解法一：

．

解法二：

．

【总结升华】本题用了由函数y=sin x（x∈R）的图象变换到函数（x∈R）的两种方法，要注意这两种方法的区别与联系．

类型二：三角函数的解析式

【高清课堂：正弦型函数的图象与性质 370634 例3】

例3．已知函数（，，），在同一周期内的最高点是，最低点为，求f (x)的解析式．

【解析】

由题

又是函数的最大值点，是函数的最小值点

，

又函数最高点为（2，2），即

【总结升华】求函数的解析式，值是关键，最常用的方法是找平衡点法，即与原点相邻且处于递增部分上的与x轴的交点（x0，0），与正弦曲线上（0，0）点对应，即，选取k值，确定符合条件的k值．

举一反三：

【变式1】已知函数（A＞0，ω＞0，）的图象的一个最高点为，由这个最高点到相邻最低点，图象与x轴交于点（6，0），试求函数的解析式．

【解析】由已知条件知，又，

∴T=16，，∴．

∵图象过点（6，0），∴，

∴（k∈Z），

又，∴令k=1可得，

∴．

【变式2】（2016  临沂一模）已知函数满足下列条件：

①周期T=π；

②‚图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；

③ƒf（0）=1．

求函数f（x）的解析式；

【思路点拨】根据f（x）的周期求出ω的值，根据f（x）的图象平移以及g（x）的图象关于y轴对称，求出φ的值，再由f（0）=1求出A的值，即得f（x）的解析式；

【解析】：（Ⅰ）∵f（x）的周期为T==π，∴ω=2；

又函数f（x）的图象向左平移个单位长度，

变为g（x）=Asin[2（x+）+φ]，

由题意，g（x）的图象关于y轴对称，

∴2×+φ=+kπ，k∈Z；

又|φ|＜，∴φ=，

∴函数f（x）=Asin（2x+）；

又f（0）=1，∴Asin=1，解得A=2，

∴函数f（x）=2sin（2x+）；

类型三：函数的性质的综合运用

【例4】（2016  盐城一模）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜，x∈R）的部分图象如图所示．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）当x∈[﹣，]时，求f（x）的取值范围．

【思路点拨】（1）由图象知，A，周期T，利用周期公式可求ω，由点（，2）在函数图象上，结合范围﹣＜φ＜，可求φ，从而解得函数解析式．

（2）由x∈[﹣，]，可求x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的取值范围．

【解析】（1）由图象知，A=2，

又==，ω＞0，

所以T=2π=，得ω=1．

所以f（x）=2sin（x+φ），

将点（，2）代入，得+φ=2k（k∈Z），

即φ=+2kπ（k∈Z），又﹣＜φ＜，

所以，φ=．

所以f（x）=2sin（x+）

（2）当x∈[﹣，]时，x+∈[﹣，]

所以sin（x+）∈[﹣，1]，

即f（x）∈[﹣，2]

【思路点拨】根据函数图像确定解析式，求解这类问题的一般方法是：要首先根据图像确定振幅A，再确定函数周期T，根据周期即可确定ω的值，最后在根据特殊点处的函数值确定φ.

举一反三：

【变式1】已知函数的图象过点，图象上与点最近的一个最高点是．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的递增区间．

【解析】（1）依题意得：，周期,

,故，又图象过点，

，解得：，即

．

（2）由

得：

故函数的递增区间为：．

【变式2】设函数（A≠0，ω＞0，）的图象关于直线对称，它的周期是π，则（    ）

A．的图象过点            B．在上是减函数

C．的一个对称中心是    D．的最大值是A

【答案】  C

【解析】  ∵周期T=π，∴，又ω＞0，∴ω=2．

又∵的图象关于直线对称，∴．

∴，∴．∴图象过．

又当时，，则，

∴是的一个对称中心．

【总结升华】 与研究其他函数的性质一样，研究函数（A≠0，ω＞0，）的性质时，往往先画出其图象，并注意各性质之间的关系．