高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试练习题

专题强化练8　扇形弧长和面积公式的应用

一、选择题

1.()若扇形的周长是面积的4倍,则该扇形面积的最小值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.4 B.3 C.2 D.1

2.(2020浙江丽水高一下学期期末,)如图所示,用两种方案将一块顶角为120°,腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形,设方案一、二中扇形的面积分别为S1,S2,周长分别为l1,l2,则(　　)

A.S1=S2,l1>l2 B.S1=S2,l1<l2

C.S1>S2,l1=l2 D.S1<S2,l1=l2

3.()如图,把八个等圆按相邻两两外切摆放,其圆心连线构成一个正八边形,设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为S1,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为S2,则=(　　)

A. B. C. D.1

4.(2020湖南张家界高一上期末,)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图所示.

设制作扇子的扇形面积为S1,圆面中剪下去的部分的面积为S2,当≈0.618时,扇面看上去形状较为美观,那么此时制作扇子的扇形圆心角的度数约为(　　)

A.127.5° B.137.5°

C.147.5° D.150.5°

二、填空题

5.(2020浙江宁波镇海中学高一上期末,)已知扇形的周长为2,当它的半径为　　　　时,扇形面积最大,最大值为　　　　. 

6.()若圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形边长的一半,则这条弧所对的圆心角的弧度数为　　　　. 

7.(2020吉林五地六校高一上期末,)如图,C为半圆内一点,O为圆心,直径AB长为2 cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B'OC',点C'在OA上,则边BC扫过区域(图中阴影部分)的面积为　　　　 cm2. 

三、解答题

8.()已知一个扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径长为R.

(1)若α=,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;

(2)若扇形的周长是定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?

答案全解全析

专题强化练8　扇形弧长和面积公式

的应用

一、选择题

1.D　设扇形半径长为r,弧长为l,则4×rl=2r+l,∴2rl=2r+l≥2,∴≥,∴rl≥2,∴rl≥1,当且仅当2r=l,即l=2,r=1时,等号成立,∴该扇形面积的最小值为1,故选D.

2.A　∵△AOB是顶角为120°=,腰长为2的等腰三角形,∴∠A=∠B=30°=.

易知方案一中扇形半径长为2,方案二中扇形半径长为1.

方案一中扇形的周长l1=2+2+2×,

方案二中扇形的周长l2=1+1+1×,

方案一中扇形的面积S1=,

方案二中扇形的面积S2=,

∴S1=S2,l1>l2.故选A.

3.B　设八个等圆的半径都为r.

∵正八边形的内角和为α1=(8-2)×180°=6×180°=1 080°=6π,

正八边形外侧八个扇形(阴影部分)的内角和为α2=360°×8-1 080°=2 880°-1 080°=1 800°=10π,

∴.

4.B　设圆的半径为R,圆面中制作扇子的扇形的圆心角为α,剪下去的部分的圆心角为β,

依题意得,

∴β=α.又α+β=360°,

∴α+α=360°,

解得α=×360°≈137.5°.故选B.

二、填空题

5.答案　

解析　设扇形的半径长与圆心角大小分别为r,θ,则2r+θr=2,可得θ=,

所以扇形的面积S=×r2=r(1-r)≤,当且仅当r=时,等号成立.

6.答案　

解析　设圆的半径长为r,其内接正三角形的边长为a,则r=a,

则a=r,故这条弧所对的圆心角的弧度数α=.

7.答案　

解析　由题意可知OB=OA=1,OC=OC'=,∠B'OC=∠B'OC'=,扇形AOB'的面积为,Rt△B'OC'的面积为,故B'C'左边空白图形的面积S1=,而B'C'右边三块空白图形的面积之和S2=,由此可得空白图形的总面积S=S1+S2=,而半圆的面积为,所以所求阴影部分的面积为.

三、解答题

8.解析　(1)设扇形弧长为l,弓形面积为S弓形,

∵α=,R=10 cm,∴l=×10=5π(cm),

∴S弓形=S扇形-S三角形=×102=25π-50(cm2).

(2)∵扇形周长C=2R+l=2R+αR,

∴R=,

∴S扇形=··≤当且仅当α=,即α=2时,等号成立,

故当α=2时,扇形面积最大,最大值为.