高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式巩固练习

【基础】2.4 积化和差与和差化积公式-2作业练习

一．填空题

1．在△ABC中，已知，其中，若为定值，则实数＝__.

2．已知，则________.

3．“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单．有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲．图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：　 　　             　．

4．若则的值为________．

5．若，且，则的值为__________．

6．已知，cos(α-β)=,sin(α+β)=,那么sin2α=        .

7．已知，若则__________

8．若，且，求____________.

9．若，则 ______．

10．若，则______．

11．已知公式，你可以由此公式计算的值吗？_________________ .

12．在△ABC中，若cosA＝，cosB＝，则cosC＝________.

13．已知，，求______．

14．已知，，则=_____

15．中，若，，则______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】首先根据，求得，根据题中所给的条件，得到，再结合题中所给的条件为定值，设其为k，从而整理得出恒成立，从而求得结果.

【详解】

由，得：，

由，得：，

即，

（k为定值），

即，

即恒成立，

所以，，

故答案是：.

【点睛】

该题考查的是有关根据条件求参数的值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，两角差的正弦公式，三角形的内角和，诱导公式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.

2．【答案】

【解析】设,再换元得,再利用和差角公式求解即可.

【详解】

设,则,所以,

又

故答案为：

【点睛】

本题主要考查换元法,将已知角设成,再反解求出所求三角函数的角,再利用和差角公式化简计算.

3．【答案】

【解析】由图中所给数据易得图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分的面积为,又，

.

4．【答案】

【解析】设，则，所求的，先求出的值，和的值，再求出的值，得到答案.

【详解】

因为

设，则

所以

所以，

而所要求的

.

故答案为：.

【点睛】

本题是给值求值的题型，考查了同角三角函数关系，两角和的正切公式，属于简单题.

5．【答案】

【解析】由 得

， ，则 ，故答案为 .

6．【答案】

【解析】∵，∴，，又cos(α-β)=,sin(α+β)=,∴，，∴sin2α=

考点：本题考查了两角和差的正余弦公式

点评：熟练运用两角和差的正余弦公式及同角关系是此类问题常用方法，属基础题

7．【答案】

【解析】由条件和向量的坐标运算求出的坐标，再代入向量模的公式，由两角差的余弦公式化简求值.

【详解】

解：有题意得，

，

，

化简得：，

即，

故答案为：

【点睛】

本题是向量运算和三角运算的结合，考查计算能力，难度不大.

8．【答案】

【解析】将等式化简可得,,可得,进而利用二倍角公式求解即可

【详解】

由题, ,即，

又,则,即,

则,

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查对数．指数的计算法则,考查和角公式,考查余弦的二倍角公式,考查运算能力

9．【答案】

【解析】利用角的关系，建立函数值的关系求解。

【详解】

已知，且，则，故．

【点睛】

给值求值的关键是找准角与角之间的关系，再利用已知的函数求解未知的函数值。

10．【答案】

【解析】变换得到，利用公式展开计算得到答案.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题考查了三角函数的计算，变换是解题的关键.

11．【答案】

【解析】将化为和两个特殊角，然后根据特殊角的三角函数值来解答．

【详解】

，

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答．

12．【答案】

【解析】【详解】

在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，cosA＝＞0，cosB＝＞0，

得0＜A＜，0＜B＜，从而sinA＝，sinB＝，

所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝

sinA·sinB－cosA·cosB＝×－×＝.

13．【答案】

【解析】根据，得到的范围，再求出的值，将，再用两角差的余弦公式展开，得到答案.

【详解】

因为，所以

因为，所以，

所以

.

故答案为：

【点睛】

本题考查同角三角函数关系，利用两角差的余弦公式求值，属于简单题.

14．【答案】

【解析】,然后由两角和的正切公式可得.

【详解】

根据两角和的正切公式可得:

.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了两角和的正切公式,属于基础题.解题关键是将拆成两个已知角之和.

15．【答案】

【解析】将化为，两已知等式平方作和可求得，得到或；当时，可验证出已知等式不成立，故.

【详解】

由得：.

将与分别平方作和得：

，

又        或

当时，，，，

，不合题意，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换知识求解角的问题，易错点是根据正弦值求角时，忽略已知条件的限制，造成增根的出现.