人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数课后练习题

【精编】6.1.3 基本初等函数的导数-2优选练习

一．填空题

1．曲线在点处的切线方程为________.

2．曲线在点处的切线方程为______.

3．曲线在点处的切线方程为_________.

4．曲线在点处的切线与直线垂直，则______.

5．函数(其中)的图象在处的切线方程是_____．

6．水波的半径以0. 5m/s的速度向外扩张，当半径为25m时，圆面积的膨胀率是_____．

7．设曲线在点处的切线方程为，则______.

8．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_________．

9．在平面直角坐标系中，设抛物线在点处的切线为.若与该抛物线的准线的交点横坐标为，则的值为_____.

10．曲线在点A（1,1）处的切线方程为__________．

11．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则_____.

12．若直线与曲线（是自然对数的底数）相切，则实数________.

13．曲线在点处的切线的斜率为____.

14．曲线在点处的切线方程为______．

15．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是_______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】求导，求出切线的斜率 ，用直线方程的点斜式，即可求解.

详解：,

所以切线方程为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查切线的几何意义，属于基础题.

2．【答案】

【解析】先求导得，进而得切线斜率

详解：解：因为，

所以切线斜率，

所以曲线在点处的切线方程为：.

故答案为：

【点睛】

本题考查根据导数的几何意义求切线方程，考查运算能力，是基础题.

3．【答案】

【解析】对函数求导，求得当x=1时的斜率，根据点斜式可求得切线方程．

详解：对函数求导得

因为点在曲线上，所以

由点斜式可得切线方程为

【点睛】

本题考查了过曲线上一点的切线方程，导数的几何意义，属于基础题．

4．【答案】

【解析】计算，可得曲线在点处的切线的斜率，然后根据直线垂直的位置关系，可得斜率乘积为-1，简单计算可得结果.

详解：由题可知：，则

所以，即该曲线在点处的切线斜率为

又因为曲线在点处的切线与直线垂直

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查曲线在某点处的导数的几何意义，熟练曲线“过”．“在”某点处的切线方程，注意审题，属基础题.

5．【答案】

【解析】求出函数在处的导数值，即切线的斜率，由点斜式即可得切线方程.

详解：由，得，所以切线的斜率，

所以切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查在一点处的切线方程的求法，同时考查常见函数的导数及两个函数积的导数，属于基础题.

6．【答案】25π

【解析】写出水波面积与时间的函数，由导数计算圆面积的膨胀率，代值进行求解.

【详解】

因为水波的半径扩张速度为0.5m/s，

故水波面积为，

故水波面积的膨胀率为.

当水波的半径为时，由，解得，

即可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的定义，难点是构造函数，理解膨胀率的意义是面积关于时间的导数.

7．【答案】4

【解析】由题意得：，故，所以，故.

详解：因为曲线在点处的切线方程为，

所以，

故曲线在点切线的斜率为.

又因为曲线在点处的切线方程为，

所以，故.

故答案为：4.

【点睛】

本题主要考查函数的导函数的求值及导数的几何意义，属于基础题目.

8．【答案】1

【解析】设出函数的切点，对函数求导，求出曲线的切线方程，同理求出曲线的切线方程，根据题意这两条切线方程与直线重合进行求解即可.

详解：曲线的切点坐标为：，因此有

，所以过该切点的切线方程为：

，

曲线的切点坐标为：，因此有

，所以过该切点的切线方程为：

，由题意可知：

.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了两条曲线公切线问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.

9．【答案】.

【解析】将抛物线方程变形为，求导，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据与准线的交点列方程求解即可.

【详解】

解：由已知得，

，

，

，即，

当时，，

解得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义及抛物线切线方程的求解，导数的应用是关键，是基础题.

10．【答案】

【解析】∵，∴，∴k=1，∴点A（1,1）处的切线方程为y-1=x-1即y=x

考点：本题考查了导数的几何意义

点评：在某点的切线斜率等于在该点处的导函数值

11．【答案】e

【解析】利用导数的几何意义，结合题中的斜率，即可求得.

【详解】

因为，又处切线的斜率为2

故由导数几何意义可知：

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属基础题.

12．【答案】

【解析】根据题意，设切点为（m，em），求y＝ex的导数，由导数几何意义可得k，即得切线方程，结合切线kx﹣y﹣k＝0可得m，从而得到k．

详解：根据题意，若直线kx﹣y﹣k＝0与曲线y＝ex相切，设切点为（m，em）

曲线y＝ex，其导数y′＝ex，则切线的斜率k＝y′|x＝m＝em，

则切线的方程为y﹣em＝em（x﹣m），

又由k＝em，则切线的方程为y﹣k＝k（x﹣m），即kx﹣y﹣mk+k＝0，

又由切线为kx﹣y﹣k＝0，则有﹣m+1＝﹣1，解可得m＝2，

则k＝em＝e2，

故答案为：e2.

【点睛】

本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．

13．【答案】7

【解析】利用导数的几何意义计算即可.

详解：，.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，涉及到导数的运算法则，是一道容易题.

14．【答案】

【解析】利用导数求出曲线在点处的切线的斜率，然后利用点斜式可写出所求切线的方程.

详解：依题意得，因此曲线在处的切线的斜率等于，

所以函数在点处的切线方程为.

故答案为：．

【点睛】

本小题主要考查直线的斜率．导数的几何意义．利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

15．【答案】4

【解析】求出导函数，由导数几何意义求得切点横坐标，得切点坐标，代入切线方程可得参数值．

详解：∵，∴，

∵直线是曲线的一条切线，∴，解得，即切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标，

∵切点在切线上，∴，解得，∴实数m的值为4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，正确求导是解题基础，本题属于基本题．