高中数学人教版新课标A选修2-21.2导数的计算第2课时免费课时训练

第一章　导数及其应用

1.2　导数的计算

1.2.1　几个常用函数的导数

1.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

第2课时　导数的运算法则

基础过关练

题组一　导数的运算法则

1.函数y=x3-e2+ln x的导函数是y'=(　　)

A.x2-e2+ B.x2-e2+

C.x2+ D.x2+

2.(2019山西原平范亭中学高二月考)f(x)=x2-1在x=1处的导数为(　　)

A.0      B.1

C.2      D.以上都不对

3.(2019浙江学军中学高二期中)函数f(x)=cos x(sin x+1)的导数是f'(x)=(　　)

A.cos 2x+sin x B.cos 2x-sin x

C.cos 2x+cos x D.cos 2x-cos x

4.(2019天津高二下期末)已知函数f(x)=(ax+1)ln x,f'(x) 为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则实数a的值为　　　　. 

5.求下列函数的导数.

(1)y=x-2+x2;

(2)y=3xex-2x+e;

(3)y=;

(4)y=x2-4sin cos .

题组二　复合函数的求导法则

6.函数y=(2 020-8x)3的导数y'=(　　)

A.3(2 020-8x)2

B.-24x

C.-24(2 020-8x)2

D.24(2 020-8x)2

7.函数y=cos(2x+1)的导数为(　　)

A.y'=2sin(2x+1)

B.y'=-2sin(2x+1)

C.y'=-sin(2x+1)

D.y'=2cos(2x+1)

8.函数y=(3x+2)2的导函数为　　　　. 

9.已知f(x)=ln(3x-1),则f'(1)=　　　　. 

10.(2019江苏启东中学高二期中)求下列函数的导函数.

(1)y=;

(2)y=sin2x;

(3)y=;

(4)y=(x-2)3(3x+1)2.

题组三　求导法则的综合应用

11.(2020山东日照实验高级中学高二月考)已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)等于(　　)

A.0    B.-2

C.-4    D.2

12.(2020河南南阳中学高三开学考试)若函数f(x)=ax-ln x的图象上存在与直线x+3y-4=0垂直的切线,则实数a的取值范围是(　　)

A.[3,+∞)   B.(3,+∞)

C.   D.

13.设函数f(x)=xsin x+cos x的图象在点(t, f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)的图象的一部分可以是　(　　)

14.(2019黑龙江哈尔滨高二期末)已知函数f(x)=ln(2x+1),则函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为　　　　. 

15.(2019安徽合肥一中高二期中)设P为曲线C:y=x2+x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为　　　　. 

16.(2019安徽六安二中高二期末)已知函数f(x)=x3-x.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程;

(2)求过点(1,0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程.

17.(2019安徽合肥一中高二期中)已知函数f(x)=x3+x-16.

(1)求曲线y=f(x)在点(1,-14)处的切线方程;

(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.

18.已知函数f(x)=x+aln x(a∈R),若曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值.

19.已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, f'(x)是f(x)的导函数,a=f',求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.

能力提升练

一、选择题

1.(2019北京四中高二期中,★★☆)下列求导正确的是(　　)

A.=1+           B.=

C.(x2cos x)'=-2xsin x  D.(xln x)'=ln x+

2.(2019贵州贵阳一中高二期中,★★☆)函数y=sin x+excos x的导数为(　　)

A.y'=(1+ex)cos x+exsin x

B.y'=cos x+exsin x

C.y'=(1+ex)cos x-exsin x

D.y'=cos x-exsin x

3.(2019山西师大附中高二月考,★★☆)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=3xf'(2)+ln x,则f'(1)的值等于(　　)

A.    B.- C.-   D.

4.(2020广西玉林高二期末,★★☆)函数f(x)=-2x+ln x的图象在x=1处的切线方程为(　　)

A.x+y+1=0   B.x-y+1=0

C.2x-y+1=0   D.2x+y-1=0

5.(2019黑龙江鹤岗一中高二期末,★★☆)已知过点A(a,0)作曲线C:y=xex的切线有且仅有1条,则实数a的取值是(　　)

A.0      B.4

C.0或-4 D.0或4

6.(★★☆)设函数f(x)=x3+x2+tan θ,其中θ∈,则导数f'(1)的取值范围是(　　)

A.[-2,2] B.[,]

C.[,2] D.[,2]

7.(★★★)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的x∈(0,+∞)都有f[f(x)-x3]=2,则方程f(x)-f'(x)=2的一个根所在的区间是(　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

二、填空题

8.(2019新疆兵团建工师四中高二期中,★★☆)若函数f(x)=,则f'(x)=　　　　. 

9.(2019云南保山一中高二期末,★★☆)已知曲线y=-3ln x在点(x0, f(x0))处的切线与直线2x+y-1=0垂直,则x0的值为　　　　. 

10.(2019甘肃天水一中高二月考,★★☆)设函数f(x)=2x3+ax2+bx+1的导函数为f'(x),若函数y=f'(x)图象的顶点的横坐标为-,且f'(1)=0,则a+b的值为　　　　. 

11.(2019江西奉新一中高三月考,★★☆)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是　　　　. 

12.(2019福建莆田一中高二期中,★★☆)若f(x)=ln x与g(x)=x2+ax两个函数的图象有一条与直线y=x平行的公共切线,则a=　　　　. 

三、解答题

13.(2018重庆巴蜀中学高三月考,★★★)已知函数f(x),x∈(0,+∞)的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3ex, f(1)=e-1,求函数f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线方程.

14.(★★★)已知函数f(x)=ax2+2ln(2-x)(a∈R),设曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线为l.

(1)求切线l的方程;

(2)若直线l与圆C:x2+y2=相切,求实数a的值;

(3)若直线l与圆C:x2+y2=相交,求实数a的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.D　∵y=x3-e2+ln x,

∴y'=×3x2+(ln x)'=x2+.故选D.

2.C　由题得f'(x)=2x,所以f'(1)=2.

3.B　∵f(x)=cos x(sin x+1),

∴f'(x)=-sin x(sin x+1)+cos x·cos x

=cos2x-sin2x-sin x=cos 2x-sin x.

4.答案　2

解析　根据题意,得 f'(x)=+aln x,

所以f'(1)=a+1=3,故a=2.

5.解析　(1)y'=2x-2x-3.

(2)y'=(ln 3+1)·(3e)x-2xln 2.

(3)y'=.

(4)∵y=x2-4sin cos =x2-2sin x,

∴y'=2x-2cos x.

6.C　y'=3(2 020-8x)2×(2 020-8x)'=3×(2 020-8x)2×(-8)=-24(2 020-8x)2.故选C.

7.B　y'=[cos(2x+1)]'=[-sin(2x+1)]·(2x+1)'=-2sin(2x+1).故选B.

8.答案　y'=18x+12

解析　函数y=(3x+2)2可看成函数y=u2和u=3x+2的复合函数,

∴yx'=yu'·ux'=(u2)'·(3x+2)'=6u=18x+12.

9.答案　

解析　f'(x)=·(3x-1)'=,

∴f'(1)=.

10.解析　(1)y'=()'==.

(2)y'=2sin x(sin x)'=2sin xcos x=sin 2x.

(3)y'=

=.

(4)y'=3(x-2)2(3x+1)2+6(x-2)3(3x+1)=3(x-2)2(3x+1)(5x-3).

11.C　由题可得f'(x)=2x+2f'(1),取x=1可得f'(1)=2×1+2f'(1),解得f'(1)=-2,则f'(0)=2×0+2f'(1)=2×0+2×(-2)=-4.

12.B　设切点为(x0,ax0-ln x0).

由题得切线的斜率为k==3,

又f'(x)=a-(x>0),

所以a-=3,所以a=+3,

而x0∈(0,+∞),所以a∈(3,+∞).

13.A　由f(x)=xsin x+cos x可得f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,

所以g(t)=tcos t,

而函数g(t)是奇函数,排除选项B,D;

当t∈时,y>0,排除选项C.

故选A.

14.答案　y=2x

解析　因为f'(x)=,所以f'(0)=2,

又因为f(0)=0,所以函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.

15.答案　

解析　设P(m,n)为曲线C:y=x2+x+3上的点,导数y'=2x+,

所以在点P处切线的斜率k=2m+,

因为曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,所以0≤2m+≤,解得-≤m≤0.

16.解析　(1)f'(x)=3x2-1,则f'(1)=2,

所以曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=2x-2.

(2)设切点的坐标为(x0,-x0), f'(x0)=3-1,

则所求切线方程为y-(-x0)=(3-1)·(x-x0),

代入点(1,0),得-+x0=(3-1)(1-x0),解得x0=1(二重根)或x0=-.

当x0=-时,所求直线方程为y=-x+;

当x0=1时,由(1)知过点(1,0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程为y=2x-2.

故所求直线方程为y=-x+或y=2x-2.

17.解析　(1)易知点(1,-14)在曲线y=f(x)上,

因为f'(x)=3x2+1,

所以曲线y=f(x)在点(1,-14)处的切线的斜率为k=f'(1)=4,

所以所求切线方程为y+14=4(x-1),即y=4x-18.

(2)设切点坐标为(x0,y0),

则y0=+x0-16,直线l的斜率为f'(x0)=3+1,

所以直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16.

又因为直线l过坐标原点(0,0),

所以0=(3+1)(-x0)++x0-16,

整理得=-8,解得x0=-2,

所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,

所以切点坐标为(-2,-26),

又f'(-2)=3×(-2)2+1=13,

所以直线l的方程为y=13x.

18.解析　f'(x)=1+(x>0),

若曲线y=f(x)在x=2处的切线方程为y=2x+b,

则有解得

19.解析　由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,

得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,

则a=f'=3-2sin +2cos =1.

由y=x3得y'=3x2.

当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),

故过曲线y=x3上的点P的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

当P点不是切点时,设切点为(x0,),此时切线的斜率k'=3,

∴切线方程为y-=3(x-x0),

∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,

∴b=1,将P(1,1)代入切线方程得

1-=3(1-x0),

∴2-3+1=0,∴2-2-+1=0,

∴(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=-(x0=1舍去),

∴切点坐标为,

又切线的斜率为3×=,

∴此时的切线方程为y+=,即3x-4y+1=0.

综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.

能力提升练

一、选择题

1.A　对于A,=1+,故A选项正确.

对于B,==,故B选项错误.

对于C,(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x,故C选项错误.

对于D,(xln x)'=ln x+1,故D选项错误.

2.C　y'=(sin x)'+(ex)'cos x+ex(cos x)'

=cos x+excos x-exsin x

=(1+ex)cos x-exsin x.

3.A　由f(x)=3xf'(2)+ln x,

可得f'(x)=3f'(2)+.

当x=2时, f'(2)=3f'(2)+,解得f'(2)=-,则f'(x)=-+,

故f'(1)=-+1=.

4.A　当x=1时, f(1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),

由题得f'(x)=-2+,所以切线的斜率k=f'(1)=-2+=-1,

所以切线方程为y+2=-1×(x-1),即x+y+1=0.

5.C　设切点为(x0,x0),且函数y=xex的导数y'=(x+1)ex,

所以y'=(x0+1),

所以则切线方程为y-x0=(x0+1)(x-x0),

又切线过点A(a,0),代入得-x0=(x0+1)·(a-x0),所以a=,所以结合题意知方程-ax0-a=0有两个相等的根,则有Δ=a2+4a=0,解得a=0或a=-4.

6.D　f'(x)=sin θ·x2+cos θ·x,

∴f'(1)=sin θ+cos θ=2sin,

∵θ∈,∴θ+∈,

∴sin∈,

∴2sin∈[,2].故选D.

7.D　由题意可知f(x)-x3是定值,令t=f(x)-x3,则f(x)=x3+t,又f(t)=t3+t=2,所以(t-1)(t2+t+2)=0,解得t=1,所以f(x)=x3+1,所以f(x)-f'(x)=x3+1-3x2=2,

令F(x)=x3-3x2-1,可得F(3)=-1<0,F(4)=15>0,易知F(x)的图象为其定义域内的一条连续不断的曲线,由函数零点存在性定理可知F(x)=x3-3x2-1的零点在区间(3,4)内,所以f(x)-f'(x)=2的一个根所在的区间是(3,4),故选D.

二、填空题

8.答案　

解析　f'(x)=

==.

9.答案　3

解析　因为曲线在点(x0, f(x0))处的切线与直线2x+y-1=0垂直,

所以切线的斜率为,

所以y'=-=,解得x0=3(负值舍去).

10.答案　-9

解析　由f(x)=2x3+ax2+bx+1,得f'(x)=6x2+2ax+b,

所以函数y=f'(x)图象的对称轴方程为x=-,

由题意得-=-,解得a=3,

所以f'(x)=6x2+6x+b,

又由f'(1)=0可得6+6+b=0,

解得b=-12,

所以a+b=-9.

11.答案　

解析　函数y=的导数为y'=-=-,

因为ex+≥2=2,当且仅当x=0时,等号成立,

所以ex++2≥4,

所以y'∈[-1,0),即tan α∈[-1,0),

又因为0≤α<π,所以≤α<π.

12.答案　3或-1

解析　在曲线y=f(x)上取切点(t,ln t),因为f(x)=ln x,所以f'(x)=,

所以f'(t)==1,得t=1,所以切点坐标为(1,0),则所求切线方程为y=x-1.

联立消去y并整理,得x2+(a-1)x+1=0,

由于直线y=x-1与函数g(x)=x2+ax的图象相切,所以Δ=(a-1)2-4=a2-2a-3=0,

解得a=-1或a=3.

三、解答题

13.解析　∵xf'(x)-2f(x)=x3ex,x∈(0,+∞),

∴=ex.

令g(x)=,则g'(x)==ex,

∴g(x)==ex+c(c为任意常数),

∴f(x)=x2(ex+c),

又f(1)=e+c=e-1,

∴c=-1.

∴f(x)=x2(ex-1),

∴f'(x)=2x(ex-1)+x2ex=(x2+2x)ex-2x,

∴f'(2)=8e2-4.

又f(2)=4(e2-1),

∴所求切线方程为y-4(e2-1)=(8e2-4)·(x-2),即y=(8e2-4)x-12e2+4.

14.解析　(1)由题可得f(1)=a, f'(x)=2ax+(x<2),

所以f'(1)=2a-2,

所以切线l的方程为y-a=(2a-2)(x-1),即2(a-1)x-y+2-a=0.

(2)因为直线l与圆相切,所以圆心到直线l的距离等于半径,即d==,解得a=.

(3)因为直线l与圆C:x2+y2=相交,

所以圆心到直线l的距离小于半径,

即d=<,

解得a>,即实数a的取值范围为.