人教版新课标A选修2-21.1变化率与导数免费复习练习题

第一章　导数及其应用

1.1　变化率与导数

1.1.3　导数的几何意义

基础过关练

题组一　导数的几何意义

1.下列说法正确的是(　　)

A.曲线的切线和曲线有交点,这点一定是切点

B.过曲线上一点作曲线的切线,这点一定是切点

C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处无切线

D.若曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在

2.设f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线　(　　)

A.不存在      B.与x轴平行或重合

C.与x轴垂直 D.与x轴斜交

3.如果曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么(　　)

A.f'(x0)>0  B.f'(x0)<0

C.f'(x0)=0      D.f'(x0)不存在

4.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是(　　)

A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)

B.0<f'(2)<f(3)-f(2)<f'(3)

C.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)

D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)

题组二　导数的物理意义与导函数

5.若一物体的运动方程为s=mt2,在t=1时的速度v=2,则m等于(　　)

A.1 B. C.- D.-1

6.已知f(x)=7x2+8,则f(x)的导函数f'(x)=　　　　. 

7.已知f(x)=mx2+n,且f(1)=-1, f(x)的导函数f'(x)=4x,则m=　　　　,n=　　　　. 

8.一物体的运动方程为s=3t2+6t+1,求:

(1)该物体在t=1,t=3时的速度;

(2)该物体在t=211,t=985时的加速度.

题组三　求曲线的切线方程

9.若曲线f(x)=x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(　　)

A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0

C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0

10.曲线y=f(x)=x2在点处的切线方程为　　　　. 

11.求曲线y=f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程.

12.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程;

(2)求由直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积.

题组四　与曲线的切点相关的问题

13.已知曲线y1=2-与y2=x3-x2+2x在x=x0处的切线的斜率之积为3,则x0的值为(　　)

A.-2 B.1 C.12 D.2

14.如图是函数f(x)及f(x)在点P处切线的图象,则f(2)+f'(2)=　　　　. 

能力提升练

一、选择题

1.(★★☆)已知函数y=f(x)的图象在点(2 019,2 020)处的切线与直线x+3y-2=0垂直,则f'(2 019)等于(　　)

A.2    B.-     C.-3   D.3

2.(★★☆)已知曲线y=x3在点P处的切线的斜率k=3,则点P的坐标是(　　)

A.(1,1)           B.(-1,1)

C.(1,1)或(-1,-1) D.(2,8)或(-2,-8)

3.(★★☆)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f'(x)的图象可能是(　　)

4.(2019湖北武汉高二期中,★★☆)设f(x)存在导函数,且满足=-1,则曲线y=f(x)上点(1, f(1))处的切线的斜率为(　　)

A.2   B.-1

C.1   D.-2

二、填空题

5.(★★☆)已知直线x-y-1=0与抛物线y=f(x)=ax2相切,则a的值为　　　　. 

6.(★★☆)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于　　　　. 

7.(★★☆)若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为　　　　. 

三、解答题

8.(★★☆)已知抛物线y=x2+3与直线y=2x+2相交,求它们交点处抛物线的切线方程.

9.(★★★)点P在曲线f(x)=x2+1上,且该曲线在点P处的切线与曲线y=-2x2-1相切,求点P的坐标.

10.(★★★)求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.

11.(★★★)求曲线y=f(x)=x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积.

答案全解全析

基础过关练

1.D　曲线的切线与曲线的交点不一定唯一,故A,B说法错误;若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处可以有切线,故C说法错误;若曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处有切线,则f'(x0)不一定存在,D说法正确.故选D.

2.B　因为f'(x0)=0,所以曲线y=f(x)在点(x0, f(x0))处的切线存在,且斜率k=f'(x0)=0,故选B.

3.B　因为切线方程x+2y-3=0的斜率为-,所以f'(x0)=-<0.

4.C　割线AB的斜率为=f(3)-f(2),

f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2, f(2))处的切线的斜率,

f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3, f(3))处的切线的斜率,

结合题中图象可知0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).

5.A　由题意可知,v=s'(1)=2.

又s'(t)==

==(2mt+mΔt)=2mt,

∴s'(1)=2m,∴2m=2,∴m=1,故选A.

6.答案　14x

解析　=

==7Δx+14x,

故f'(x)==(7Δx+14x)=14x.

7.答案　2;-3

解析　=

==mΔx+2mx,

故f'(x)==(mΔx+2mx)=2mx=4x,所以m=2.

因为f(1)=-1,即2+n=-1,所以n=-3.

综上,m=2,n=-3.

8.解析　(1)=

=

=3Δt+6t+6,

则速度v(t)=s'(t)==(3Δt+6t+6)=6t+6,

所以v(1)=6×1+6=12,v(3)=6×3+6=24,故t=1,t=3时的速度分别为12,24.

(2)同(1)可得,加速度a=v'(t)=6,所以t=211,t=985时的加速度都为6.

9.A　设切点为(x0,y0),

因为f'(x)==(2x+Δx)=2x,

又由题意可知,切线的斜率k=4,即f'(x0)=2x0=4,所以x0=2.

所以切点坐标为(2,4),切线方程为y-4=4·(x-2),即4x-y-4=0,故选A.

10.答案　y=x-

解析　∵f'(1)=

===1,

∴曲线在点处的切线的斜率为1,则切线方程为y-=1×(x-1),即y=x-.

11.解析　设切点为Q(a,a2+1),==2a+Δx,当Δx趋近于0时,(2a+Δx)趋近于2a,所以所求切线的斜率为2a.因此,切线方程为y-(a2+1)=2a(x-a),因为点P(1,0)在切线上,所以-(a2+1)=2a(1-a),解得a=1±,所以所求的切线方程为

y=(2+2)x-(2+2)或y=(2-2)x-(2-2).

12.解析　(1)因为y'x=1=

=3,

所以直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.

设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b,b2+b-2),

则y'x=b=

=2b+1,所以直线l2的方程为y-(b2+b-2)=(2b+1)·(x-b),即y=(2b+1)x-b2-2.

因为l1⊥l2,所以3×(2b+1)=-1,所以b=-,所以直线l2的方程为y=-x-.

(2)由得

即直线l1与l2的交点坐标为.

又l1,l2与x轴的交点坐标分别为(1,0),,

所以所求三角形的面积S= ××=.

13.B　由题意知,y'1==,

y2'==3x2-2x+2,

所以两曲线在x=x0处的切线的斜率分别为,3-2x0+2.

由题意可知,=3,所以x0=1.

14.答案　

解析　由题图知,切线方程为+=1,

f(2)=4.5×=,

f'(2)=-=-.

∴f(2)+f'(2)= - = .

能力提升练

一、选择题

1.D　由题意知f'(2 019)=3,故选D.

2.C　因为y=x3,所以y'=

=[3x2+3x·Δx+(Δx)2]=3x2.

因为切线的斜率k=3,所以3x2=3,得x=1或x=-1.

当x=1时,y=1;当x=-1时,y=-1.

故点P的坐标是(1,1)或(-1,-1).故选C.

3.B　由y=f(x)的图象及导数的几何意义可知,当x<0时, f'(x)>0,当x=0时, f'(x)=0,当x>0时, f'(x)<0,故选B.

4.D　

=×=f'(1)=-1.

所以f'(1)=-2.

二、填空题

5.答案　

解析　设切点为P(x0,y0),

则f'(x0)=

=

=(2ax0+aΔx)=2ax0,

即2ax0=1.

又y0=a,x0-y0-1=0,

联立以上三式,得解得a=.

6.答案　1

解析　由导数的定义可求得y'=3x2+a,

则解得所以2a+b=1.

7.答案　4

解析　设在P点处切线的斜率为k,则k=y'x=-2

==-5,

所以切线方程为y=-5x.

所以点P的纵坐标为y=-5×(-2)=10.

将点P(-2,10)代入y=x2-x+c,得c=4.

三、解答题

8.解析　由方程组得x2-2x+1=0,

解得x=1(二重根),y=4,所以交点坐标为(1,4),

=Δx+2,

当Δx趋近于0时,Δx+2趋近于2,所以在点(1,4)处的切线的斜率k=2,

所以切线方程为y-4=2(x-1),

即y=2x+2.

9.解析　设P(x0,y0),则y0=+1.

f'(x0)==2x0,

所以在点P处的切线方程为y-y0=2x0(x-x0),即y=2x0x+1-.

而此直线与曲线y=-2x2-1相切,

所以切线与曲线y=-2x2-1只有一个公共点.

由得2x2+2x0x+2-=0,

所以Δ=4-8(2-)=0,

解得x0=±,则y0=.

所以点P的坐标为,或-,.

10.解析　y'===2x.

设所求切线的切点为A(x0,y0).

∵点A在曲线y=x2上,

∴y0=,

又∵A是切点,

∴过点A的切线的斜率k=2x0,切线方程为y-=2x0(x-x0),即y=2x0x-,

∵所求切线过点P(3,5),

∴5=6x0-,

解得x0=1或x0=5.

∴所求的切线有两条,方程分别为y=2x-1和y=10x-25.

11.解析　∵f'(3)=

=

=(d2+9d+27)=27,

∴曲线在点(3,27)处的切线方程为y-27=27(x-3),即27x-y-54=0.

此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,-54).

∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=×2×54=54.