高中人教版新课标A1.2导数的计算第1课时免费当堂检测题

第一章　导数及其应用

1.2　导数的计算

1.2.1　几个常用函数的导数

1.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

第1课时　基本初等函数的导数公式

基础过关练

题组一　常用函数的导数

1.f(x)=0的导数是(　　)

A.f'(x)=0   B.f'(x)=1

C.不存在      D.不确定

2.下列结论正确的是(　　)

A.若y=e,则y'=e

B.若y=,则y'=

C.若y=x2,则y'=x

D.若y=x,则y'=1

3.给出下列命题:

①y=ln 2,则y'=;②y=,则y'x=3=-;

③y=2x,则y'=2xln 2;④y=log2x,则y'=.

其中正确命题的个数为(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

4.(2019江西吉安高二上期末)下列导数运算正确的是(　　)

A.(x-1)'=           B.=ln 2

C.(cos x)'=sin x D.(ln x)'=

5.(2019湖北华中师大一附中高二期中)设f0(x)=sin x, f1(x)=f'0(x), f2(x)=f'1(x),……, fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 019(x)=(　　)

A.-sin x B.sin x

C.-cos x D.cos x

题组二　利用导数公式求函数的导数

6.(2019甘肃临夏中学高二期中)已知函数f(x)=,f'(m)=-,则m=(　　)

A.-4   B.4

C.±2   D.-2

7.若函数y=10x,则y'x=1等于(　　)

A.    B.10 C.10ln 10   D.

8.(2019黑龙江哈尔滨高二期中)设f(x)=ln x,若f'(x0)=3,则x0=(　　)

A.e3   B.3

C.   D.ln 3

9.已知f(x)=x2,g(x)=ln x,若f'(x)+2xg'(x)=3,则x=　　　　. 

10.若f(x)=,g(x)=ex,则f'·g'(0)=　　　　. 

11.求下列函数的导数.

(1)y=cos ;(2)y=;(3)y=;(4)y=lg x;

(5)y=5x;(6)y=cos.

题组三　导数公式的应用

12.(2019浙江临海白云中学高二期中)曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率是　　　　,切线方程为　　　　. 

13.(1)求函数f(x)=的图象在点(-1,-1)处的切线方程;

(2)求函数f(x)=cos x的图象在点处的切线方程.

14.已知f(x)是偶函数,当x≤0时, f(x)=,求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程.

15.质点的运动方程是s(t)=sin t.

(1)求质点在t=时的速度;

(2)求质点运动的加速度方程.

16.(2019广东东莞高二上期末)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn,令an=lg,计算a1+a2+a3+…+a2 019.

能力提升练　　　　　　　　　　　　　　　　

一、选择题

1.(2018福建三明第一中学月考,★★☆)以正弦曲线y=sin x上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.∪

B.[0,π)

C.

D.∪

2.(2019贵州铜仁第一中学高二期中,★★☆)已知函数f(x)=2sin x,则f'(0)=(　　)

A.0     B.1

C.2     D.

3.(★★☆)若曲线y=在点(m,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则m=(　　)

A.64     B.32 

C.16     D.8

4.(★★☆)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足:a2+a2 018=π,b1·b2 019=2, f(x)=cos x, f'(x)为f(x)的导函数,则f'=(　　)

A.-   B. 

C.      D.-

5.(★★☆)已知函数f(x)的导数为f'(x),若存在x0使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.给出下列五个函数:①f(x)=x2,②f(x)=ex,③f(x)=ln x,④f(x)=sin x,⑤f(x)=.

其中有“巧值点”的函数的个数是(　　)

A.1    B.2     C.3   D.5

二、填空题

6.(2020江西南昌二中高二期末,★★☆)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ex(e为自然对数的底数)上,且该曲线在点A处的切线经过原点,则点A的坐标是　　　　. 

7.(★★★)已知实数m,n,p,q满足n=ln m,q=p+1,则的最小值为　　　　. 

三、解答题

8.(★★☆)已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点.

(1)求曲线y=x2在点P,Q处的切线方程;

(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.

9.(★★☆)设抛物线y=x2与直线y=x+a(a是常数)有两个不同的交点,记抛物线在两交点处的切线分别为l1,l2,求当a值变化时l1与l2交点的轨迹.

答案全解全析

基础过关练

1.A　f(x)=0是常数函数,所以f'(x)=0,故选A.

2.D　根据基本初等函数的导数公式可知D正确.

3.C　①中y=ln 2为常数函数,故y'=0,故①错误;对于②,∵y'=-,∴y'x=3=-,故②正确;显然③④正确.故选C.

4.D　因为(x-1)'=-,=-ln 2,(cos x)'=-sin x,(ln x)'=,所以选项A,B,C不正确,选项D正确.故选D.

5.C　f1(x)=cos x,

f2(x)=-sin x,

f3(x)=-cos x,

f4(x)=sin x,

∴4为最小正周期,

∴f2 019(x)=f4×504+3(x)=f3(x)=-cos x,故选C.

6.C　对函数f(x)求导得到f'(x)=-,将m代入f'(x),有f'(m)=-=-,解得m=±2.

7.C　∵y'=10xln 10,

∴y'x=1=10ln 10.

故选C.

8.C　∵f(x)=ln x,∴f'(x)=,

∴f'(x0)==3,解得x0=.

9.答案　

解析　由基本初等函数的导数公式可知f'(x)=2x,g'(x)=,由f'(x)+2xg'(x)=3得2x+2x·=3,解得x=.

10.答案　1

解析　∵f'(x)=,g'(x)=ex,

∴f'·g'(0)=×e0=1.

11.解析　(1)∵y=cos =,∴y'=0.

(2)∵y==x-5,∴y'=-5x-6.

(3)∵y===,∴y'=.

(4)∵y=lg x,∴y'=.

(5)∵y=5x,∴y'=5xln 5.

(6)∵y=cos=sin x,∴y'=cos x.

12.答案　;x-ey=0

解析　由题得f'(x)=,所以曲线y=ln x在点M(e,1)处的切线的斜率为f'(e)=,

所以切线方程为y-1=(x-e),即x-ey=0.

13.解析　(1)∵f'(x)==()'=-=-,

∴f'(-1)=-=-,

∴y+1=-(x+1),

即函数的图象在(-1,-1)处的切线方程为y=-x-.

(2)∵f'(x)=-sin x,

∴f'=-sin =-,

∴y-=-,

即函数的图象在处的切线方程为y=-x++.

14.解析　当x>0时,-x<0,由已知得f(-x)==.

∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x),

∴当x>0时, f(x)=,则f'(x)=,

∴曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=f'(1)=,

故所求切线方程为y-1=(x-1),

即x-2y+1=0.

15.解析　(1)设质点运动的速度方程为v(t),则v(t)=s'(t)=cos t,

∴v=cos =,

即质点在t=时的速度为.

(2)设质点运动的加速度方程为m(t).

∵v(t)=cos t,

∴m(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t.

16.解析　因为y=xn+1,所以y'=(n+1)xn,所以曲线在(1,1)处的切线的斜率k=n+1,

切线方程为y-1=(n+1)(x-1).

令y=0,得x=,即xn=,

所以an=lg=lg(n+1)-lg n,

所以a1+a2+a3+…+a2 019

=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+lg 4-lg 3+…+lg 2 020-lg 2 019=lg 2 020=1+lg 202.

能力提升练

一、选择题

1.A　∵y=sin x,∴y'=cos x,∵cos x∈[-1,1],∴切线斜率的范围是[-1,1],∴倾斜角的范围是∪,故选A.

2.C　函数f(x)=2sin x,则f'(x)=2cos x,∴f'(0)=2cos 0=2.

3.A　因为y'=-,所以曲线y=在点(m,)处的切线方程为

y-=-(x-m),

由x=0得y=,由y=0得x=3m,

由题意可得··3m=18,解得m=64.

4. A　根据等差数列的性质有a1+a2 019=a2+a2 018=π,

根据等比数列的性质有b2·b2 018=b1·b2 019=2.

又f'(x)=-sin x,

∴f'=f'=-sin =-.

故选A.

5. D　①f(x)=x2, f'(x)=2x,则x2=2x,解得x=0或x=2,所以f(x)有“巧值点”;

②f(x)=f'(x)=ex,有无数个解,所以f(x)有无数个“巧值点”;③f(x)=ln x,f'(x)=,则ln x=,令g(x)=ln x-(x>0),易知g(x)的图象为(0,+∞)上一条连续不断的曲线,且g(1)=-1<0,g(e)=1->0,由函数零点存在性定理可知g(x)在(1,e)上必有零点,所以f(x)有“巧值点”;④f(x)=sin x,f'(x)=cos x,由sin x=cos x得x=+kπ,k∈Z,所以f(x)有“巧值点”;⑤f(x)=,f'(x)=,则=,解得x=,所以f(x)有“巧值点”.所以有“巧值点”的是①②③④⑤,故选D.

二、填空题

6.答案　(1,e)

解析　设切点A(x0,),切线的斜率k=f'(x0)=,所以切线方程为y-=(x-x0),

因为切线过原点,所以-=(-x0)⇒x0=1,所以点A的坐标是(1,e).

7.答案　

解析　由题意可知可以表示为两点(m,n)与(p,q)之间的距离.

又n=ln m,q=p+1可以看成是函数y=ln x与直线y=x+1,即当函数y=ln x的图象在(m,n)处的切线与直线y=x+1平行时可求出最小值.由导数的定义与基本初等函数的求导公式可知,(ln x)ꞌ= ,(x+1)ꞌ=1,

所以解得

因此的最小值即为点(1,0)到直线y=x+1的距离d,则d==.

故的最小值为.

三、解答题

8.解析　(1)因为y'=2x,且P(-1,1),Q(2,4)都是曲线y=x2上的点,

所以曲线在P点处的切线的斜率为k1=-2,在Q点处的切线的斜率为k2=4,

所以P点处的切线方程为y-1=-2(x+1),

即2x+y+1=0,

Q点处的切线方程为y-4=4(x-2),

即4x-y-4=0.

(2)设切点为M(x0,).

因为y'=2x,直线PQ的斜率k==1,

所以切线的斜率为k=2x0=1,解得x0=,

所以切点为M,

所以与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程为y-=x-,即4x-4y-1=0.

9.解析　将y=x+a代入y=x2,整理得x2-x-a=0,①

因为直线与抛物线有两个不同的交点,所以Δ=(-1)2+4a>0,解得a>-.

设两个不同的交点分别为(α,α2),(β,β2),α<β,由y=x2知y'=2x,则切线l1,l2的方程分别为y=2αx-α2,y=2βx-β2.

设两切线的交点坐标为(x,y),则②

因为α,β是①的解,由根与系数的关系,

可知α+β=1,αβ=-a.

将其代入②可得x=,y=-a<.

因此,所求的轨迹为直线x=上的y<的部分.