人教版新课标A选修2-21.2导数的计算教学设计

教学环节

教学活动

设计意图

一、情景

引入

回忆我们上一节课的例1，如果式子中某商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？

根据上一节课的内容，我们知道，求在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度，只需求关于的导数.但是如何求关于的导数呢？我们需要用到新的知识，即“导数的运算法则”.

从实际生活的例子出发，使学生对导数的运算法则有一个更深刻的认识。

二、讲授新课

（1）导数的 四则运算

导数的四则运算公式：

；

；

例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数。

（1）     

（2）

    （3）

导数的乘、除运算比较容易出错，要强调，引起注意.

（2）复合函数的定义.

一般地，对于两个函数，如果通过变量可以表示成的函数，那么称这个函数为函数的复合函数.

例1、试说明下列函数是怎样复合而成的？

(1)；

⑵；

⑶

⑷．

例2、写出由下列函数复合而成的函数：

⑴，；　　⑵，．

直接给出定义,并与基本初等函数相区别和联系.

说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．

（3）复合函数的导数

思考：如何求函数的导数？

复合函数的导数和函数的导数间的关系为.

例3、求下列函数的导数：

（1）； （2）；

（3）

对于（1）

①能否用学过四则运算解决问题?

②新方法：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，

两个导数相乘，得

      ，

从而有

对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同。

（学生自主完成（2）、（3））。

例4、求y=sin2(2x+)的导数

分析: 设u=sin(2x+)时，求，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.

解略.

两种方法作对照与比较,体会不同的解决方法与策略.鼓励学生模仿并及时修正.

三、巩固与提升

1、求的导数．

解：

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

2、求的导数．

解：

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

3、求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．

【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x

＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．

【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′

＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)

＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

4、曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离．

【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x     y′＝－3 x 2＋2 x ＋2     

令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得  x ＝－或x ＝1．

于是切点为P（1，2），Q（－，－），

过点P的切线方程为，y －2＝x －1即  x －y ＋1＝0．

显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为＝．

四、课堂小结

⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；

⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代. 

(11)作业布置:教科书P18A3,4(6),8,B3

练习与测试:

1．填空：

(1)；(2)

2.求下列函数的导数：(1)y=  (2)y= (3)y=tanx  (4)y=

3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.

4.求y=的导数.

5.求y=的导数.

6.求函数y=(2x2－3)的导数.

参考答案:

1．(1)∵

(2)

2. (1)y′=()′

(2)y′=()′

(3)y′=(tanx)′=()′

(4)y′=()′

＝

3.不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.

4.y′=()′

5.y′=()′

5.y′=()′

6. 分析: y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.

令y=uv，u=2x2－3，v=, 令v=，ω=1+x2

= (1+x2) x′

=

∴yx′=(uv) x′=u x′v+uv x′

=(2x2－3) x′·+(2x2－3)·

=4x

即yx′= .