高中第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直课前预习ppt课件

这是一份高中第八章 立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直课前预习ppt课件，共49页。PPT课件主要包含了自学导引，直线与平面垂直的定义，任意一条，l⊥α，两条相交直线，a∩b＝P，直线与平面所成的角，∠PAO，a∥b，垂线段等内容，欢迎下载使用。

【预习自测】直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)A．平行　　B．相交　　C．异面　　D．垂直【答案】A【解析】由直线与平面垂直的定义可知，l⊥m，l与m可能相交或异面，但不可能平行．
【提示】定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是等效的，但是不可说成“无数条直线”，因为一条直线与某平面内无数条平行直线垂直，该直线与这个平面不一定垂直．
直线与平面垂直定义中的关键词“任意一条直线”是否可以换成“所有直线”“无数条直线”？
直线与平面垂直的判定定理
【预习自测】一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)A．平行　　B．垂直C．相交不垂直　　D．不确定【答案】B【解析】直线和三角形两边垂直，由线面垂直的判定定理知，直线垂直三角形所在平面，则直线垂直第三边．
1．定义：(1)一条直线AP与平面α相交，但不垂直，这条直线叫平面的斜线，斜线与平面的交点A叫斜足．(2)过斜线上斜足外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线OA叫斜线在这个平面内的射影．(3)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______．
2．范围：设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°.3．画法：如图所示，斜线AP与平面α所成的角是________．
【预习自测】若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为(　　)A．60°　　　B．45°　　　C．30°　　　D．90°【答案】A
直线与平面垂直的性质定理
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．(　　)(2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．(　　)(3)一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．(　　)【答案】(1)√　(2)√　(3)√【解析】由线面垂直的定义和性质可知(1)、(2)、(3)均正确．
1．点到平面的距离：过一点作垂直于平面的直线有且只有一条，且该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的________，垂线段的长度叫做这个点到该平面的______．2．直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．3．两个平行平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
下列说法中正确的个数是(　　)①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0　　B．1　　C．2　　D．3
题型1　线面垂直的定义及判定定理的理解
素养点睛：本题考查了数学抽象的核心素养．【答案】D【解析】由直线和平面垂直的定理知①正确；由直线与平面垂直的定义知②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③错误；④正确．
1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交、平行或直线在平面内．2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．
1．下列说法中，正确的是(　　)A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
【答案】C【解析】当l与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥α，故A错；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．素养点睛：本题考查了直观想象和逻辑推理的核心素养．
题型2　线面垂直判定定理的应用
证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC．连接BD．在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，∴△SDB≌△SDA，∴∠SDB＝∠SDA＝90°，∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC．(2)∵AB＝BC，D是AC的中点，∴BD⊥AC．又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，∴BD⊥平面SAC．
证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：着力寻找平面内两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
2．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．素养点睛：本题考查了逻辑推理和数学运算的核心素养．
题型3　直线与平面所成的角
求直线和平面所成角的步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．
3．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1.素养点睛：本题考查了逻辑推理的核心素养．证明：因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
题型4　线面垂直性质定理的应用
证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点．(2)利用三线平行基本事实4：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
4．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB．求证：a∥l.证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA．同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB．因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB．由线面垂直的性质定理，得a∥l.
易错警示　忽略线面垂直判定定理的条件致误
错解：因为PA⊥a，a∥b，所以PA⊥b.所以PA⊥γ，所以PB⊥b.易错防范：本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由PA⊥a，PA⊥b，得PA⊥γ，而忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即a∩b≠∅.正解：因为PA⊥a，a∥b，所以PA⊥b.又AB⊥b，PA∩AB＝A，所以b⊥平面PAB．因为PB⊂平面PAB，所以PB⊥b.
1．线线垂直和线面垂直的相互转化：
2．证明线面垂直的方法(体现直观想象、逻辑推理的核心素养)：(1)线面垂直的定义．(2)线面垂直的判定定理．(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．3．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)A．平面OAB　　B．平面OACC．平面OBC　　D．平面ABC【答案】C【解析】由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC．
2．(2020年杭州期中)下列命题中为假命题的是(　　)A．垂直于同一直线的两个平面平行B．垂直于同一直线的两条直线平行C．平行于同一直线的两条直线平行D．平行于同一平面的两个平面平行【答案】B【解析】由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；由面面平行性质定理可知C正确；根据平行公理知D正确．故选B．
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．【答案】45°【解析】如图所示，因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.
5．如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD，SC的中点．求证：(1)BC⊥平面SAB；(2)EF⊥SD．
证明：(1)∵四棱锥S-ABCD的底面是矩形，∴AB⊥BC．∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC．又∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB．(2)∵SA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥SA．又∵CD⊥AD，SA∩AD＝A，∴CD⊥平面SAD．∵E，F分别是SD，SC的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面SAD．又∵SD⊂平面SAD，∴EF⊥SD．