高中数学第三章不等式综合与测试当堂检测题

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这是一份高中数学第三章不等式综合与测试当堂检测题，共12页。试卷主要包含了不等式x+12≥0的解集为，解不等式等内容，欢迎下载使用。

易错点1 多次利用不等式的性质,导致所求范围扩大
1.(★★☆)已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)满足1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的范围是( )
A.[3,12]B.(3,12)
C.(5,10)D.[5,10]
2.(2020湖南长沙第一中学高一期末,★★☆)已知-π2≤α<β≤π2,求α+β2,α-β2的取值范围.
易错点2 忽略二次项系数的正负
3.(★★☆)设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是( )
A.{x|x<-n或x>m}B.{x|-nC.{x|x<-m或x>n}D.{x|-m4.(★★☆)一元二次不等式-x2+5x-4>0的解集为 .
易错点3 在分式不等式中忽略了“分母不等于0”
5.(2020山西太原第五中学高二期中,★★☆)不等式x+1(x-1)2≥0的解集为( )
A.{x|x≥-1}B.{x|-1≤x≤1}
C.{x|x≥-1且x≠1}D.{x|x≥1或x≤-1}
6.(★★☆)解不等式:axx+1≤0(a∈R).
易错点4 忽视目标函数的几何意义
7.*(★★☆)已知点M(x,y)是不等式组x≥0,y≥0,x-y+1≥0,2x+y-4≤0表示的平面区域内的动点,则(x+1)2+(y+1)2的最大值是 .
8.*(★★★)已知实数x,y满足不等式组0≤x≤2,y≤2,x≤2y,则z=2x+y-1x-1的取值范围为 .
易错点5 忽略基本不等式等号成立的一致性
9.(2020广东佛山一中高二期中,★★☆)已知正数a,b满足a+2b=1,则2a+3b的最小值为( )
A.83B.8+43
C.8+23D.20
10.(★★☆)已知m>0,n>0,则当81m2+n2+7298mn取得最小值时,m-n的值为 .
11.(★★☆)已知正实数a,b满足a+b=1,求a+1a2+b+1b2的最小值.
思想方法练
一、函数与方程思想在不等式中的应用
1.(★★☆)若关于x的不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围为( )
A.-235,+∞ B.-235,1
C.(1,+∞)D.(-∞,-1)
2.(★★☆)如果不等式2x2+2mx+m4x2+6x+3<1对一切实数x均成立,则实数m的取值范围是( )
A.(1,3)B.(-∞,3)
C.(-∞,1)∪(2,+∞)D.(-∞,+∞)
3.(★★☆)已知关于x的不等式ax2+2x+c>0的解集为-13,12,则-cx2+2x-a>0的解集为 .
4.(2020北京朝阳高一期末,★★★)已知不等式1n+1+1n+2+1n+3+…+12n>112·lg12(a-1)+23对于一切大于1的自然数n都成立,求实数a的取值范围.
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
5.(★★☆)解关于x的不等式21x2+4ax-a2<0(a∈R).
6.(★★★)解不等式a(x-1)x-2>1(a∈R).
三、数形结合思想在线性规划问题中的应用
7.*(★★☆)已知点P(x,y)满足x-4y+3≤0,3x+5y≤25,x-1≥0,点A(2,0),则|OP|sin∠AOP(O为坐标原点)的最大值为 .
8.*(★★☆)若实数x,y满足2x+y-2≥0,y≤3,ax-y-a≤0,且x2+y2的最大值等于34,则正数a的值等于 .
9.*(★★☆)某家具厂有方木料90 m3,五合板600 m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2,生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2,出售一张书桌可获得利润80元,出售一个书橱可获得利润120元.
(1)如果只安排生产书桌,可获利润多少?
(2)如果只安排生产书橱,可获利润多少?
(3)怎样安排生产可使所得利润最大?
答案全解全析
易混易错练
1.D 由题意得f(-1)=a-b,f(1)=a+b,
∴a=12[f(1)+f(-1)],b=12[f(1)-f(-1)],
∴f(-2)=4a-2b=2[f(1)+f(-1)]-[f(1)-f(-1)]=3f(-1)+f(1).
∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤f(-2)≤10,故选D.
2.解析因为-π2≤α<β≤π2,
所以-π4≤α2<π4,①
-π4<β2≤π4,②
-π4≤-β2<π4,③
所以①+②得-π2<α+β2<π2,
①+③得-π2≤α-β2<π2.
又因为α<β,所以α-β<0.
所以-π2≤α-β2<0.
3.B 首先将原不等式化为(x-m)(x+n)<0.
由m+n>0知m>-n,
所以原不等式的解集为{x|-n故选B.
4.答案 {x|1解析原不等式等价于x2-5x+4<0,因为方程x2-5x+4=0的根为x1=1,x2=4,
所以原不等式的解集为{x|15.C 因为(x-1)2≥0,
所以原不等式等价于x+1≥0,x-1≠0,
即x≥-1且x≠1.故选C.
6.解析 axx+1≤0⇔ax(x+1)≤0,且x+1≠0.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≤0且x+1≠0⇔-1∴解集为{x|-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1};
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇔x(x+1)≥0且x+1≠0⇔x<-1或x≥0,
∴解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-17.答案 13
解析点M(x,y)所在的平面区域如图中的阴影部分所示.设点P的坐标为(-1,-1),则|PM|2=(x+1)2+(y+1)2.由图可知,当|PM|2最大时,点M应在线段AB上.
又|PB|2=(1+1)2+(2+1)2=13,|PA|2=(2+1)2+(0+1)2=10,故(x+1)2+(y+1)2的最大值是13.
8.答案 (-∞,1]∪[22+4,+∞)
解析由不等式组画出可行域,如图中阴影部分所示,z=2x+y-1x-1=2+y+1x-1的几何意义为可行域中的点(x,y)与点D(1,-1)连线的斜率加上2.由图知,点A的坐标为(2,1),则点D(1,-1)与点A(2,1)连线的斜率为22+2,原点(0,0)与点D(1,-1)连线的斜率为-1,所以z的取值范围为(-∞,1]∪[22+4,+∞).
9.B 因为a+2b=1,所以2a+3b=(a+2b)·2a+3b=8+4ba+3ab≥8+24ba·3ab=8+43,当且仅当4ba=3ab,即b=32a时取等号.
又因为a+2b=1,所以当且仅当a=3-12,b=3-34时取等号.故选B.
错因分析错解:由1=a+2b≥22ab得ab≤122,即1ab≥22.
再由2a+3b≥26ab得2a+3b≥26×22=83.
从而得出2a+3b的最小值为83的错误结果.
错因:在a+2b≥22ab中,等号成立的条件是a=2b,
在2a+3b≥26ab中,等号成立的条件是2a=3b,即a=23b,显然等号不能同时成立.
10.答案 -4
解析依题意,81m2+n2+7298mn≥18mn+7298mn≥81,当且仅当9m=n,18mn=7298mn,即9m=n,mn=94,即m=12,n=92时,等号成立,此时m-n=-4.
11.解析由题得,a+1a2+b+1b2=a2+b2+1a2+1b2+4=(a2+b2)1+1a2b2+4=[(a+b)2-2ab]1+1a2b2+4=(1-2ab)·1+1a2b2+4,
又由a+b=1,得ab≤a+b22=14当且仅当a=b=12时,等号成立,
所以1-2ab≥1-12=12,且1a2b2≥16,
所以a+1a2+b+1b2≥12×(1+16)+4=252,
所以a+1a2+b+1b2的最小值为252.
思想方法练
1.A 原不等式可变形为a>-x2+2x=-x+2x,设y=-x+2x,则y=-x+2x在区间[1,5]上为减函数,当x=1时,y=-x+2x的值为1;当x=5时,y=-x+2x的值为-235.由于题目是存在性问题,因此a>-235.故选A.
2.A 因为4x2+6x+3=2x+322+34>0对一切x∈R恒成立,所以原不等式等价于2x2+2mx+m<4x2+6x+3⇔2x2+(6-2m)x+3-m>0对一切实数x恒成立⇔Δ=(6-2m)2-8(3-m)=4(m-1)(m-3)<0,解得13.答案 {x|-2解析由ax2+2x+c>0的解集为-13,12,知a<0,且-13和12是方程ax2+2x+c=0的两个根.
由根与系数的关系,得-13×12=ca,-13+12=-2a,解得a=-12,c=2.所以-cx2+2x-a>0,
即x2-x-6<0,解得-20的解集为{x|-24.解析令f(n)=1n+1+1n+2+…+12n(n≥2,n∈N*),
则f(n+1)=1n+2+…+12n+12n+1+12n+2.
∵f(n+1)-f(n)=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2=1(2n+1)(2n+2)>0,
∴f(n+1)>f(n),
又∵n≥2,∴f(n)的最小值为f(2)=712.
由题意知,712>112lg12(a-1)+23,
∴lg12(a-1)<-1,∴a-1>2,∴a>3.
∴实数a的取值范围是(3,+∞).
5.解析原不等式等价于x+a3x-a7<0.
①当a>0时,a7>-a3,原不等式的解集为x-a3②当a<0时,a7<-a3,原不等式的解集为xa7③当a=0时,原不等式的解集为⌀.
6.解析移项、通分得a(x-1)-(x-2)x-2>0⇒[(a-1)x-(a-2)](x-2)>0.(*)
当a=1时,(*)式可以转化为x>2;
当a>1时,(*)式可以转化为x-a-2a-1(x-2)>0;
当a<1时,(*)式可以转化为x-a-2a-1(x-2)<0.
又当a≠1时,2-a-2a-1=aa-1,所以当a>1或a<0时,2>a-2a-1;当a=0时,2=a-2a-1;当0所以当a=1时,原不等式的解集是(2,+∞);当a>1时,原不等式的解集是-∞,a-2a-1∪(2,+∞);
当0当a=0时,原不等式的解集是⌀;
当a<0时,原不等式的解集是a-2a-1,2.
7.答案 225
解析将不等式组表示的平面区域作出,如图所示,
由于|OP|sin∠AOP=|OP|×yP|OP|=yP,故由图易知当点P为直线3x+5y=25与直线x=1的交点时,|OP|sin∠AOP最大,为225.
8.答案 34
解析在平面直角坐标系中画出已知不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分),
其中直线ax-y-a=0(a>0)的位置不确定,但它经过定点A(1,0),斜率为a(a>0).由于x2+y2=(x2+y2)2,且x2+y2的最大值等于34,所以平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于34.又由y=3,2x+y-2=0,解得x=-12,y=3,即M-12,3,所以OM=9+14<34,所以点P到原点的距离最大,由y=3,ax-y-a=0,解得x=3a+1,y=3,即P3a+1,3,故有3a+12+9=34,解得a=34或a=-12(舍去).
9.解析 (1)只安排生产书桌时,因为90÷0.1=900,600÷2=300,所以可生产书桌300张,用完五合板,此时获得的利润为80×300=24 000(元).
(2)只安排生产书橱时,因为90÷0.2=450,600÷1=600,所以可生产书橱450个,用完方木料,此时获得的利润为120×450=54 000(元).
(3)设安排生产书桌x张,安排生产书橱y个,可获利润z元,则0.1x+0.2y≤90,2x+y≤600,x≥0,x∈N,y≥0,y∈N,
目标函数z=80x+120y,作出可行域如图中阴影部分所示(为整点),并作直线l:80x+120y=0,即2x+3y=0,将直线l向右平移,当l经过点B时,z取得最大值.
解方程组0.1x+0.2y=90,2x+y=600,得x=100,y=400,此时,zmax=80×100+120×400=56 000(元).
故当安排生产书桌100张,书橱400个时,刚好用完方木料和五合板,且此时获得最大利润,为56 000元.

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