必修4综合测评

全书综合测评

(满分:150分;时间:120分钟)

一、选择题(每小题5分,共60分)

1.9°=(　　)

A. B. C. D.

2.已知向量a=(2,m),b=(n,-2),且a·b=6,则m-n=(　　)

A.-3 B.3 C.-6 D.6

3.要得到函数y=3sin的图象,只需将函数y=3sin 3x的图象(　　)

A.向左平移个单位长度

B.向左平移个单位长度

C.向右平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

4.函数y=的定义域为(　　)

A.,k∈Z

B.,k∈Z

C.,k∈Z

D.,k∈Z

5.在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2DC,点P在线段BC上,且BP=2PC,则(　　)

A.=+ B.=+

C.=- D.=-

6.下列说法正确的是(　　)

A.第一象限角一定小于90°

B.终边在x轴非负半轴上的角是零角

C.若α+β=k·360°(k∈Z),则α与β的终边相同

D.钝角一定是第二象限角

7.若α∈(0,π),且cos α+sin α=-,则cos 2α=(　　)

A. B.±

C.- D.

8.已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=2,则向量a在a-b方向上的投影为(　　)

A.1 B. C. D.

9.函数f(x)=3sinx-lox的零点的个数是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

10.当x=θ时,函数f(x)=3sin x+4cos x取得最大值,则sin θ=(　　)

A. B. C.- D.-

11.设函数f(x)=cos(ωx+φ)对任意的x∈R,都有f =f ,若函数g(x)=3sin(ωx+φ)-2,则g的值是(　　)

A. B.-2 C.1 D.-5或3

12.在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,M是BC边的中点,N在直线AM上,且BN⊥AM,则向量在向量方向上的投影为(　　)

A.- B.-

C. D.

二、填空题(每小题5分,共20分)

13.已知α,β为锐角,cos α=,sin(α+β)=,则sin β=　　　　. 

14.已知α,β均为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β的值为　　　　. 

15.给出下列命题:

①存在实数x,使得cos x+sin x=成立;

②若cos θ<0,则θ是第二或第三象限角;

③若α,β是锐角△ABC的内角,则sin α>cos β;

④函数y=4sin(x∈R)图象的一个对称中心为.

其中正确命题的序号是　　　　. 

16.已知实数x1,x2,y1,y2满足+=1,+=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为　　　　. 

三、解答题(共70分)

17.(10分)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的一个根,α是第三象限角,求tan2(π-α)的值.

18.(12分)已知两个非零向量a,b.

(1)若向量a,b是夹角为120°的单位向量,试确定使ka+b和a-b垂直的实数k的值;

(2)若=a+b,=2a+6b,=2(a-b),求证:A,B,D三点共线.

19.(12分)已知向量a=,b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.

(1)求f(x)的解析式并化简;

(2)写出f(x)的最小正周期并在平面直角坐标系中画出函数f(x)在区间[0,π]内的草图;

(3)若方程f(x)-m=0在[0,π]上有两个根α,β,求m的取值范围及α+β的值.

20.(12分)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-.

(1)求cos 2α的值;

(2)求tan(α-β)的值.

21.(12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的最小正周期为π,点P为其图象上一个最高点.

(1)求f(x)的解析式;

(2)将函数f(x)图象上所有点都向左平移个单位,得到函数g(x)的图象,求g(x)在区间上的值域.

22.(12分)如图,某污水处理厂要在一个污水处理池的水平池底铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.已知污水处理池的池底为矩形ABCD,设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上,AB=20米,AD=10米,记∠BHE=θ.

(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域;

(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.

答案全解全析

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一、选择题

1.B　由角度制与弧度制的转化公式可知9°=9×=.故选B.

2.A　因为a=(2,m),b=(n,-2),所以a·b=2n-2m=6,则m-n=-3.

3.B　因为y=3sin=3sin3x+,所以要得到函数y=3sin3x+的图象,只需将函数y=3sin 3x的图象向左平移个单位长度.

4.A　由题意得tan-1≥0,

故tan≥1,

故kπ+≤x+<kπ+,k∈Z,解得x∈,k∈Z,故选A.

5.C　因为=-++=-++=-,==-,所以=+=+-=+,所以=-.故选C.

6.D　第一象限角的范围是2kπ<x<+2kπ,k∈Z,所以不一定小于90°,所以A错误.终边在x轴非负半轴上的角θ=2kπ,k∈Z,不一定是零角,所以B错误.若α+β=k·360°(k∈Z),则α=k·360°-β,k∈Z. 则α与β的终边不一定相同,所以C错误.因为钝角的取值范围为,所以钝角一定是第二象限角,所以D正确.故选D.

7.A　cos α+sin α=-,两边平方得1+2sin α·cos α=,∴sin αcos α=-,

∴cos α,sin α可看作一元二次方程x2+x-=0的两个实数根,解方程得x1=,x2=.

又α∈(0,π),且sin αcos α=-<0 ,

 ∴sin α>0,cos α<0,

 ∴sin α=,cos α=,

∴cos 2α=cos2α-sin2α=2-2=.故选A.

8.C　因为向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=2,所以a·b=2×2×=-2,则a在a-b方向上的投影为|a|cos<a,a-b>===.

9.D　由f(x)=0得3sinx=lox,在同一平面直角坐标系下画出函数y=3sinx和y=lox的图象,如图所示.

从图象上看,两个函数图象有5个交点,所以原函数有5个零点.故选D.

10.A　f(x)=5=5sin(x+α)

,

当x+α=2kπ+,k∈Z,即x=2kπ+-α,k∈Z时,f(x)取得最大值5,

∴θ=2kπ+-α,k∈Z,

则sin θ=sin2kπ+-α=cos α=(k∈Z).故选A.

11.B　∵函数f(x)=cos(ωx+φ)对任意的x∈R都有f=f,

∴x=是函数f(x)图象的一条对称轴,

∴cos=±1,

即ω+φ=kπ,k∈Z,

∴φ=kπ-ω,k∈Z.

∵函数g(x)=3sin(ωx+φ)-2,

∴g=3sin-2=3sin kπ-2=-2.故选B.

12.D　以A为坐标原点,AC所在直线为x轴,AC的垂线为y轴建立平面直角坐标系,如图.

作CD⊥AN于点D,

因为M是BC边的中点,N在直线AM上,且BN⊥AM,

所以BN∥DC,由三角形全等可知DC=NB,所以 =.

因为AB=3,AC=2,∠BAC=60°,

所以可得B,,C(2,0),

所以M点的坐标为,.

设∠NAC=α,0<α<,

则tan α===.

结合sin2α+cos2α=1,

可得sin α=,cos α=,

所以||=||=ACsin α=,

所以向量在向量方向上的投影为

||cos(90°-α)=||sin α

=×=.故选D.

二、填空题

13.答案　

解析　∵α,β为锐角,cos α=,

∴sin α==,

∵sin(α+β)=<sin α,∴α+β为钝角,

∴cos(α+β)=-=-,

∴sin β=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

=×-×=.

14.答案　-

解析　∵α,β均为锐角,sin α=,cos β=,∴cos α==,

sin β==,

∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β

=×-×=-,

∵α,β均为锐角,∴-<α-β<,

∴α-β=-.

15.答案　①③④

解析　对于①,∵sin x+cos x=sinx+∈[-,],而∈[-,],故①正确.对于②,当cos θ=-1<0时,θ=2kπ+π,k∈Z,不是第二、三象限角,故②错误.对于③,∵△ABC是锐角三角形,∴α+β>,即α>-β.

又∵y=sin α在0,上是增函数,∴sin α>sin-β=cos β,故③正确.对于④,令2x+=kπ,k∈Z,则x=-,k∈Z,∴y=4sin2x+(x∈R)图象的对称中心为-,0,k∈Z.令k=0,则-,0是函数y=4sin2x+(x∈R)图象的一个对称中心,故④正确.

16.答案　+

解析　由题意可设A(x1,y1 ),B(x2,y2 ),

因为x1x2+y1y2=,所以·=.

因为+=1,+=1,所以点A,B在单位圆上,设与的夹角为α,

则·=||||cos α=,

易得α=,故△OAB是等边三角形,所以|AB|=1.

+即为A,B到直线l:x+y-1=0距离的和,

易知当AB∥l,且AB与l位于原点异侧时,A,B到直线l:x+y-1=0距离的和取得最大值,

此时原点O到AB的距离为d1==,

点O到直线l的距离为d2==,所以A与B到直线l的距离和为2×(d1+d2)=2×+=+.

三、解答题

17.解析　由5x2-7x-6=0得x1=-,x2=2,

∵α是第三象限角,∴sin α=-,

∴cos α=-=-,

∴tan α===,

∴原式=·tan2α=-tan2α=-.

18.解析　(1)由题意知a·b=-.

∵ka+b和a-b垂直,

∴(ka+b)·(a-b)=0,

∴ka2-ka·b+a·b-b2=0,

∴k-=0,∴k=1.

(2)证明:∵=+=4a+4b,=a+b,∴=4.

∵,有公共点B,

∴A,B,D三点共线.

19.解析　(1)f(x)=a·b=·(sin x,cos 2x)=sin 2x-cos 2x=sin.

(2)f(x)的最小正周期T=π.

①列表.

②描点连线,如图.

(3)由(2)中图可知,当m∈时,=,即α+β=;当m∈时,=,即α+β=,∴α+β=或α+β=.

20.解析　(1)因为tan α==,

所以sin α=cos α.

又sin2α+cos2α=1,

所以cos2α=,

因此cos 2α=2cos2α-1=-.

(2)因为α,β为锐角,

所以α+β∈(0,π).

又cos(α+β)=-,

所以sin(α+β)==,

所以tan(α+β)=-2.

因为tan α=,

所以tan 2α==-,

所以tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]

==-.

21.解析　(1)因为最小正周期为π,所以=π,ω=2.

由点P,2为其图象上一个最高点,得A=2,sin+φ=1,

令+φ=2kπ+,k∈Z,

所以φ=2kπ+,k∈Z,

又因为-<φ<,所以φ=.

所以f(x)=2sin2x+.

(2)由题意得g(x)=fx+=2sin2x++=2sin2x+,

当x∈,π时,2x+∈,.

因为y=sin x在区间,上单调递增,在区间,上单调递减,

且sin =-,sin =1,sin=,

所以g(x)在区间,π上的值域为(-1,2].

22.解析　(1)由题意可得EH=,FH=,EF=,由于 BE=10tan θ≤10,AF=≤10,

∴≤tan θ≤,∴θ∈,,

∴L=++,θ∈,.

故L=10×,θ∈,.

(2)设sin θ+cos θ=t,则sin θcos θ=,所以L=.

由于θ∈,,∴sin θ+cos θ=t=sinθ+∈,.

由于L=在,上单调递减,

∴当t=,即θ=或θ=时,L取得最大值,为20(+1).

故当θ=或θ=时,所铺设的管道最长,最长为20(+1)米,此时净化效果最好.