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2021学年第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试测试题
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这是一份2021学年第三章 圆锥曲线的方程本章综合与测试测试题，共26页。试卷主要包含了如图,圆E，已知动圆P与定圆A，抛物线y=14x2的准线方程是，若椭圆W等内容，欢迎下载使用。
本章复习提升
易混易错练
易错点1 求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错
1.()已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,a>c>b,且2c=a+b,c=2,求点C的轨迹方程.
2.()如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.
易错点2 对圆锥曲线的定义理解不清而致错
3.()已知双曲线x216-y29=1上的点P到(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为( )
A.7 B.23
C.5或25 D.7或23
4.()化简(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=10的结果是( )
A.x225+y216=1 B.x225+y221=1
C.x225+y24=1 D.x221+y225=1
5.()已知动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,与定直线l:x=1相切,求动圆圆心P的轨迹方程.
易错点3 忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错
6.()抛物线y=14x2的准线方程是( )
A.y=-1 B.x=-1
C.y=1 D.x=1
7.()已知方程x23+k+y22-k=1表示椭圆,则k的取值范围为( )
A.k>-3且k≠-12 B.-3
易错点4 忽略椭圆、双曲线和抛物线的焦点位置而致错
8.(2020四川眉山高二上期末,)点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是( )
A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2 D.y=112x2或y=-136x2
9.(2019北京一一中学高二上期中,)若椭圆W:x22+y2m=1的离心率是63,则m= .
10.()已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为 .
易错点5 忽视判别式对参数的限制而致错
11.()已知双曲线的方程为x2-y22=1,是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
易错点6 忽视直线的斜率不存在的情况而致错
12.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,1),且离心率为22.
(1)设过点P-13,16的直线与椭圆E相交于M、N两点,若MN的中点恰好为点P,求该直线的方程;
(2)过右焦点F的直线l(与x轴不重合)与椭圆E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点Q(0,m),求实数m的取值范围.
思想方法练
一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用
1.()F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
2.()点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
3.()过点A(2,-1)的直线与抛物线y2=4x相交于C、D的两点,若A为CD的中点,则直线的方程是( )
A.x+2y=0 B.x-2y-4=0
C.2x+y-3=0 D.3x+y-5=0
4.()已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-3与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
5.(2020山东师大附中高二上期中,)已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A.0,22 B.22,1
C.0,32 D.32,1
6.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)设动点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,点A(0,-1),存在点M,使得PM=2MA,则M的轨迹方程是( )
A.y=6x2-13 B.y=3x2+13
C.y=-3x2-1 D.x=6y2-13
7.()已知AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a是常数且a≥1),F为抛物线的焦点,求弦AB的中点M到x轴的距离的最小值.
8.()已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,且点A(0,1)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知P(0,-2),设点B(x0,y0)(y0≠0且y0≠±1)为椭圆E上一点,点B关于x轴的对称点为C,直线AB,AC分别交x轴于点M,N,证明:∠OPM=∠ONP.(O为坐标原点)
四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
9.(2020广东中山一中高二上第二次统测,)已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是( )
A.y2=16x
B.x2=-8y
C.y2=16x或x2=-8y
D.y2=16x或x2=8y
10.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
11.()在平面直角坐标系Oxy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
答案全解全析
易混易错练
1.解析 以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图),∵c=2,∴A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),
因为a+b=2c,即|CB|+|CA|=2|AB|,
即(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=4,
所以x24+y23=1.
因为a>b,即|CB|>|CA|,
所以点C只能在y轴的左边,即x<0.
又△ABC的三个顶点不能共线,
所以点C不能在x轴上,即x≠-2.
所以所求点C的轨迹方程为x24+y23=1(-2
则|PF|=|PM|=R,|ME|=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2,
所以|PF|-|PE|=2,
又易知|PF|-|PE|<|EF|=4,所以由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,
由题意得a=1,c=2,
所以b=3,
故所求轨迹方程为x2-y23=1(x≤-1).
3.D 设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2.由题意得,F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a=8,而|PF2|=15,所以|PF1|=7或|PF1|=23.故选D.
4.B 由方程形式知,该方程表示的是到(2,0)和(-2,0)两定点距离和为10的点的轨迹方程,
且易知轨迹为椭圆,则c=2,2a=10,所以a=5.
所以b2=a2-c2=21.
所以化简的方程为x225+y221=1.故选B.
5.解析 设动圆圆心为P(x,y),半径为r,因为圆P与圆A外切,所以有|PA|=r+1.
又点P到直线l:x=1的距离为r,所以点P到直线l':x=2的距离为r+1,
所以点P到定点A(-2,0)和到定直线l':x=2的距离相等,
故点P的轨迹是以A为焦点,定直线l':x=2为准线的抛物线.
所以动圆圆心P的轨迹方程是y2=-8x.
6.A 抛物线y=14x2可化为x2=4y,开口向上,2p=4⇒p=2,
∴准线方程为y=-p2=-1.故选A.
7.B 依题意得3+k>0,2-k>0,3+k≠2-k⇒-3
依题意得,3--14a=6,解得a=112.
当a<0时,抛物线方程为x2=1ay,则2p=-1a,∴p=-12a,因此焦点F0,14a,准线l:y=-14a,依题意得,-14a-3=6,解得a=-136a=112舍去.
因此,抛物线方程为y=112x2或y=-136x2,故选D.
9.答案 23或6
解析 ①当椭圆的焦点在x轴上时,则有a=2,c=2-m,由题意得2-m2=63,
解得m=23.
②当椭圆的焦点在y轴上时,则有a=m,c=m-2,
由题意得m-2m=63,解得m=6.
综上,m=23或m=6.
10.答案 2或233
解析 解法一:由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时,
其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,
所以双曲线的一条渐近线的斜率k=3或k=33,即ba=3或ba=33.
又b2=c2-a2,所以c2-a2a2=3或c2-a2a2=13,
所以e2=4或e2=43,所以e=2或e=233(负值舍去).
同理,当双曲线的焦点在y轴上时,则有ab=3或ab=33,
所以ba=33或ba=3,亦可得到e=233或e=2.
综上可得,双曲线的离心率为2或233.
解法二:根据解法一知,当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,则离心率e=1cosθ=233或e=2;
当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,
则离心率e=1sinθ=2或e=233.
综上可得,双曲线的离心率为2或233.
11.解析 不存在.理由:由题意知直线的斜率存在,设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程x2-y22=1,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0,
所以k2-2≠0,且Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,解得k<32,且k≠±2.设直线与双曲线的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=2k(k-1)k2-2.
因为B(1,1)是弦的中点,所以k(k-1)k2-2=1,所以k=2,因为2>32,所以不存在被点B(1,1)平分的弦.
12.解析 (1)由题意,得1b2=1,e=ca=22,a2=b2+c2,
解得a=2,b=1,c=1,
所以椭圆E的标准方程是x22+y2=1.
设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x12+2y12=2,x22+2y22=2,
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)·(y1-y2)=0,
又x1+x2=-23,y1+y2=13,所以x1-x2=y1-y2,即kMN=1,
故所求直线的方程是y-16=x--13,即x-y+12=0.
(2)由(1)知,椭圆E的右焦点F(1,0).
(i)当直线l与x轴垂直时,m=0,符合题意.
(ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0.
联立y=k(x-1),x22+y2=1,
消去y,可得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,易得Δ>0.
设A(x3,y3),B(x4,y4),线段AB的中点为C,
则x3+x4=4k21+2k2,x3·x4=2(k2-1)1+2k2,
所以y3+y4=k(x3+x4-2)=-2k1+2k2.
所以线段AB的中点C的坐标为2k21+2k2,-k1+2k2.
由题意可知,AB⊥CQ,
故直线QC的方程为y+k1+2k2=-1kx-2k21+2k2,k≠0.
令x=0,得y=k1+2k2,即m=k1+2k2.
当k>0时,得0
综上所述,实数m的取值范围为-24,24.
(也可设l的方程为x=ty+1求解)
思想方法练
1.A 延长垂线F1Q,交F2P的延长线于点A,如图所示,则△APF1是等腰三角形,
∴|PF1|=|AP|,∴|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a.由题意知O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,连接OQ,则|OQ|=12·|AF2|=a.
∴Q点的轨迹是以原点O为圆心,a为半径的圆.故选A.
2.解析 易知抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,如图所示,过点P作PD垂直准线x=-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.
当M,P,D三点共线时,|PM|+|PD|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P的坐标是98,3.
3.C 设C(x1,y1),D(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,
两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
∵y1+y2=-2,∴kCD×(-2)=4,解得kCD=-2,
∴直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,故选C.
4.解析 (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
因为直线y=x-3与该椭圆相切,
所以方程组x2a2+y2b2=1,y=x-3只有一组解,
消去y,整理得(a2+b2)x2-23a2x+3a2-a2b2=0,
所以Δ=(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.
又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),
所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,
所以椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN=|MN|·|PQ|2=22×22=2.
若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-1k,
所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由x22+y2=1,y=kx+k,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,
所以|PQ|=1+k2|x1-x2|
=(1+k2)[16k4-4(2k2-2)(2k2+1)]2k2+1
=22×k2+12k2+1,
同理可得,|MN|=22×k2+1k2+2.
所以S四边形PMQN=|PQ|·|MN|2
=4×(k2+1)2(2+k2)(2k2+1)
=4×k4+2k2+12k4+5k2+2
=4×12-12k22k4+5k2+2
=4×12-14k2+4k2+10.
因为4k2+4k2+10≥24k2·4k2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),
所以14k2+4k2+10∈0,118,
所以4× 12-14k2+4k2+10∈169,2.
综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为169,最大值为2.
5.B 若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,
则以原点为圆心,F1F2为直径的圆与椭圆必有交点,
所以c2≥b2,即2c2≥a2,即e2≥12,又e<1,所以e∈22,1.
6.A 设M(x,y),P(x1,y1),则PM=(x-x1,y-y1),MA=(-x,-1-y).
由PM=2MA得
x-x1=-2x,y-y1=-2-2y⇒x1=3x,y1=3y+2.
又P(x1,y1)在抛物线y=2x2+1上,
∴y1=2x12+1,即3y+2=2×(3x)2+1,即y=6x2-13,故选A.
7.解析 设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3,A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B',连接AA',MM',BB',AF,BF,如图所示.
由抛物线的定义,知|AF|=|AA'|=y1+14,|BF|=|BB'|=y3+14,
所以y1=|AF|-14,y3=|BF|-14.
又M是线段AB的中点,
所以y2=12(y1+y3)
=12|AF|+|BF|-12
≥12|AB|-12
=14(2a-1),
当且仅当AB过焦点F时,等号成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,点M到x轴的距离最小,最小距离为14(2a-1).
8.解析 (1)由已知得b=1,ca=32,
又∵a2=b2+c2,∴a2=4.
∴椭圆E的方程为x24+y2=1.
(2)证明:∵点B关于x轴的对称点为C,
∴C(x0,-y0),
∴直线AC的方程为y=-1+y0x0x+1.
令y=0,得Nx0y0+1,0.
直线AB的方程为y=y0-1x0x+1,令y=0,得Mx01-y0,0.
∴|ON|·|OM|=x0y0+1·x01-y0=x021-y02.
∵点B(x0,y0)在椭圆x24+y2=1上,
∴x024+y02=1,即x021-y02=4,
∴|OM|·|ON|=4=|OP|2,即|OM||OP|=|OP||ON|,又∠POM=∠NOP,
∴Rt△OPM∽Rt△ONP,
∴∠OPM=∠ONP.
9.C 当x=0时,y=-2;当y=0时,x=4.
因此抛物线的焦点可为(0,-2),(4,0).
①当焦点为(4,0)时,设标准方程为y2=2px(p>0),且p=8,∴y2=16x;
②当焦点为(0,-2)时,设标准方程为x2=-2py(p>0),且p=4,∴x2=-8y.故选C.
10.解析 (1)由题意得c=5,
∵e=ca=53,∴a=3,
∴b=a2-c2=2,
∴椭圆C的标准方程为x29+y24=1.
(2)当过点P的两条切线的斜率均存在时,不妨分别设为k1,k2,
则过点P的切线方程可设为y-y0=k(x-x0),即y=kx+y0-kx0,
由y=kx+y0-kx0,x29+y24=1消去y,
得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,
令Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,
整理得(9-x02)k2+2x0y0k-y02+4=0,
∴k1k2=4-y029-x02(x0≠±3),
由已知得k1k2=-1,∴4-y029-x02=-1,
∴x02+y02=13(x0≠±3),即此时点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).
当两条切线中有一条垂直于x轴时,两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,则P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程x2+y2=13.
综上所述,点P的轨迹方程为x2+y2=13.
11.解析 (1)设点M(x,y),依题意,得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,
化简并整理,得y2=2(|x|+x).
故当x≥0时,点M的轨迹C的方程为y2=4x,当x<0时,点M的轨迹C的方程为y=0.
(2)记C1:y2=4x(x≥0),C2:y2=0(x<0),
依题意,可知直线l的方程为y-1=k(x+2).
联立y-1=k(x+2),y2=4x可得
ky2-4y+4(2k+1)=0.①
(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.
(ii)当k≠0时,方程①的判别式Δ=-16×(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则x0=-2k+1k.③
若Δ<0,x0<0,由②③解得k<-1或k>12,
即当k∈(-∞,-1)∪12,+∞时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
若Δ=0,x0<0或Δ>0,x0≥0,由②③解得k=-1或k=12或-12≤k<0,
即当k∈-1,12时,直线l与C1有一个公共点,与C2有一个公共点;
当k∈-12,0时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.
故当k∈-12,0∪-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
若Δ>0,x0<0,由②③解得-1
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪12,+∞∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈-12,0∪-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈-1,-12∪0,12时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
本章复习提升
易混易错练
易错点1 求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错
1.()已知△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,a>c>b,且2c=a+b,c=2,求点C的轨迹方程.
2.()如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.
易错点2 对圆锥曲线的定义理解不清而致错
3.()已知双曲线x216-y29=1上的点P到(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为( )
A.7 B.23
C.5或25 D.7或23
4.()化简(x-2)2+y2+(x+2)2+y2=10的结果是( )
A.x225+y216=1 B.x225+y221=1
C.x225+y24=1 D.x221+y225=1
5.()已知动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,与定直线l:x=1相切,求动圆圆心P的轨迹方程.
易错点3 忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错
6.()抛物线y=14x2的准线方程是( )
A.y=-1 B.x=-1
C.y=1 D.x=1
7.()已知方程x23+k+y22-k=1表示椭圆,则k的取值范围为( )
A.k>-3且k≠-12 B.-3
易错点4 忽略椭圆、双曲线和抛物线的焦点位置而致错
8.(2020四川眉山高二上期末,)点M(5,3)到抛物线y=ax2(a≠0)的准线的距离为6,那么抛物线的方程是( )
A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2
C.y=-36x2 D.y=112x2或y=-136x2
9.(2019北京一一中学高二上期中,)若椭圆W:x22+y2m=1的离心率是63,则m= .
10.()已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为 .
易错点5 忽视判别式对参数的限制而致错
11.()已知双曲线的方程为x2-y22=1,是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
易错点6 忽视直线的斜率不存在的情况而致错
12.(2020湖南师大附中高二上期中检测,)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,1),且离心率为22.
(1)设过点P-13,16的直线与椭圆E相交于M、N两点,若MN的中点恰好为点P,求该直线的方程;
(2)过右焦点F的直线l(与x轴不重合)与椭圆E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点Q(0,m),求实数m的取值范围.
思想方法练
一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用
1.()F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
2.()点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用
3.()过点A(2,-1)的直线与抛物线y2=4x相交于C、D的两点,若A为CD的中点,则直线的方程是( )
A.x+2y=0 B.x-2y-4=0
C.2x+y-3=0 D.3x+y-5=0
4.()已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-3与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
5.(2020山东师大附中高二上期中,)已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率e的取值范围为( )
A.0,22 B.22,1
C.0,32 D.32,1
6.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)设动点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,点A(0,-1),存在点M,使得PM=2MA,则M的轨迹方程是( )
A.y=6x2-13 B.y=3x2+13
C.y=-3x2-1 D.x=6y2-13
7.()已知AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a是常数且a≥1),F为抛物线的焦点,求弦AB的中点M到x轴的距离的最小值.
8.()已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,且点A(0,1)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知P(0,-2),设点B(x0,y0)(y0≠0且y0≠±1)为椭圆E上一点,点B关于x轴的对称点为C,直线AB,AC分别交x轴于点M,N,证明:∠OPM=∠ONP.(O为坐标原点)
四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
9.(2020广东中山一中高二上第二次统测,)已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是( )
A.y2=16x
B.x2=-8y
C.y2=16x或x2=-8y
D.y2=16x或x2=8y
10.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
11.()在平面直角坐标系Oxy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
答案全解全析
易混易错练
1.解析 以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图),∵c=2,∴A(-1,0),B(1,0),设C(x,y),
因为a+b=2c,即|CB|+|CA|=2|AB|,
即(x-1)2+y2+(x+1)2+y2=4,
所以x24+y23=1.
因为a>b,即|CB|>|CA|,
所以点C只能在y轴的左边,即x<0.
又△ABC的三个顶点不能共线,
所以点C不能在x轴上,即x≠-2.
所以所求点C的轨迹方程为x24+y23=1(-2
则|PF|=|PM|=R,|ME|=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2,
所以|PF|-|PE|=2,
又易知|PF|-|PE|<|EF|=4,所以由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,
由题意得a=1,c=2,
所以b=3,
故所求轨迹方程为x2-y23=1(x≤-1).
3.D 设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2.由题意得,F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a=8,而|PF2|=15,所以|PF1|=7或|PF1|=23.故选D.
4.B 由方程形式知,该方程表示的是到(2,0)和(-2,0)两定点距离和为10的点的轨迹方程,
且易知轨迹为椭圆,则c=2,2a=10,所以a=5.
所以b2=a2-c2=21.
所以化简的方程为x225+y221=1.故选B.
5.解析 设动圆圆心为P(x,y),半径为r,因为圆P与圆A外切,所以有|PA|=r+1.
又点P到直线l:x=1的距离为r,所以点P到直线l':x=2的距离为r+1,
所以点P到定点A(-2,0)和到定直线l':x=2的距离相等,
故点P的轨迹是以A为焦点,定直线l':x=2为准线的抛物线.
所以动圆圆心P的轨迹方程是y2=-8x.
6.A 抛物线y=14x2可化为x2=4y,开口向上,2p=4⇒p=2,
∴准线方程为y=-p2=-1.故选A.
7.B 依题意得3+k>0,2-k>0,3+k≠2-k⇒-3
依题意得,3--14a=6,解得a=112.
当a<0时,抛物线方程为x2=1ay,则2p=-1a,∴p=-12a,因此焦点F0,14a,准线l:y=-14a,依题意得,-14a-3=6,解得a=-136a=112舍去.
因此,抛物线方程为y=112x2或y=-136x2,故选D.
9.答案 23或6
解析 ①当椭圆的焦点在x轴上时,则有a=2,c=2-m,由题意得2-m2=63,
解得m=23.
②当椭圆的焦点在y轴上时,则有a=m,c=m-2,
由题意得m-2m=63,解得m=6.
综上,m=23或m=6.
10.答案 2或233
解析 解法一:由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时,
其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,
所以双曲线的一条渐近线的斜率k=3或k=33,即ba=3或ba=33.
又b2=c2-a2,所以c2-a2a2=3或c2-a2a2=13,
所以e2=4或e2=43,所以e=2或e=233(负值舍去).
同理,当双曲线的焦点在y轴上时,则有ab=3或ab=33,
所以ba=33或ba=3,亦可得到e=233或e=2.
综上可得,双曲线的离心率为2或233.
解法二:根据解法一知,当双曲线的焦点在x轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,则离心率e=1cosθ=233或e=2;
当双曲线的焦点在y轴上时,渐近线的倾斜角θ为30°或60°,
则离心率e=1sinθ=2或e=233.
综上可得,双曲线的离心率为2或233.
11.解析 不存在.理由:由题意知直线的斜率存在,设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程x2-y22=1,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0,
所以k2-2≠0,且Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,解得k<32,且k≠±2.设直线与双曲线的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=2k(k-1)k2-2.
因为B(1,1)是弦的中点,所以k(k-1)k2-2=1,所以k=2,因为2>32,所以不存在被点B(1,1)平分的弦.
12.解析 (1)由题意,得1b2=1,e=ca=22,a2=b2+c2,
解得a=2,b=1,c=1,
所以椭圆E的标准方程是x22+y2=1.
设点M(x1,y1),N(x2,y2),则x12+2y12=2,x22+2y22=2,
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)·(y1-y2)=0,
又x1+x2=-23,y1+y2=13,所以x1-x2=y1-y2,即kMN=1,
故所求直线的方程是y-16=x--13,即x-y+12=0.
(2)由(1)知,椭圆E的右焦点F(1,0).
(i)当直线l与x轴垂直时,m=0,符合题意.
(ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0.
联立y=k(x-1),x22+y2=1,
消去y,可得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,易得Δ>0.
设A(x3,y3),B(x4,y4),线段AB的中点为C,
则x3+x4=4k21+2k2,x3·x4=2(k2-1)1+2k2,
所以y3+y4=k(x3+x4-2)=-2k1+2k2.
所以线段AB的中点C的坐标为2k21+2k2,-k1+2k2.
由题意可知,AB⊥CQ,
故直线QC的方程为y+k1+2k2=-1kx-2k21+2k2,k≠0.
令x=0,得y=k1+2k2,即m=k1+2k2.
当k>0时,得0
综上所述,实数m的取值范围为-24,24.
(也可设l的方程为x=ty+1求解)
思想方法练
1.A 延长垂线F1Q,交F2P的延长线于点A,如图所示,则△APF1是等腰三角形,
∴|PF1|=|AP|,∴|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a.由题意知O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,连接OQ,则|OQ|=12·|AF2|=a.
∴Q点的轨迹是以原点O为圆心,a为半径的圆.故选A.
2.解析 易知抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,如图所示,过点P作PD垂直准线x=-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.
当M,P,D三点共线时,|PM|+|PD|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.
此时点P的纵坐标为3,所以其横坐标为98,即点P的坐标是98,3.
3.C 设C(x1,y1),D(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,
两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
∵y1+y2=-2,∴kCD×(-2)=4,解得kCD=-2,
∴直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,故选C.
4.解析 (1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
因为直线y=x-3与该椭圆相切,
所以方程组x2a2+y2b2=1,y=x-3只有一组解,
消去y,整理得(a2+b2)x2-23a2x+3a2-a2b2=0,
所以Δ=(-23a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.
又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),
所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,
所以椭圆的方程为x22+y2=1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN=|MN|·|PQ|2=22×22=2.
若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-1k,
所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由x22+y2=1,y=kx+k,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=-4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,
所以|PQ|=1+k2|x1-x2|
=(1+k2)[16k4-4(2k2-2)(2k2+1)]2k2+1
=22×k2+12k2+1,
同理可得,|MN|=22×k2+1k2+2.
所以S四边形PMQN=|PQ|·|MN|2
=4×(k2+1)2(2+k2)(2k2+1)
=4×k4+2k2+12k4+5k2+2
=4×12-12k22k4+5k2+2
=4×12-14k2+4k2+10.
因为4k2+4k2+10≥24k2·4k2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),
所以14k2+4k2+10∈0,118,
所以4× 12-14k2+4k2+10∈169,2.
综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为169,最大值为2.
5.B 若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,
则以原点为圆心,F1F2为直径的圆与椭圆必有交点,
所以c2≥b2,即2c2≥a2,即e2≥12,又e<1,所以e∈22,1.
6.A 设M(x,y),P(x1,y1),则PM=(x-x1,y-y1),MA=(-x,-1-y).
由PM=2MA得
x-x1=-2x,y-y1=-2-2y⇒x1=3x,y1=3y+2.
又P(x1,y1)在抛物线y=2x2+1上,
∴y1=2x12+1,即3y+2=2×(3x)2+1,即y=6x2-13,故选A.
7.解析 设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3,A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B',连接AA',MM',BB',AF,BF,如图所示.
由抛物线的定义,知|AF|=|AA'|=y1+14,|BF|=|BB'|=y3+14,
所以y1=|AF|-14,y3=|BF|-14.
又M是线段AB的中点,
所以y2=12(y1+y3)
=12|AF|+|BF|-12
≥12|AB|-12
=14(2a-1),
当且仅当AB过焦点F时,等号成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,点M到x轴的距离最小,最小距离为14(2a-1).
8.解析 (1)由已知得b=1,ca=32,
又∵a2=b2+c2,∴a2=4.
∴椭圆E的方程为x24+y2=1.
(2)证明:∵点B关于x轴的对称点为C,
∴C(x0,-y0),
∴直线AC的方程为y=-1+y0x0x+1.
令y=0,得Nx0y0+1,0.
直线AB的方程为y=y0-1x0x+1,令y=0,得Mx01-y0,0.
∴|ON|·|OM|=x0y0+1·x01-y0=x021-y02.
∵点B(x0,y0)在椭圆x24+y2=1上,
∴x024+y02=1,即x021-y02=4,
∴|OM|·|ON|=4=|OP|2,即|OM||OP|=|OP||ON|,又∠POM=∠NOP,
∴Rt△OPM∽Rt△ONP,
∴∠OPM=∠ONP.
9.C 当x=0时,y=-2;当y=0时,x=4.
因此抛物线的焦点可为(0,-2),(4,0).
①当焦点为(4,0)时,设标准方程为y2=2px(p>0),且p=8,∴y2=16x;
②当焦点为(0,-2)时,设标准方程为x2=-2py(p>0),且p=4,∴x2=-8y.故选C.
10.解析 (1)由题意得c=5,
∵e=ca=53,∴a=3,
∴b=a2-c2=2,
∴椭圆C的标准方程为x29+y24=1.
(2)当过点P的两条切线的斜率均存在时,不妨分别设为k1,k2,
则过点P的切线方程可设为y-y0=k(x-x0),即y=kx+y0-kx0,
由y=kx+y0-kx0,x29+y24=1消去y,
得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,
令Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,
整理得(9-x02)k2+2x0y0k-y02+4=0,
∴k1k2=4-y029-x02(x0≠±3),
由已知得k1k2=-1,∴4-y029-x02=-1,
∴x02+y02=13(x0≠±3),即此时点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).
当两条切线中有一条垂直于x轴时,两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,则P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程x2+y2=13.
综上所述,点P的轨迹方程为x2+y2=13.
11.解析 (1)设点M(x,y),依题意,得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,
化简并整理,得y2=2(|x|+x).
故当x≥0时,点M的轨迹C的方程为y2=4x,当x<0时,点M的轨迹C的方程为y=0.
(2)记C1:y2=4x(x≥0),C2:y2=0(x<0),
依题意,可知直线l的方程为y-1=k(x+2).
联立y-1=k(x+2),y2=4x可得
ky2-4y+4(2k+1)=0.①
(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.
(ii)当k≠0时,方程①的判别式Δ=-16×(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则x0=-2k+1k.③
若Δ<0,x0<0,由②③解得k<-1或k>12,
即当k∈(-∞,-1)∪12,+∞时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
若Δ=0,x0<0或Δ>0,x0≥0,由②③解得k=-1或k=12或-12≤k<0,
即当k∈-1,12时,直线l与C1有一个公共点,与C2有一个公共点;
当k∈-12,0时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.
故当k∈-12,0∪-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
若Δ>0,x0<0,由②③解得-1
故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
综合(i)(ii)可知,当k∈(-∞,-1)∪12,+∞∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k∈-12,0∪-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈-1,-12∪0,12时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.
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