高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式导学案，共8页。


授课提示：对应学生用书第87页
[教材提炼]
知识点一 诱导公式(二)
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？

知识梳理 公式二
sin(π＋α)＝－sin_α，
cs(π＋α)＝－cs_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
知识点二 诱导公式(三)
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如图，作P1关于x轴的对称点P3，那么P1与P3点的坐标有什么关系？

知识梳理 公式三
sin(－α)＝－sin_α，
cs(－α)＝cs_α，
tan(－α)＝－tan_α.
知识点三 诱导公式(四)
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如图，作P1关于y轴的对称点P4，那么OP1与OP4所表示的角有什么关系？函数值有什么关系？

知识梳理 公式四
sin(π－α)＝sin_α，
cs(π－α)＝－cs_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
[自主检测]
1．已知tan α＝4，则tan(π－α)等于( )
A．π－4 B．4
C．－4 D．4－π
答案：C
2．sin 585°的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案：A
3．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin(π－α)＝________.
答案：eq \f(\r(5),5)
4．若tan(π＋α)＝eq \f(1,3)，则tan α＝________.
答案：eq \f(1,3)
授课提示：对应学生用书第88页
探究一 给角求值
[例1] 求下列各三角函数的值：
(1)sin(－945°)；(2)cs(－eq \f(16π,3))；
(3)sineq \f(4,3)π·cs(－eq \f(19,6)π)·taneq \f(21,4)π.
[解析] (1)法一：sin(－945°)＝－sin 945°＝－sin(225°＋2×360°)
＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)
＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)
＝sin 135°
＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
(2)法一：cs(－eq \f(16π,3))＝cs eq \f(16π,3)＝cs(eq \f(4π,3)＋4π)
＝cs eq \f(4π,3)＝cs(π＋eq \f(π,3))＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
法二：cs(－eq \f(16π,3))＝cs(eq \f(2π,3)－6π)＝cs eq \f(2π,3)
＝cs(π－eq \f(π,3))＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
(3)原式＝sineq \f(4π,3)·cs(2π＋eq \f(7π,6))·tan(4π＋eq \f(5π,4))
＝sineq \f(4π,3)·cseq \f(7π,6)·taneq \f(5π,4)
＝sin(π＋eq \f(π,3))·cs(π＋eq \f(π,6))·tan(π＋eq \f(π,4))
＝(－sineq \f(π,3))·(－cseq \f(π,6))·taneq \f(π,4)
＝(－eq \f(\r(3),2))×(－eq \f(\r(3),2))×1＝eq \f(3,4).
利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
求值：cs(2nπ＋eq \f(2π,3))·sin(nπ＋eq \f(4π,3))．
解析：①当n为奇数时，原式＝cs eq \f(2π,3)·(－sin eq \f(4π,3))
＝cs(π－eq \f(π,3))·[－sin(π＋eq \f(π,3))]
＝(－cs eq \f(π,3))·sin eq \f(π,3)
＝－eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(3),4).
②当n为偶数时，原式＝cs eq \f(2π,3)·sineq \f(4π,3)
＝cs(π－eq \f(π,3))·sin(π＋eq \f(π,3))
＝(－cseq \f(π,3))·(－sin eq \f(π,3))
＝－eq \f(1,2)×(－eq \f(\r(3),2))＝eq \f(\r(3),4).
探究二 给值求值
[例2] [教材P195第8题拓展探究]
(1)已知sin(eq \f(π,3)－x)＝eq \f(1,3)，则sin(eq \f(4,3)π－x)＝________.
[解析] sin(eq \f(4,3)π－x)＝sin[π＋(eq \f(π,3)－x)]＝－sin(eq \f(π,3)－x)＝－eq \f(1,3).
[答案] －eq \f(1,3)
(2)已知sin(eq \f(π,3)－x)＝eq \f(1,3)，且0＜x＜eq \f(π,2)，则tan(eq \f(2,3)π＋x)＝________.
[解析] ∵0＜x＜eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,6)＜eq \f(π,3)－x＜eq \f(π,3).
又sin(eq \f(π,3)－x)＝eq \f(1,3)＞0，∴0＜eq \f(π,3)－x＜eq \f(π,3).
cs(eq \f(2,3)π＋x)＝cs[π－(eq \f(π,3)－x)]＝－cs(eq \f(π,3)－x)＝－eq \r(1－sin2\f(π,3)－x)＝－eq \r(1－\f(1,3)2)＝－eq \f(2\r(2),3)，
sin(eq \f(2,3)π＋x)＝sin[π－(eq \f(π,3)－x)]＝sin(eq \f(π,3)－x)＝eq \f(1,3)，
∴tan(eq \f(2,3)π＋x)＝eq \f(sin\f(2,3)π＋x,cs\f(2,3)π＋x)＝eq \f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq \f(\r(2),4).
[答案] －eq \f(\r(2),4)
已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值．
解析：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)，
sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(2,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(3),3).
(1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
探究三 化简三角函数式
[例3] 化简cs(eq \f(4n＋1,4)π＋x)＋cs(eq \f(4n－1,4)π－x)(n∈Z)．
[解析] 原式＝cs(nπ＋eq \f(π,4)＋x)＋cs(nπ－eq \f(π,4)－x)．
(1)当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
原式＝cs[(2k＋1)π＋eq \f(π,4)＋x]＋cs[(2k＋1)π－eq \f(π,4)－x]
＝－cs(eq \f(π,4)＋x)－cs(－eq \f(π,4)－x)
＝－2cs(eq \f(π,4)＋x)；
(2)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
原式＝cs(2kπ＋eq \f(π,4)＋x)＋cs(2kπ－eq \f(π,4)－x)
＝cs(eq \f(π,4)＋x)＋cs(－eq \f(π,4)－x)＝2cs(eq \f(π,4)＋x)．
故原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2cs\f(π,4)＋x，n为奇数,2cs\f(π,4)＋x，n为偶数)).
利用诱导公式化简三角函数式的注意点
(1)当碰到kx±α(k∈Z)的形式时，要注意对k分奇数和偶数进行讨论，其目的在于将不符合条件的问题，通过分类使之符合条件，达到能利用公式的形式．
(2)要注意观察角之间的关系，巧妙地利用角之间的关系，会给问题的解决带来很大的方便，如kπ－α＝2kπ－(kπ＋α)，k∈Z.
化简：cs(kπ＋eq \f(π,6))sin(kπ－eq \f(2,3)π)(k∈Z)．
解析：当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝cs(2nπ＋eq \f(π,6))sin(2nπ－eq \f(2π,3))
＝－cseq \f(π,6)sineq \f(2π,3)＝－cseq \f(π,6)sin(π－eq \f(π,3))
＝－cseq \f(π,6)sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(3,4).
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝cs(2nπ＋π＋eq \f(π,6))sin(2nπ＋π－eq \f(2π,3))
＝cs(π＋eq \f(π,6))sineq \f(π,3)＝－cseq \f(π,6)sineq \f(π,3)
＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(3,4).
综上，原式＝－eq \f(3,4).
授课提示：对应学生用书第89页
一、角的终边关系与诱导公式的拓展
在弧度制下，常见的对称关系如下(可结合图象分析)：
公式一～四拓展为sin(nπ＋α)＝(－1)nsin α，cs(nπ＋α)＝(－1)ncs α.
[典例] 化简：eq \f(sin[k＋1π＋θ]·cs[k＋1π－θ],sinkπ－θ·cskπ＋θ)(k∈Z)．
[解析] 原式＝eq \f(－1k＋1sin θ·－1k＋1cs－θ,－1ksin－θ·－1kcs θ)
＝eq \f(－12k＋2sin θcs θ,－12ksin－θcs θ)＝－1.
[答案] －1
二、盲目套用公式
[典例] 若tan(5π＋α)＝m，则eq \f(sinα－3π＋csπ－α,sin－α－csπ＋α)的值为________．
[解析] 由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m.于是原式＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(m＋1,m－1).
[答案] eq \f(m＋1,m－1)
纠错心得 此题中tan(5π＋α)与sin(α－3π)都不是公式形式，而直接套用公式易致错．使用诱导公式时，必须符合公式中的特点要求，才可正确应用．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.借助单位圆推导诱导公式(二)(三)(四)．
直观想象
数学运算
2.了解诱导公式的意义和作用.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
α与β的终边关于x轴对称
α＋β＝2kπ(k∈Z)
α与β的终边关于y轴对称
α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)
α与β的终边关于直线y＝x对称
α＋β＝eq \f(4k＋1,2)π(k∈Z)
α与β的终边关于直线y＝－x对称
α＋β＝eq \f(4k－1,2)π(k∈Z)
α与β的终边在同一条直线上
α－β＝kπ(k∈Z)
α与β的终边垂直
α－β＝eq \f(4k±1,2)π(k∈Z)