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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数授课课件ppt
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数授课课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，确定的，ar+s，ars，arbr，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。
1.无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_______实数.
【思考】 为什么规定底数a>0？提示：规定底数大于零是必要的，否则会出现 ，就无法确定是1还是-1.
2.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)(1)aras=____.(2)(ar)s=___.(3)(ab)r=____.
【思考】指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示：
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1) 是一个确定的实数.( )(2)指数幂aα的指数α只能取无理数.( )(3) =8.( )
提示：(1)√.由无理数指数幂的定义知正确.(2)×.α可取任意实数.(3)√. =23=8.
2.计算： =_______. 【解析】 =53=125.答案：125
3.(教材二次开发：练习改编)计算： a-2π=_______. 【解析】 答案：
类型一 无理数指数幂的运算(数学运算)【题组训练】 1.计算 a-π=_______. 【解析】原式= =a0=1.答案：1
2.计算下列各式的值(1) .(2) (a>0).(3) . 【解析】(1)原式= =29×32=4 608.(2)原式= =a0=1.(3)原式= =π.
【解题策略】关于无理数指数幂的运算(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；(2)若式子中含有根式，一般底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.
类型二 实际问题中的指数运算(数学建模)【典例】(2020·重庆高一检测)在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来6+8=14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256=16 384.按照这样的方法计算16 384×32 768=( ) A.134 217 728B.268 435 356C.536 870 912D.513 765 802
【思路导引】根据题中的运算方法结合指数运算的性质计算.【解析】选C.由题知，因为16 384对应14，32 768对应15，而14+15=29，第一行中的29，对应第二行中的536 870 912，所以有16 384×32 768=536 870 912.
【解题策略】指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
【跟踪训练】从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%. 【解析】由题意，第n次操作后溶液的浓度为 ；令 ，验证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.答案：4
【补偿训练】某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A.14 400亩B.172 800亩C.20 736亩D.17 280亩【解析】选D.设年份为x，造林亩数为y，则y=10 000×(1+20%)x-1，所以x=4时，y=17 280(亩).
类型三 实数指数幂运算的综合应用(逻辑推理、数学运算) 角度1 求值问题 【典例】(2020·海安高一检测)已知xα+x-α=2 ，x>1，α<0，则xα-x-α=_______. 【思路导引】利用平方关系构造x2α+x-2α，整体代入求值.
【解析】由x>1，α<0，得xα
角度2 化简问题 【典例】化简： =_______. 【思路导引】将带分数化为假分数，根号化为指数后运算.【解析】 答案：2a
【解题策略】解决条件求值问题的步骤
【题组训练】 1.已知am=4，an=3，则 的值为( ) A. B.6C. D.2【解析】选A.
2.已知 =3，计算： 【解析】由 =3，得x+2+x-1=9，所以x+x-1=7，再平方，可得x2+x-2+2=49，所以x2+x-2=47.所以 =4.
1.下列能正确反映指数幂的推广过程的是( )A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B.有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂C.整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂D.无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂【解析】选A.指数幂的推广过程：整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂.
2.计算 的结果是( )A.π B. C.-πD. 【解析】选D. =π-1= .
3.将 化为分数指数幂为( ) 【解析】选D.
4.(教材二次开发：练习改编)计算 =_______. 【解析】原式= =24m2=16m2.答案：16m2
5.计算 =_______. 【解析】原式=3- =3-2=1.答案：1
1.无理数指数幂无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_______实数.
【思考】 为什么规定底数a>0？提示：规定底数大于零是必要的，否则会出现 ，就无法确定是1还是-1.
2.实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)(1)aras=____.(2)(ar)s=___.(3)(ab)r=____.
【思考】指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？提示：
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1) 是一个确定的实数.( )(2)指数幂aα的指数α只能取无理数.( )(3) =8.( )
提示：(1)√.由无理数指数幂的定义知正确.(2)×.α可取任意实数.(3)√. =23=8.
2.计算： =_______. 【解析】 =53=125.答案：125
3.(教材二次开发：练习改编)计算： a-2π=_______. 【解析】 答案：
类型一 无理数指数幂的运算(数学运算)【题组训练】 1.计算 a-π=_______. 【解析】原式= =a0=1.答案：1
2.计算下列各式的值(1) .(2) (a>0).(3) . 【解析】(1)原式= =29×32=4 608.(2)原式= =a0=1.(3)原式= =π.
【解题策略】关于无理数指数幂的运算(1)无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同；(2)若式子中含有根式，一般底数中的根式化为指数式，指数中的根式可以保留直接运算.
类型二 实际问题中的指数运算(数学建模)【典例】(2020·重庆高一检测)在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来6+8=14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256=16 384.按照这样的方法计算16 384×32 768=( ) A.134 217 728B.268 435 356C.536 870 912D.513 765 802
【思路导引】根据题中的运算方法结合指数运算的性质计算.【解析】选C.由题知，因为16 384对应14，32 768对应15，而14+15=29，第一行中的29，对应第二行中的536 870 912，所以有16 384×32 768=536 870 912.
【解题策略】指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等.
【跟踪训练】从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒_______次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%. 【解析】由题意，第n次操作后溶液的浓度为 ；令 ，验证可得n≥4.所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.答案：4
【补偿训练】某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A.14 400亩B.172 800亩C.20 736亩D.17 280亩【解析】选D.设年份为x，造林亩数为y，则y=10 000×(1+20%)x-1，所以x=4时，y=17 280(亩).
类型三 实数指数幂运算的综合应用(逻辑推理、数学运算) 角度1 求值问题 【典例】(2020·海安高一检测)已知xα+x-α=2 ，x>1，α<0，则xα-x-α=_______. 【思路导引】利用平方关系构造x2α+x-2α，整体代入求值.
【解析】由x>1，α<0，得xα
角度2 化简问题 【典例】化简： =_______. 【思路导引】将带分数化为假分数，根号化为指数后运算.【解析】 答案：2a
【解题策略】解决条件求值问题的步骤
【题组训练】 1.已知am=4，an=3，则 的值为( ) A. B.6C. D.2【解析】选A.
2.已知 =3，计算： 【解析】由 =3，得x+2+x-1=9，所以x+x-1=7，再平方，可得x2+x-2+2=49，所以x2+x-2=47.所以 =4.
1.下列能正确反映指数幂的推广过程的是( )A.整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂B.有理数指数幂→整数指数幂→无理数指数幂C.整数指数幂→无理数指数幂→有理数指数幂D.无理数指数幂→有理数指数幂→整数指数幂【解析】选A.指数幂的推广过程：整数指数幂→有理数指数幂→无理数指数幂.
2.计算 的结果是( )A.π B. C.-πD. 【解析】选D. =π-1= .
3.将 化为分数指数幂为( ) 【解析】选D.
4.(教材二次开发：练习改编)计算 =_______. 【解析】原式= =24m2=16m2.答案：16m2
5.计算 =_______. 【解析】原式=3- =3-2=1.答案：1
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