初中数学人教版八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形学案及答案

【巩固练习】

一.选择题

1．如图，在△ABC中，若AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A等于(    )．

A．30°       B．36°       C．45°       D．54°

2. 等腰三角形两边、满足｜｜＋＝0，则此三角形的周长是（    ）

A．7 B．5 C．8 D．7或5

3.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，EF∥BC，EF经过点O，若AB=10，AC=15，则△AEF的周长是（　　）

　 A．10 B． 15 C． 20 D． 25

4. 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC=5，△BCD的面积为5，则ED的长为（　　）．

A．          B．1             C．2           D．5

5．如图所示，在长方形ABCD的对称轴上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有（      ）

A．1个     　  B．3个        C．5个       D．无数多个

6. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A-D-C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点、在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（　　）

 A、2个        B、3个        C、4个      D、5个

二.填空题

7．已知一个等腰三角形的顶角为度,则其一腰上的高线与底边的夹角___________度（用含的式子表示）.

8. 已知等腰三角形的两边长分别为2和3，则其周长为________.

9.等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则另外两边长为　    　．

10. 如图，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______°．

11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．

12.如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、An，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，An﹣1Cn﹣1=An﹣1An，若∠B=30°，则∠An=　　     °．

三.解答题

13.如图，点A的坐标为 （5，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点B，使其与点O、A构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点B的坐标．

14．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

15.在中，，点是直线上一点（不与重合），以AD 为一边在AD 的右侧作，使，连接．

（1）如图1，当点在线段上，如果，则_________；

（2）设，．

 ①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；

   ②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】C；

【解析】设∠A＝，则由题意∠ADE＝180°－2，∠EDB＝，∠BDC＝∠BCD＝90°－，因为∠ADE＋∠EDB＋∠BDC＝180°，所以＝45°.

2. 【答案】A；

   【解析】－＋2=0且2＋3－11=0，解得＝1，＝3，选A；B选项不满足两边之和大于第三边，构不成三角形.

3. 【答案】D；

   【解析】解：∵BO平分∠CBA，

∴∠EBO=∠OBC，

∵CO平分∠ACB，

∴∠FCO=∠OCB，

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，

∴BE=OE，CF=OF，

∴△AEF的周长AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC，

∵AB=10，AC=15，

∴C△AEF=25．

故选D．

4. 【答案】C；

   【解析】作DF⊥BC交BC的延长线于F，BC=5，△BCD的面积为5，得出DF=2，

又BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，得DE=DF=2。故选C

5. 【答案】C；

   【解析】如图所示：A、B中垂线与的交点为P点；

分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，与交于4个P点；

6. 【答案】C；

   【解析】P点在以B为圆心，AB为半径的圆上，作BC的中垂线（绿色），与B交于两点为，点，以C为圆心，BC为半径画圆，与B交于两点为，点.有4个P点，则能找到4个E点.

二.填空题

7. 【答案】；

   【解析】无论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，一腰上的高线与底边的夹角都是.

8. 【答案】7或8；

   【解析】2或3都可能是腰，要分情况讨论.

9. 【答案】5，5或6，4；

   【解析】①当4为底边时，另外两边为5，5，因为4+5＞5，所以能构成三角形；

②当4是腰长时，另外两边为6，4，因为4+4＞6，所以能构成三角形；

故答案为：5，5或6，4．

10.【答案】45；

   【解析】△ADC≌△BDH，AD＝BD，所以∠ABC＝45°.

11.【答案】40；

   【解析】AD＝FD，∠FAD＝∠AFD＝70°，所以∠ADF＝40°.

12.【答案】；

   【解析】解：∵在△ABA1中，∠B=30°，AB=A1B，

∴∠BA1A===75°，

∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，

∴∠CA2A1===37.5°；

∴∠C1A3A2=18，75°，∠C2A4A3=9.375°，…，

∴∠An=，

故答案为：．

三.解答题

13.【解析】解：如图，OA是腰长时，以O点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有2个点（红色的点）分别为：（3，4）、（4，3）、可以作为点B，

以A点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有4个点（蓝色的点）分别为：（5，5）、（2，4）、（1，3）、（8，4）可以作为点B，

OA是底边时，OA垂直平分线上的点均不在格点上，所以，此时不存在满足条件的点B．

所以，满足条件的B的个数是2+4=6，分别为：（5，5）、（3，4）、（4，3）、（2，4）、（1，3）、（8，4）．

14.【解析】BE＋CF＞EF

证明：延长FD到G，使DG＝DF,连结BG、EG

∵D是BC中点

∴BD＝CD

又∵DE⊥DF

∴EG＝EF

在△FDC与△GDB中

∴△FDC≌△GDB(SAS)

∴BG＝CF

∵BG＋BE＞EG

∴BE＋CF＞EF.

15．【解析】（1）90°；

（2）①α＋β＝180°.
证明：①∵∠BAC＝∠DAE，
      ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC．
      即∠BAD＝∠CAE．
      在△ABD与△ACE中，
     

∴△ABD≌△ACE，
      ∴∠B＝∠ACE．
      ∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB．
      ∴∠B＋∠ACB＝β，
      ∵α＋∠B＋∠ACB＝180°，
      ∴α＋β＝180°；
      ②如图：当点D在射线BC上时，α＋β＝180°；
        当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．