高中湘教版（2019）2.2 二倍角的三角函数同步训练题

这是一份高中湘教版（2019）2.2 二倍角的三角函数同步训练题，共6页。

1．若sin α＝ eq \f(1,3)，则cs 2α＝( )
A． eq \f(8,9)B． eq \f(7,9)
C．－ eq \f(7,9) D．－ eq \f(8,9)
2．cs275°－sin275°的值为( )
A．－ eq \f(\r(3),2) B．－ eq \f(1,2)
C． eq \f(1,2)D． eq \f(\r(3),2)
3．已知角α的终边与单位圆相交于点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2\r(2),3)))，则sin2α＝( )
A．－ eq \f(2\r(2),9) B． eq \f(2\r(2),9)
C．－ eq \f(4\r(2),9) D． eq \f(4\r(2),9)
4．已知sin 2α＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan α的值为( )
A．－ eq \r(3) B．－1
C．－ eq \f(\r(3),3) D．－2
5．已知cs (π－α)＝ eq \f(4,5)，且α为第三象限角，则sin 2α的值等于( )
A． eq \f(7,25) B．－ eq \f(7,25)
C． eq \f(24,25) D．－ eq \f(24,25)
6．若tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝3，则tan 2α＝( )
A．－ eq \f(2,3) B．－ eq \f(3,2)
C． eq \f(4,3)D． eq \f(3,4)
7．sin eq \f(π,12)sin eq \f(5π,12)＝________．
8．已知sin (π＋α)＝ eq \f(1,5)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＋cs 2α＝________．
9．已知cs α＝－ eq \f(4,5)，且α为第二象限角．
(1)求cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))的值；
(2)求tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值．
10．已知tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝3，求sin 2θ－2cs2θ的值．
[提能力]
11．(多选)下列计算正确的是( )
A． eq \f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝1
B．1－2cs215°＝ eq \f(\r(3),2)
C．cs4 eq \f(π,8)－sin4 eq \f(π,8)＝ eq \f(\r(2),2)
D．cs275°＋cs215°＋cs75°cs 15°＝ eq \f(5,4)
12．若 eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝ eq \f(1,2)，则tan 2α＝( )
A．－ eq \f(3,4) B． eq \f(3,4)
C．－ eq \f(4,3) D． eq \f(4,3)
13．计算：tan eq \f(π,12)－ eq \f(1,tan \f(π,12))＝______．
14．已知α∈(0，π)，且sin α＋cs α＝ eq \f(1,2)，则cs 2α的值为________．
15．求证： eq \f(1＋sin 2A－cs 2A,1＋sin 2A＋cs 2A)＝tan A．
[培优生]
16．已知tan eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝3，求 eq \f(1＋sin 4θ－cs 4θ,1＋sin 4θ＋cs 4θ)＋ eq \f(1＋sin 4θ＋cs 4θ,1＋sin 4θ－cs 4θ)的值．
课时作业(十七) 二倍角的三角函数(1)
1．解析：cs2α＝1－2sin2α＝1－eq \f(2,9)＝eq \f(7,9).
答案：B
2．解析：cs275°－sin275°＝cs(2×75°)＝cs150°＝－eq \f(\r(3),2).
答案：A
3．解析：角α的终边与单位圆相交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2\r(2),3)))，故x＝－eq \f(1,3)，y＝eq \f(2\r(2),3)，
所以sinα＝y＝eq \f(2\r(2),3)，csα＝x＝－eq \f(1,3)，
故sin2α＝2sinαcsα＝2×eq \f(2\r(2),3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝－eq \f(4\r(2),9).
答案：C
4．解析：∵sin2α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴2sinαcsα＝－sinα，
∴csα＝－eq \f(1,2).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴α＝eq \f(2π,3).
∴tanα＝taneq \f(2π,3)＝－taneq \f(π,3)＝－eq \r(3).
答案：A
5．解析：∵cs (π－α)＝eq \f(4,5)，∴csα＝－eq \f(4,5)，
又α为第三象限角，∴sinα＝－eq \f(3,5)，
∴sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(24,25).
答案：C
6．解析：∵tanα＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋1,1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4))))＝eq \f(3＋1,1－3)＝－2，
因此，tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×（－2）,1－（－2）2)＝eq \f(4,3).
答案：C
7．解析：sineq \f(π,12)sineq \f(5π,12)＝sineq \f(π,12)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,12)))＝sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)
＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)))＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
8．解析：∵sin (π＋α)＝－sinα＝eq \f(1,5)，∴sinα＝－eq \f(1,5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))＋cs2α＝sinα＋(1－2sin2α)＝－eq \f(1,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－2×\f(1,25)))＝eq \f(18,25).
答案：eq \f(18,25)
9．解析：(1)由已知，得sinα＝eq \f(3,5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin2α＝2sinαcsα＝－eq \f(24,25).
(2)∵cs2α＝2cs2α－1＝eq \f(7,25)，∴tan2α＝－eq \f(24,7)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan2α＋1,1－tan2α)＝eq \f(－\f(24,7)＋1,1＋\f(24,7))＝－eq \f(17,31).
10．解析：因为taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝eq \f(1＋tanθ,1－tanθ)＝3，
所以tanθ＝eq \f(1,2).
所以原式＝eq \f(sin2θ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(2sinθcsθ－2cs2θ,sin2θ＋cs2θ)
＝eq \f(2tanθ－2,tan2θ＋1)＝eq \f(2×\f(1,2)－2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1)＝－eq \f(4,5).
11．解析：eq \f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝tan45°＝1，A项正确；
1－2cs215°＝－cs30°＝－eq \f(\r(3),2)，B项错误；
cs4eq \f(π,8)－sin4eq \f(π,8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,8)＋sin2\f(π,8)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(π,8)－sin2\f(π,8)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，C项正确；
cs275°＋cs215°＋cs75°cs15°＝sin215°＋cs215°＋sin15°cs15°，
1＋eq \f(1,2)sin30°＝1＋eq \f(1,4)＝eq \f(5,4)，D项正确．
答案：ACD
12．解析：因为eq \f(sinα＋csα,sinα－csα)＝eq \f(1,2)，整理得tanα＝－3，所以tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(3,4).
答案：B
13．解析：原式＝eq \f(tan2\f(π,12)－1,tan\f(π,12))＝eq \f(－2,tan\f(π,6))＝－2eq \r(3).
答案：－2eq \r(3)
14．解析：因为sinα＋csα＝eq \f(1,2)，α∈(0，π)，
所以1＋2sinαcsα＝eq \f(1,4)，
所以sin2α＝－eq \f(3,4)，且sinα>0，csα<0，
所以csα－sinα＝－eq \r(1－2sinαcsα)＝－eq \f(\r(7),2)，
所以cs2α＝(csα－sinα)(csα＋sinα)＝－eq \f(\r(7),4).
答案：－eq \f(\r(7),4)
15．证明：左边
＝eq \f(sin2A＋cs2A＋2sinAcsA－（cs2A－sin2A）,sin2A＋cs2A＋2sinAcsA＋（cs2A－sin2A）)
＝eq \f(（sinA＋csA）2－（csA＋sinA）（csA－sinA）,（sinA＋csA）2＋（csA＋sinA）（csA－sinA）)
＝eq \f(（csA＋sinA）（csA＋sinA－csA＋sinA）,（csA＋sinA）（csA＋sinA＋csA－sinA）)
＝eq \f(2sinA（csA＋sinA）,2csA（csA＋sinA）)＝tanA＝右边
所以原式得证．
16．解析：由题意，可得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))＝eq \f(tan\f(π,4)＋tanθ,1－tan\f(π,4)tanθ)＝eq \f(1＋tanθ,1－tanθ)＝3，解得tanθ＝eq \f(1,2)，
可得tan2θ＝eq \f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq \f(4,3)，
又由eq \f(1＋sin4θ－cs4θ,1＋sin4θ＋cs4θ)＋eq \f(1＋sin4θ＋cs4θ,1＋sin4θ－cs4θ)
＝eq \f(1＋2sin2θcs2θ－1＋2sin22θ,1＋2sin2θcs2θ＋2cs22θ－1)＋eq \f(1＋2sin2θcs2θ＋2cs22θ－1,1＋2sin2θcs2θ－1＋2sin22θ)
＝eq \f(2sin2θ（cs2θ＋sin2θ）,2cs2θ（sin2θ＋cs2θ）)＋eq \f(2cs2θ（cs2θ＋sin2θ）,2sin2θ（sin2θ＋cs2θ）)
＝tan2θ＋eq \f(1,tan2θ)＝eq \f(4,3)＋eq \f(3,4)＝eq \f(25,12).