高中数学湘教版（2019）必修 第二册2.2 二倍角的三角函数复习练习题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册2.2 二倍角的三角函数复习练习题，共6页。

1．函数y＝4cs2x是( )
A．最小正周期为 eq \f(π,2)的偶函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为2π的奇函数
2．已知α为第四象限角，cs2α＝－ eq \f(1,3)，则sin α＝( )
A．－ eq \f(\r(3),3) B．－ eq \f(\r(6),3)
C．－ eq \f(\r(2),3) D．－ eq \f(2,3)
3．若cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝ eq \f(3,5)，则sin 2α＝( )
A． eq \f(7,25) B． eq \f(1,5)
C．－ eq \f(1,5) D．－ eq \f(7,25)
4．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))＝ eq \f(1,3)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2θ))＝( )
A． eq \f(7,9) B．－ eq \f(7,9)
C． eq \f(7－4\r(6),18) D． eq \f(4\r(6)－7,18)
5．已知sin 2α＝ eq \f(1,3)，则cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．－ eq \f(1,3) B． eq \f(1,3)
C．－ eq \f(2,3) D． eq \f(2,3)
6．(多选)下列各式中与tanα相等的是( )
A． eq \f(sin α,1＋cs α) B． eq \f(1－cs 2α,sin 2α)
C． eq \f(sin 2α,1＋cs 2α) D. eq \r(\f(1－cs α,1＋sin α))
7. eq \f(sin 20°cs 20°,cs2155°－sin2155°)的值是________．
8．若α为第三象限的角，则 eq \f(\r(1－cs2α),sin α)－ eq \f(\r(1＋cs 2α),cs α)＝________．
9．已知tan α＋ eq \f(1,tan α)＝ eq \f(5,2)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cs 2α和sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值．
10．已知函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若函数g(x)＝f(x)－2 eq \r(3)cs2x，求函数g(x)的单调增区间．
[提能力]
11．(多选)已知sinθ＋cs θ＝ eq \f(1,5)，θ∈(0，π)，则( )
A．sin 2θ＝－ eq \f(24,25)B．cs θ－sin θ＝ eq \f(7,5)
C．tan θ＝－ eq \f(4,3)D．sin eq \f(θ,2)＝ eq \f(\r(5),5)
12．(多选)已知函数f(x)＝cs2x－sin2x－2 eq \r(3)sinx cs x(x∈R)，正确的是( )
A．最小正周期为π
B．单调递增区间是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))(k∈Z)
C．最大值为2
D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝1
13．若π<θ< eq \f(3π,2)，化简 eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2) \r(\f(1,2)＋\f(1,2)cs 2θ))－ eq \r(1－sin θ)＝________．
14.
如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角x＝________来截．
15．如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，π))，β＝ eq \f(π,12)，且点A的坐标为A(－2，m).
(1)若tan 2α＝－ eq \f(4,3)，求实数m的值；
(2)若tan ∠AOB＝－ eq \f(3,4)，求cs 2α的值．
[培优生]
16．明朝早起，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位．其采用的主要工具是牵星板，其由12块正方形模板组成，最小的一块边长约2 cm(称一指)，木板的长度按从小到大均两两相差2 cm，最大的边长约24 cm(称十二指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72 cm，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不停替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则sin 2α约为( )
A． eq \f(12,35) B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,6) D． eq \f(12,37)
课时作业(十八) 二倍角的三角函数(2)
1．解析：y＝4cs2x＝2cs2x＋2，又y＝f(－x)＝2cs (－2x)＋2＝2cs2x＋2＝f(x)，
∴T＝eq \f(2π,2)＝π，即y＝4cs2x是最小正周期为π的偶函数．
答案：B
2．解析：∵cs2α＝1－2sin2α＝－eq \f(1,3)，∴sinα＝±eq \f(\r(6),3).又α为第四象限角，所以sinα＝－eq \f(\r(6),3).
答案：B
3．解析：cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)－1＝－eq \f(7,25)，
且cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α))＝sin2α.
答案：D
4．解析：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋2θ))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2θ))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2θ))＝2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－θ))－1＝－eq \f(7,9).
答案：B
5．解析：∵cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin2α,2)，又sin2α＝eq \f(1,3)
∴cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3).
答案：B
6．解析：eq \f(sinα,1＋csα)＝eq \f(2sin\f(α,2)cs\f(α,2),2cs2\f(α,2))＝taneq \f(α,2)，不相等；
eq \f(1－cs2α,sin2α)＝eq \f(2sin2α,2sinαcsα)＝tanα，相等；
eq \f(sin2α,1＋cs2α)＝eq \f(2sinαcsα,2cs2α)＝tanα，相等；
eq \r(\f(1－csα,1＋sinα))＝eq \r(\f(2sin2\f(α,2),sin2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)＋cs2\f(α,2)))
＝eq \r(\f(2sin2\f(α,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))\s\up12(2)))＝eq \f(\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))))，不相等．
答案：BC
7．解析：原式＝eq \f(\f(1,2)sin40°,cs310°)＝eq \f(\f(1,2)sin40°,cs50°)＝eq \f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
8．解析：原式＝eq \f(\r(2sin2α),sinα)－eq \f(\r(2cs2α),csα)＝eq \f(\r(2),sinα)|sinα|－eq \f(\r(2),csα)|csα|，
因为α为第三象限的角，所以sinα<0，csα<0，
所以上式＝eq \f(\r(2),sinα)(－sinα)－eq \f(\r(2),csα)(－csα)＝－eq \r(2)＋eq \r(2)＝0.
答案：0
9．解析：由tanα＋eq \f(1,tanα)＝eq \f(5,2)，得eq \f(sinα,csα)＋eq \f(csα,sinα)＝eq \f(5,2)，
则eq \f(2,sin2α)＝eq \f(5,2)，即sin2α＝eq \f(4,5).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以2α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
所以cs2α＝－eq \r(1－sin22α)＝－eq \f(3,5)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝sin2α·cseq \f(π,4)＋cs2αsineq \f(π,4)＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).
10．解析：(1)函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))－1＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))＝sin2x，
所以函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π.
(2)g(x)＝f(x)－2eq \r(3)cs2x＝sin2x－eq \r(3)(2cs2x－1)－eq \r(3)＝sin2x－eq \r(3)cs2x－eq \r(3)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－eq \r(3)，
令2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)，k∈Z，
所以函数g(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z.
11．解析：∵sinθ＋csθ＝eq \f(1,5)，θ∈(0，π)，且sin2θ＋cs2θ＝1
解得：sinθ＝eq \f(4,5)，csθ＝－eq \f(3,5)
∴sin2θ＝2sinθcsθ＝2×eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))＝－eq \f(24,25)，A项正确；
csθ－sinθ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－eq \f(4,5)＝－eq \f(7,5)，B项错误；
tanθ＝eq \f(sinθ,csθ)＝－eq \f(4,3)，C项正确；
∵θ∈(0，π)，∴eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sineq \f(θ,2)>0.
∵csθ＝1－2sin2eq \f(θ,2)＝－eq \f(3,5)，∴sineq \f(θ,2)＝eq \f(2\r(5),5)，D项错误．
答案：AC
12．解析：由题意函数f(x)可化简为f(x)＝cs2x－eq \r(3)sin2x＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin2x－\f(1,2)cs2x))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，则最小正周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，最大值为2，此时2x－eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z)，即x＝kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(2π,3)－\f(π,6)))＝1，故选项ACD正确；
令2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)，解得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))(k∈Z)，即为函数的单调递增区间，故选项B错误．
答案：ACD
13．解析：∵eq \f(π,2)cseq \f(θ,2)，
原式＝eq \r(\f(1,2)＋\f(1,2)\r(\f(1,2)·2cs2θ))－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))\s\up12(2))＝eq \r(\f(1,2)－\f(1,2)csθ)－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))\s\up12(2))
＝sineq \f(θ,2)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(θ,2)－cs\f(θ,2)))＝sineq \f(θ,2)－(sineq \f(θ,2)－cseq \f(θ,2))＝cseq \f(θ,2).
答案：cseq \f(θ,2)
14．解析：设正方形EFGH的边长为1，则正方形ABCD的边长为BC＝BF＋CF＝CG＋CF＝sinx＋csx，
由题意可得eq \f(1,（sinx＋csx）2)＝eq \f(2,3)，即1＋sin2x＝eq \f(3,2)，可得sin2x＝eq \f(1,2)，
因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则2x∈(0，π)，所以2x＝eq \f(π,6)或2x＝eq \f(5π,6)，解得x＝eq \f(π,12)或x＝eq \f(5π,12).
答案：eq \f(π,12)或eq \f(5π,12)
15．解析：(1)由题意可得tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝－eq \f(4,3)，∴tanα＝－eq \f(1,2)，或tanα＝2.
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)，π))，∴tanα＝－eq \f(1,2)，即eq \f(m,－2)＝－eq \f(1,2)，∴m＝1.
(2)∵tan∠AOB＝tan (α－β)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12))))＝－eq \f(3,4)，
sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＋cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝1，α－eq \f(π,12)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(11π,12)))，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(3,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝－eq \f(4,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝－eq \f(24,25)，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))－1＝eq \f(7,25)，
∴cs2α＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))cseq \f(π,6)－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,6)))sineq \f(π,6)＝eq \f(7\r(3)＋24,50).
16．解析：由题意知：六指为2＋5×eq \f(24－2,12－1)＝12，
所以tanα＝eq \f(12,72)＝eq \f(1,6)，
所以sin2α＝2sinαcsα＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋cs2α)，
＝eq \f(2tanα,tan2α＋1)＝eq \f(2×\f(1,6),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)))\s\up12(2)＋1)＝eq \f(12,37).
答案：D