高中湘教版（2019）4.1 空间的几何体同步达标检测题
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4.1空间的几何体同步练习
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是
A. B. C. D.
- 下列说法正确的是
A. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
B. 通过圆台侧面上一点，有无数条母线；
C. 相等的角在直观图中对应的角仍相等；
D. 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等．
- 如图，将正四棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影四棱锥”下列关于该“倒影四棱锥”的说法中，所有正确结论的编号是
平面；平面；若在同一球面上，则也在该球面上；若该“倒影四棱锥”存在外接球，则
A. B. C. D.
- 一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的不可能图形为
A. B.
C. D.
- 正四面体的棱长为，为棱的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为
A. B. C. D.
- 已知一圆锥底面圆的直径为，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为
A. B. C. D.
- 下列说法正确的是
A. 矩形的平行投影一定是矩形
B. 用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥
C. 根据斜二测画法，三角形的直观图是三角形
D. 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
- 已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，是等边三角形，且，若点在四棱锥的外接球面上运动，记点到平面的距离为，若平面平面，则的最大值为
A. B. C. D.
- 已知三棱锥的外接球的直径为，且，，，那么顶点到平面的距离为
A. B. C. D.
- 已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A. B. C. D.
- 棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，则图中三角形正四面体的截面的面积是
A.
B.
C.
D.
- 已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是，则该圆柱的体积是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
- 在棱长为的正方体空盒内，有四个半径为的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为 ；大球半径的最小值为 ．
- 如下图，正方体的棱长为，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 ；以点为球心，为半径的球面与对角面的交线长度为 ．
- 在上、下底面均为正方形的四棱台中，已知，，，则该四棱台的表面积为 ；该四棱台外接球的体积为 ．
- 正方体的棱长为，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面面积为 ；以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线长为 ．
- 若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图所示的黄金矩形卡片，已知，，是的中点，，，且，沿，剪开．用张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图所示的几何模型．若连结这个几何模型的各个顶点，便得到一个正 面体；若，则该正多面体的表面积为 ．
图 图
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 用斜二测画法画出一个上底面边长为，下底面边长为，高两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度为的正四棱台．简要写出核心步骤
- 如图，已知长方体中，，，分别是和的中点，求证：．
|
- 在三棱锥中，平面，，，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，则球的半径为________；若点是的重心，则过点的平面截球所得截面的面积的最小值为________．
- 如图，已知长方体中，，，分别是和的中点，求证：．
- 正三棱锥的高为，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，求：
棱锥的表面积；
内切球的半径．
- 我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”
利用祖暅原理推导半径为的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体，几何体的底面半径和高都为，其底面和半球体的底面同在平面内设与平面平行且距离为的平面截两个几何体得到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；
下图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥如下图，从而求得该帐篷的体积为
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
对选项进行分析，即可得出结论．
【解答】
解：是经过正方体对角面的截面；
是经过球心且平行于正方体侧面的截面；
是经过一对平行的侧面的中心，跟正方体上下底面成一定夹角，但不是对角面的截面．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间几何中的棱台与圆台的结构特征等，属于基础题．
根据空间几何中的棱台与圆台的结构特征等逐一判断即可．
【解答】
解：用平面截棱锥，只有截面与棱锥底面平行时，截面与底面之间的部分才能叫棱台，A错误；
B.圆台是由圆锥用平行于底面的平面截出来的，过其侧面上的点只有一条母线，B错误；
C.相等的角在直观图中不一定相等，C错误；
D.如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，D正确．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查几何体的结构特征以及多面体外接球的问题，属于中档题．
根据几何体以及球的几何特征逐项判断即可求解．
【解答】
解：由“倒影四棱锥”的几何特征可知四边形为菱形，所以，平面，平面，
所以平面，正确；
由“倒影四棱锥”的几何特征可知平面，正确；
当，，，，在同一球面上时，若正方形的外接圆不是球的最大圆，则点不在该球面上，错误；
若该“倒影四棱锥”存在外接球，则其外接球的球心为正方形的中心，
设外接球半径为，则，，则，正确；
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查球内接多面体、棱柱的结构特征，注意截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，属于基础题．
当截面的角度和方向不同时，球的截面不相同，应分情况考虑即可．
【解答】
解：当截面过正方体的体对角线时得；
当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得；
当截面平行于正方体的一个侧面时得
但无论如何都不能截出．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．
根据题意，将四面体放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径，当球心到截面的距离最大时，截面圆的面积达最小值，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．
【解答】
解：将四面体放置于正方体中，如图所示
可得正方体的外接球就是四面体的外接球，
正四面体的棱长为，
正方体的棱长为，
可得外接球半径满足，，
为棱的中点，过作其外接球的截面，当球心到截面的距离最大时，截面圆的面积最小，
此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，
得到截面圆的面积最小值为．
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，考查了空间想象能力与计算能力，属于较难题．
根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到的最大值．
【解答】
解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，
故该四面体内接于圆锥的内切球，
设球心为，球的半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：
则，，
则，
则为等边三角形，
故是的中心，
连接，则平分，
，
所以，即，
即四面体的外接球的半径为，
另正四面体可以从正方体中截得，如图：
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以，
，又，
所以．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行投影，圆锥的几何特征，斜二测画法，棱柱的概念，属于基础题．
逐个判断即可得出结果．
【解答】
解：矩形的平行投影可能是矩形，可能平行四边形，也可能是线段，故A不正确；
用一张扇形的纸片可以卷成一个无底面的圆锥，故B不正确；
由斜二测画法规则知：三角形的直观图是三角形，故C正确；
有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，
这些面围成的多面体是棱柱故D不正确．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查组合体、球，考查空间想象能力以及空间想象能力．属于较难题．
由题意画图，图中找出关于外接球半径关系式，即可求解．
【解析】
解：由题意可画下图：
依题意，取的中点，
由，得，，
则是等腰梯形外接圆的圆心，
设是四棱锥的外接球球心，，
过点作垂直平面于点，
则，
又到平面距离为，
；
设四棱锥的外接球半径为，
则，
即；
解得，
当，，在同一条直线上时，取得最大或最小值；
故，
故选D．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了几何体外接球，点到面的距离，属于中档题．
先得到三棱锥为正三棱锥，则到面的距离那么顶点到平面的距离为，
【解答】
解：由于是球的直径，则和都是直角，
由于，，可得，
为中点，，
故三棱锥为正三棱锥，则到面的距离．
那么顶点到平面的距离为
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，属于基础题．
根据题意，可得该圆柱底面圆周半径，由此能求出该圆柱的体积．
【解答】
解：如图所示：
圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，
该圆柱底面圆周半径，
该圆柱的体积：．
故选B．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正四面体与其外接球的关系、截面面积的求法，属于中档题．
由题意可得球的内接正四面体，画出图形是解题的关键，的面积即为所求截面的面积，可求得，又，由三角形的面积公式即可求解．
【解答】
解：由题意可得球的内接正四面体如图所示，
的面积即为所求截面的面积，
由图可知，
又，
所以的面积为，
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆柱的侧面积与体积的计算，考查计算能力，基础题．
设出圆柱的高和底面半径，通过侧面积求出圆柱的高与底面直径，然后求出圆柱的体积．
【解析】
解：设该圆柱的高为，底面圆的半径为，
则，，
从而，，故该圆柱的体积是．
故选A．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查简单几何体及其结构特征，考查空间想象能力和推理运算能力，属于综合题．
显然当四个小球相切，且与正方体侧面相切时，四个小球最大，大球最小，大球球心与四个小球球心，，，构成一个四棱锥，底面棱的长，即，进一步计算可得的值．
【解答】
解：由题意，正方体盒内四个小球最大时，易知，
即四个小球相切，且与正方体侧面相切，
显然大球此时最小，大球球心与四个小球球心，，，构成一个四棱锥，
，侧棱，
设正方形的中心，
高，
将向两端延长交上底面于，交下底面于，则：
，
故，解得．
故答案为；．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查球内接多面体，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
由题意画出图形，可得平面截正方体所得的截面为等腰梯形，由已知结合梯形面积公式求解，再找出以点为球心，以为半径与对角面的交线，利用圆的周长公式求解交线长．
【解答】
解：如图，
连接，则，可得等腰梯形为平面截正方体所得的截面图形，
由正方体的棱长为，得，
则到的距离为，
所以四边形的面积为．
平面平面，且平面平面，
过作，则平面，
为的中点，，
又以为球心，以为半径的球面与对角面相交，
球面被对角面所截圆的半径为．
球面与对角面的交线为以为圆心，以为半径的圆的一段劣弧，
由，可得：．
所以长度为，
故答案为；．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查棱台的特征，棱台表面积和体积，球的性质和体积，属于中档题．
先求出侧面等腰梯形的面积即可求出棱台的表面积；设，将棱台补成四棱锥，根据相似比求出棱台的高，根据棱台和球的特征，确定棱台的外接球球心为，可求得球的半径，即可求解．
【解答】
解：在等腰梯形中，过作，垂足为，易求，，
则四棱台的表面积为
设，，
由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥如图，
因为，，可知与相似比为；
则，，则，则，即该四棱台的高为．
由于上、下底面都是正方形，则外接球的球心在上，在平面上，
由于，，则，即点到点与到点的距离相等，
同理到，，，，，的距离均为，
于是为外接球的球心，且外接球的半径，
故该四棱台外接球的体积为．
故答案为：；．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查几何题中的截面问题，属于中档题．
根据，分别是，的中点，得到，利用正方体的结构特征，有， 从而有 ，由平面的基本性质得到、、、在同一平面内，截面是等腰梯形， 再利用梯形面积公式求解，球与对角面的交线长为球与对角面的截面圆的周长．
【解答】
解：由题意可得，如图所示：
因为，分别是， 的中点，
所以，
在正方体中，
所以 ，
所以、、、在同一平面内，
所以平面截该正方体所得的截面为平面，
因为正方体 的棱长为，
所以， ，，
等腰梯形 的高为，
所以．
过作，垂足为，
因为，，平面，
所以平面，
所以点为球与对角面的截面圆的圆心，
因为，
球的半径为，
所以球与对角面的截面圆的半径为，
故球与对角面的交线长为．
故答案为．
17.【答案】二十
【解析】
【分析】
本题考查空间几何题的表面积，考查学生的空间想象能力，属于较难题．
结合图，可直观判断这是一个正二十面体，即可求表面积．
【解析】
解：由图可知，该正多面体为正二十面体
设该正二十面体的边长为，
又因为，且，则，所以
，
所以该正二十面体的表面积
，
故答案为二十；．
18.【答案】解：画轴，如图所示，画轴，轴，轴，三轴相交于点，
使，；
画下底面在平面上画边长为的正方形的直观图；
画上底面在上截取，过分别作平行于，的直线，，
在平面上用画正四棱台下底面直观图的方法画出边长为的正四棱台的上底面的直观图；
成图，依次连接，，，，
整理去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线得到正四棱台的直观图，
如图所示．
图
图
【解析】本题主要考查简单几何体的结构和平面作图的画法，属于基础题．
19.【答案】 证明：如图，取的中点，
连接，，
是的中点，
，是的中点，且 ，，
，，
，，四边形是平行四边形，
，
或其补角是异面直线与所成的角．
又，四边形、四边形都是正方形，
又为的中点，，
，
异面直线与所成的角为．
所以．
【解析】本题考查异面直线所成角，解题关键在于平移直线，将异面直线所成角转化为平面内的角．根据题目给出的中点、构造辅助线，取的
中点，连接，可推导出，从而将异面直线与所成的角转化为平面角，进而可得结果．
20.【答案】；
【解析】
【分析】
本题考查棱锥及其外接球的结构特征，几何体中的截面问题，属于中档题．
易知球的直径为棱长为的正方体的体对角线，即可求得球的半径；分析可知当过点的平面截球所得截面的面积取得最小值时，点到截面的的距离为，求得截面圆的半径，即可得截面面积的最小值．
【解答】
解：，，，则，
且平面，球的直径为棱长为的正方体的体对角线，
则球的半径为；
设中点为，连接，，则，故，，
点是的重心，，
则在中，，
当过点的平面截球所得截面的面积取得最小值时，点到截面的的距离为，
截面圆的半径，
即截面面积的最小值为．
故答案为；．
21.【答案】 证明：如图，取的中点，
连接，，
是的中点，
，是的中点，且 ，，
，，
，，四边形是平行四边形，
，
或其补角是异面直线与所成的角．
又，四边形、四边形都是正方形，
又为的中点，，
，
异面直线与所成的角为．
所以．
【解析】本题考查异面直线所成角，解题关键在于平移直线，将异面直线所成角转化为平面内的角．根据题目给出的中点、构造辅助线，取的
中点，连接，可推导出，从而将异面直线与所成的角转化为平面角，进而可得结果．
22.【答案】解：如图，过点作平面于，
连结并延长交于，连结，是正三角形，
是边上的高和中线，为的中心．
，
，，．
．
；
设球的半径为，以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
，
，
则由等体积可得．
【解析】本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查等积法求球的半径，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．
过点作平面于，连结并延长交于，连结，是正三角形，是边上的高和中线，为的中心．由此能求出棱锥的全面积；
求出棱锥的体积，设球的半径为，以球心为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的半径．
23.【答案】解：由图可知，图几何体的为半径为的半球，
图几何体为底面半径和高都为的圆柱中挖掉了一个圆锥，
与图截面面积相等的图形是圆环如阴影部分，
证明如下
在图中，设截面圆的圆心为，易得截面圆的面积为，
在图中，截面截圆锥得到的小圆的半径为，所以，圆环的面积为，
所以，截得的截面的面积相等．
由“祖暅原理”可知，帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
底面正方形对角线为，正方形边长为，
所以，．
【解析】本题考查了几何体的面积与体积计算，属于中档题．
先求出截面圆的面积，再球出圆环的面积，即可证明二者面积相等；
由“祖暅原理”，通过，求解即可．
高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.1 空间的几何体达标测试： 这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.1 空间的几何体达标测试，共6页。
高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.1 空间的几何体习题： 这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.1 空间的几何体习题，共7页。
高中数学湘教版（2019）必修 第二册第4章 立体几何初步4.1 空间的几何体达标测试： 这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册第4章 立体几何初步4.1 空间的几何体达标测试，共11页。试卷主要包含了5 cm,2 cm,0等内容，欢迎下载使用。
