湘教版（2019）必修 第二册4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系课后练习题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系课后练习题，共27页。试卷主要包含了0分），【答案】B，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

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4.3.2空间中直线与平面的位置关系同步练习
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知两条直线m，n，两个平面α,β，给出下面四个命题：
①m//n, m//α⇒n//α； ②α//β,m//n,m⊥α⇒n⊥β； ③m⊥n,m⊥α⇒n//α或n⊂α； ④α⊥β,m//α⇒m⊥β， 
其中，正确命题的个数是(   )．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. m，n为空间中两条不重合直线，α为空间中一平面，则下列说法正确的是(    )
A. 若m//n，n⊂α，则m//α B. 若m⊥α，m//n，则n⊥α
C. 若m//α，n⊂α，则m//n D. 若m⊥α，m⊥n，则n//α
3. 设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(    )
A. 若l // α，l // β，则α // β B. 若l // α，l⊥β，则α⊥β
C. 若α⊥β，l⊥α，则l⊥β D. 若α⊥β，l // α，则l⊥β
4. 已知m,n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β，则下列说法中正确的是(    )
A. α//β且l//α B. α//β且l⊥β
C. α与β相交，且交线垂直于l D. α与β相交，且交线平行于l
5. 已知直线m，n和平面α，则下列结论正确的是(    )
A. m // n，n⊂α⇒m // α B. m // α，n⊂α⇒m // n
C. m⊥n，m⊥α⇒n⊥α D. m⊥α，n⊂α⇒m⊥n
6. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(    )
A. 若m//α，n//α，则m//n
B. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
C. 若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β
D. 若m⊥α，m//n，n⊂β则α⊥β
7. 已知m,n为两条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是
(  )
A. 若m//α，m//β，则α//β B. 若m⊥α，α⊥β，则m//β
C. 若m⊂α，m⊥β，则α⊥β D. 若m⊂α，α⊥β，则m⊥β
8. 已知直线m、n，平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m//α，n//β，且m//n，则α//β
③若m⊥α，n//β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n//β，且m//n，则α⊥β
其中正确的命题是                                                        (    )
A. ②③ B. ①③ C. ①④ D. ③④
9. 在正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，则下列结论错误的是(   )
A. 异面直线AB与CD所成的角为90°
B. 直线AB与平面BCD成的角为60°
C. 直线EF //平面ACD
D. 平面AFD⊥平面BCD

10. 如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点 E,F，且EF=22，则下列结论中错误的是(   )
A.
B. EF//平面ABCD
C. 三棱锥A−BEF的体积为定值
D. 异面直线AE,BF所成的角为定值

11. 如图，已知六棱锥P−ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是(  ) 
A. PB⊥AD B. 平面PAB⊥平面PBC
C. 直线BC//平面PAE D. 直线CD⊥平面PAC
12. 如图，已知六棱锥P−ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是(   )
A.
B. 平面 PAB ⊥平面 PBC
C. 直线BC//平面PAE
D. 直线PD与平面ABC所成的角为45°

第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
13. 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面EFGH为平行四边形，AB=4，CD=6.则AB与平面EFGH的位置关系为          ；四边形EFGH周长的取值范围为          ．
14. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E , F分别是棱CD , CC1的中点，则异面直线A1E与DF所成角的大小是          ；A1E与平面ABB1A1所成角的正弦值是          ．
15. 在正三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为          ，二面角D−AC−B的余弦值为          ．
16. 如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点(含边界)，若A1P //平面AEF，点P的轨迹长度为          .直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是          ． 
17. 正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N，E，F分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为          ，CE和该截面所成角的正弦值为          ．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
18. 如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)证明：l⊥DC；
(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，，求PB与平面QCD所成角的正弦值．







19. 如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l．

(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，QB=2，求PB与平面QCD所成角的正弦值．







20. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，，∠DAB=60∘，AB=AD=2CD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90∘，M为AP的中点．

(1)求证：平面PCB；
(2)求直线PB与平面PAD所成线面角的正切值．







21. 在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB
(1)求证：四边形EFCD为直角梯形；
(2)设SB的中点为M，当CDAB的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明．







22. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥PD，PA=PD，平面PAB⊥平面PAD．


(1)求证：AB⊥平面PAD；
(2)若M是线段PD上的一点，且DM=2MP，E为BC上的一点，BC=2，求三棱锥P-AEM的体积．







23. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=60°，PA=AD=PD=2，侧面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PC，AB的中点．



(Ⅰ)求证：EF //平面PAD；
(Ⅱ)当AP⊥BD时，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．







答案和解析
1.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．
逐个判断即可．
【解答】
解：①m//n, m//α，则n //α或n⊂α，错误； 
  ，正确；
或n⊂α，正确；  
，m与β可能平行或相交或m⊂β，错误．
故选B．  
2.【答案】B

【解析】
【分析】
本题主要考查了线面平行，垂直的判定与性质，属于基础题．
根据空间中的线线平行、线面平行、线面垂直的定义以及性质逐项进行判断．
【解答】
解：A.因为m//n，n⊂α，所以m⊂α或m//α，故错误；
B.互相平行的两条直线中的一条垂直于一个平面，则另外一条也垂直于这个平面，故B正确；
C.因为m//α，n⊂α，所以m,n可能是异面直线，故错误；
D.因为m⊥α，m⊥n，所以n⊂α时也满足，故错误，
故选B．  
3.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，面面垂直的判定和性质，考查空间想象能力，属于中档题和易错题．
由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断A；由线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理，即可判断B； 由面面垂直的性质和线面的位置关系，即可判断C；由面面垂直的性质定理和线面平行的性质，即可判断D. 
【解答】
解：对于A，若l//α，l//β，则α//β或α，β相交，故A错；
对于B，若l//α，l⊥β，则由线面平行的性质定理，得过l的平面γ∩α=m，即有m//l，m⊥β，再由面面垂直的判定定理，得α⊥β，故B对；
对于C，若α⊥β，l⊥α，则l//β或l⊂β，故C错；
对于D，若α⊥β，l//α，若l平行于α，β的交线，则l//β，故D错．
故选B．  
4.【答案】D

【解析】
【分析】
本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，平面的基本性质及推论，属于中档题．
由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．
【解答】
解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l//α，
又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l//β．
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α//β则推出m//n，
与m，n异面矛盾，
故α与β相交，且交线平行于l．
故选D．
  
5.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查空间中的线、面位置关系，考查空间想象能力，属于较易题．
利用空间中的线、面位置关系逐个判断即可．
【解答】
解：A.若m // n，n⊂α⇒m // α或m⊂α，故A错误；
B.若m // α，n⊂α⇒m // n或m，n异面，故B错误；
C.若m⊥n，m⊥α，则n // α或n⊂α，故C错误；
D.若m⊥α，n⊂α，由线面垂直的性质定理即得m ⊥n，故D正确．
故选D．  
6.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟练掌握、运用定理是关键，属于基础题．
利用线面平行、线面垂直、面面平行，面面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答．
【解答】
解： m//α，n//α，则m//n， m， n相交或异面都有可能，故A不正确;
两个平面平行，两个平面中的直线平行或异面，故B不正确;
面面垂直，只有一个平面中垂直于交线的直线垂直于另一平面，故C不正确;
利用面面垂直的判定定理，可知D正确．
故选： D．  
7.【答案】C

【解析】
【分析】
本题主要考查了空间直线与平面，平面与平面位置关系，属于基础题．
解题依据判定定理作判断时，抓住判定条件不可缺少.本题采用逐一判断得解．
【解答】
解：A.若m与α、β的交线平行，显然符合条件但两平面相交，故A错；
B.m⊥α，α⊥β，则m//β或m⊂α，故B错误；
C.平面α经过了平面β的一条垂线m，所以α⊥β，故C正确；
D.α⊥β，m⊂α，则m与β位置关系不定，m可能是交线、可能平行于β、可能与β相交等，未必m⊥β，
故D错误；
故选C．  
8.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查线面、面面平行、垂直的判定与性质，属基础题，利用线面、面面平行、垂直的判定与性质定理可以证明①正确；利用线面平行的性质定理和线面垂直，面面垂直的判定定理可证④正确；举反例可以否定②③．
【解答】
解：对于①，显然α与β不平行，否则根据面面平行和线面垂直的性质定理易得m//n，与已知矛盾，设α∩β=l，设平面γ⊥l，γ∩l=O，γ∩α=a，γ∩β=b，
在γ内取一点P，作PA⊥a，垂足为A，作PB⊥b，垂足为B，则由面面垂直的性质定理可得PA⊥α，PB⊥β，又∵若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，∴PA⊥PB，
在平面四边形PAOB中有三个角为直角，∴OA⊥OB，根据二面角的定义可得平面α⊥β，故①正确；
对于②，若m//α，n//β，且m//n，α，β可以相交，故②错误；
对于③，若m⊥α，n//β，且m⊥n，α和β不一定垂直，甚至可以平行，故错误；
对于④，∵n//β，∴过n作平面γ，使之与β相交与直线l，则n//l，又∵m//n，∴m//l，∵m⊥α，∴n⊥α，又∵l⊂β，∴α⊥β，故正确．
故选C．  
9.【答案】B

【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了线面平行、面面垂直的判定定理的运用以及空间角的求法，是中档题．
过A作AG⊥CD，则G为CD中点，连接AG，AF，BG，DF，则BG⊥CD，DF⊥BC，利用正四面体的性质逐一分析四个选项得答案．
【解答】
解：如图，过A作AG⊥CD，则G为CD中点，连接AG，AF，BG，DF，则BG⊥CD，DF⊥BC，
又∵BG∩AG=G，AG,BG⊂平面ABG，
∴CD⊥平面ABG，AB⊂平面ABG，则CD⊥AB，故A正确；
由AB与平面BCD所成的角即∠ABG，又AG=BG≠AB，所以∠ABG≠60°；故B错误；
正四面体ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF//AC，
∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF//平面ACD，故C正确；
∵几何体为正四面体，∴A在底面BCD的射影为底面的中心，
则AO⊥平面BCD，
而AO⊂平面AFD，∴平面AFD⊥平面BCD，故D正确．
∴结论错误的是B．
故选：B．
  
10.【答案】D

【解析】
【分析】
本题主要考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的判定与性质，考查棱锥的体积，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力，属于中档题．
利用线面垂直定理，可证AC⊥BE；判断A正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；
根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；例举两个特殊位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误． 
【解答】
解：∵在正方体中，AC⊥BD，
又∵BD⊂平面B1D1DB，
∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，
∴AC⊥BE，故A正确；
∵平面ABCD//平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，
∴EF//平面ABCD，故B正确；
∵EF=22，
∴△BEF的面积为定值12×EF×1=24，
又AC⊥平面BDD1B1，设AC∩BD=O．
∴AO为棱锥A−BEF的高，
∴三棱锥A−BEF的体积为定值，故C正确；
∵利用图形设异面直线所成的角为α，
当E与D1重合时sinα=12，α=30°；
当F与B1重合时tanα=22，
∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误．
故选D．

  
11.【答案】D

【解析】
【分析】本题主要考查线面、面面垂直的的判定和性质定理的运用，考查了线面平行的判定和性质，考查了空间想象能力，属于中档题．
对于选项A，根据线面垂直的判定定理和性质即可排除，
B选项，假设平面PAB⊥平面PBC，根据面面垂直的性质进一步得出BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B不正确;
C选项，假设直线BC//平面PAE，根据线面平行的性质得出BC//AE，与已知矛盾，
故排除，进而得出结果．
【解答】解：因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A不正确;
过点A作PB的垂线，垂足为H，
若平面PAB⊥平面PBC，则AH⊥平面PBC，
所以AH⊥BC，
又PA⊥BC，可证BC⊥平面PAB，
则BC⊥AB，这与底面是正六边形不符，所以B不正确;
若直线BC//平面PAE，则BC//AE，但BC与AE相交，所以C不正确．
故选D．  
12.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案． 
【解答】
解：若，AD//BC，则PB⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC在平面ABC内，
∴PA⊥BC，
又PA、PB为平面PAB内两条相交直线，
则BC⊥平面PAB，AB在平面PAB内，则BC⊥AB，与正六边形矛盾，∴A不正确；
假设平面PAB⊥平面PBC，
过A作AH⊥PB，垂足为H，平面PAB∩平面PBC=PB，
则AH⊥平面PBC，BC在平面PBC内，
则AH⊥BC，又PA⊥BC，PA、AH为平面PAB内两条相交直线，
则BC⊥平面PAB，由A知不符合题意，∴B不正确；
假设直线BC//平面PAE，∵AD//BC，AD不在平面PAE内，
∴AD//平面PAE，显然不符合题意，∴C不正确；
∵BC//AD，且AD=2BC，可得△PAD是等腰直角三角形，
∴∠PDA=45°，直线PD与平面ABC所成的角为45°，∴D正确，
故选D．  
13.【答案】AB //平面EFGH；
(8,12) 


【解析】
 【分析】
本题考查了几何体中的截面问题和空间中直线与平面的位置关系，先得出EF //平面ABD，由线面平行的性质得EF // AB，由线面平行的判定可得AB //平面EFGH；设EF=x(0 【解答】
解：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF // HG，
又∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF //平面ABD，
又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，∴EF // AB，
又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB //平面EFGH．
设EF=x(0 ∴CFCB=x4，则FG6=BFBC=BC−CFBC=1−x4，∴FG=6−32x．
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴四边形EFGH的周长l=2(x+6−32x)=12−x，
又∵0 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)．
故答案为AB //平面EFGH；(8,12)．  
14.【答案】90°
23


【解析】
【分析】
本题主要考查了异面直线所成的角及直线与平面所成的角，属于中档题．
根据线面垂直的判定与性质及线面角的求法，先证明线面垂直及作出线面角，再在三角形中求解．
【解答】
解：如下图，连接D1E，∵△D1DE≌△DCF，∴∠DD1E=∠CDF，，
，∴D1E⊥DF，
由正方体的性质知A1D1⊥平面DCC1D1，DF⊂平面DCC1D1，∴A1D1⊥DF，
D1E∩A1D1=D1，D1E，A1D1⊂平面A1D1E，∴DF⊥平面A1D1E，A1E⊂平面A1D1E，
∴DF⊥A1E，即异面直线DF与A1E所成的角为90°；
取AB的中点G，连接A1G，EG，则GE//AD//A1D1，由正方体的性质知AD⊥平面ABB1A1，
∴GE⊥平面ABB1A1，∴∠EA1G为直线A1E与平面ABB1A1所成的角，
不妨设正方体的棱长为2，则A1E=A1D12+D1E2=A1D12+D1D2+DE2=4+4+1=3，
GE=AD=2，∴sin∠EA1G=GEA1E=23．
故答案为：90°；23．

  
15.【答案】64
217


【解析】
【分析】
本题考查空间几何体中线面角、二面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
利用空间直角坐标系，求出平面AA1C1C的法向量及AD，利用空间向量的数量积即可求解；连接DE，由条件可证得AC⊥平面BDE，于是AC⊥DE.所以∠BED是平面ACD与ABC所成二面角的平面角，在中即可求得结果．
【解答】
解：取AC的中点E，BE为x轴，BE的垂线为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．

在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，
则E(32,0,0)，A(32,12,0)，D(0,0,1)，
平面AA1C1C的法向量可以为：n=(32,0,0)，AD=(−32,−12,1)，
则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为：|n⋅AD|n||AD||=|−3432×34+14+1|=64．
连接DE，因为AC⊥BE，AC⊥BD，且BE⋂BD=B，BE、BD⊂平面BDE，所以AC⊥平面BDE．
又DE⊂平面BDE，所以AC⊥DE．
所以∠BED是平面ACD与ABC所成二面角的平面角，且为锐角．
在中，BE=32，BD=1，所以DE=72．
所以cos∠BED=BEDE=217．
故答案为：64；217．  
16.【答案】22;255,223

【解析】
【分析】
本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置，属于难题．
分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN//平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得A1P的取值范围进而求出直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围．
【解答】
解：如下图所示：

分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，
∵M、N、E、F为所在棱的中点，
∴MN//BC1，EF//BC1，
∴MN//EF，
又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，
∴MN//平面AEF；
∵AA1//NE，AA1=NE，
∴四边形AENA1为平行四边形，
∴A1N//AE，
又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，
∴A1N//平面AEF，
又A1N∩MN=N，A1N，MN⊂平面平面A1MN
∴平面A1MN//平面AEF，
∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P//平面AEF，
则P必在线段MN上，MN=22，
在Rt△A1B1M中，A1M=52，
同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=52，
∴△A1MN为等腰三角形，
当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，
A1O=A1M2−OM2=324，
A1M=A1N=52，
所以线段A1P长度的取值范围是[324,52]；
故直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最小值为152=255；
直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为1324=223；
故直线A1P与平面BCC1B1所成角的正切值的取值范围是255,223．
  
17.【答案】22
1010


【解析】
【分析】
本题主要考查空间直线与平面垂直的判定与性质和空间角的计算．
第一空取CD的总点H，BC的中点G，根据题意易证MN//平面EFHG，故平面EFHG就是过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面，求得S即可;
第二空连接AC交HG于点I，易证CI垂直平面EFHG，所以∠CEI为直线CE与截面所成角然后直接求得∠CEI的正弦值即可．
【解答】
解：如图，
分别取CD，BC的中点H，G，
连接HE，HG，GE，HF，ME，NH．
易证ME綉NH，所以四边形MEHN是平行四边形，
所以MN // HE，
又MN⊄平面EFHG，HE⊂平面EFHG，
所以MN //平面EFHG，
所以过EF且与MN平行的平面为平面EFHG，
平面EFHG截正方体所得截面为矩形EFHG，
EF=2，FH=2，
所以所得截面的面积为2×2=22.连接AC，交HG于I，则CI⊥HG，
又平面EFHG⊥平面ABCD，平面EFHG∩平面ABCD=HG，
所以CI⊥平面EFHG，连接EI，
则CI⊥EI，∠CEI为直线CE和截面所成的角．在Rt△CIE中，
CE=1+22=5，CI=14AC=224=22．
所以sin∠CEI=CICE=1010．
故答案为22；1010．  
18.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AD//BC，
因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD//平面PBC，
又因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC=l，
所以AD//l，
因为在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AD⊥DC,∴l⊥DC,
且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD,∴l⊥PD,
因为CD∩PD=D，DC，PD⊂平面PDC，
所以l⊥平面PDC，DC⊂平面PDC，
所以l⊥DC．
(2)如图建立空间直角坐标系D−xyz，

因为PD=AD=1，则有D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0)，
设Q(m,0,1)，则QB=1−m,1,−1，
由QB=2，得1−m2+1+1=2，解得m=1，
得Q(1,0,1)，
则有DC=(0,1,0),DQ=(1,0,1),PB=(1,1,−1)，
设平面QCD的法向量为n=(x,y,z)，
则DC·n=0DQ·n=0，即y=0x+z=0,
令x=1，则z=−1，所以平面QCD的一个法向量为n=(1,0,−1)，
则cos=n⋅PB|n||PB|=1+0+13⋅1+1
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，
所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos|=|1+1|3⋅1+1=63，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值为63．


【解析】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目．
(1)利用线面垂直的判定定理证得AD⊥平面PDC，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得AD//l，从而得到l⊥平面PDC，即可得l⊥DC；
(2)根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q(m,0,1)，由QB=2，得Q(1,0,1)，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB的坐标，求得cos，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值．


19.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，AD//BC，
因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以AD//平面PBC，
又因为AD⊂平面PAD，平面PAD⋂平面PBC=l，
所以AD//l，
因为在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，所以
且PD⊥平面ABCD，所以
因为CD⋂PD=D，DC，PD⊂平面PDC
所以平面PDC；
(2)如图建立空间直角坐标系D−xyz，

因为PD=AD=1，则有D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0)，
设Q(m,0,1)，则QB=1−m,1,−1，
由QB=2，得1−m2+1+1=2，解得m=1，
得Q(1,0,1)，
则有DC=(0,1,0),DQ=(1,0,1),PB=(1,1,−1)，
设平面QCD的法向量为n=(x,y,z)，
则DC·n=0DQ·n=0，即y=0x+z=0,
令x=1，则z=−1，所以平面QCD的一个法向量为n=(1,0,−1)，
则cos=n⋅PB|n||PB|=1+0+13⋅1+1
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，
所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos|=|1+1|3⋅1+1=63，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值为63．


【解析】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，属于拔高题．
(1)利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得AD//l，再利用线面垂直的判定定理证得l⊥平面PDC；
(2)根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q(m,0,1)，由QB=2，得Q(1,0,1)，之后求得平面QCD的法向量以及向量PB的坐标，求得cos，即为直线PB与平面QCD所成角的正弦值．


20.【答案】解：(1)如图所示，取PB的中点N，连接MN、CN，
∵M、N分别为PA、PB的中点，则且MN=12AB，
由已知条件可知且CD=12AB，
且CD=MN，
所以，四边形CDMN为平行四边形，
，
∵DM⊄平面PCB，CN⊂平面PCB，
因此，平面PCB；
(2)取AD的中点O，连接OP、OB，
∵AB=AD=2，∠DAB=60∘，则△ABD是等边三角形，
∵O为AD的中点，OB⊥AD，
∵平面PAD∩平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OB⊂平面ABCD，
∴OB⊥平面PAD，
所以直线PB与平面PAD所成的角为∠OPB，
同理可得PO⊥平面ABCD，
∵OB⊂平面ABCD，
∴PO⊥OB，OB=AB2−OA2=3，PO=12AD=1，
所以，tan∠OPB=OBPO=3，
因此，直线PB与平面PAD所成线面角的正切值为3．

【解析】本题考查线面平行的判定，考查直线与平面所成角，考查空间思维能力与计算能力，属于中档题．
(1)取PB的中点N，连接MN、CN，利用线面平行的判定定理证得平面PCB即可；
(2)取AD的中点O，连接OP、OB，利用线面垂直的判定，得直线PB与平面PAD所成的角为∠OPB，计算求解即可．

21.【答案】(1)证明：∵在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴CD//AB，
又AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，
∴CD//平面SAB，
因为平面EFCD∩平面SAB=EF，CD⊂平面EFCD，
∴CD//EF，

又SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴SD⊥CD，
又AD∩SD=D,AD,SD⊂平面SAD，
∴CD⊥平面SAD，又ED⊂平面SAD，
∴CD⊥ED，
又EF ∴四边形EFCD为直角梯形；
 (2)解：当CDAB=2时，△DMC为直角三角形．
证明如下：
∵AB=a, 
，
，
因为SD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，  
∴SD⊥BC,DB∩SD=D,BD,SD⊂平面SBD，
∴BC⊥平面SBD，
又DM⊂平面SBD，
∴BC⊥DM，
在△SBD中，SD=DB,M为SB中点，
∴MD⊥SB，
又BC∩SB=B，BC,SB⊂平面SBC,
∴MD⊥平面SBC,MC⊂平面SBC, 

∴△DMC为直角三角形．

【解析】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，属于中档题．
(1)由CD//AB，AB⊂平面SAB，知CD//平面SAB，CD//EF，可得CD⊥ED，即可得证；
(2)由题意，当CDAB=2时，△DMC为直角三角形.由SD⊥平面ABCD，可得SD⊥BC，可得BC⊥平面SBD，得出，即可得证．

22.【答案】解：(1)因为平面PAB⊥平面PAD，平面PAB∩平面PAD =PA，
PD⊂平面PAD，，所以平面PAB，
又AB⊂平面PAB，所以，
又因为，AD∩PD=D，
AD、PD⊂平面PAD，
所以平面PAD；
(2)因为BE //AD，BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BE //平面PAD， 
所以三棱锥E−PAM的高等于点B到平面PAD的距离，即BA=2，
所以，
所以三棱锥P−AEM的体积为V ．

【解析】本题给出特殊四棱锥，求证线面垂直并求锥体体积，着重考查了直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识，属于中档题．
1利用线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PAD；
2利用锥体体积公式求出三棱锥的体积．

23.【答案】(Ⅰ)证明：取PD的中点M，连结AM，ME，
由已知AF//ME//DC，且AF=ME=12DC，
所以四边形AFEM是平行四边形，
所以EF//AM，
又平面PAD，AF⊂平面PAD，
所以EF//平面PAD;

(Ⅱ)解：取AD的中点O，连结PO，
∵PA=AD=PD=2，PO⊥AD，
又平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD⋂底面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD．
又BD⊂平面ABCD，
∴PO⊥BD．
又∵AP⊥BD，PO⋂AP=P，PO，AP⊂平面PAD，
∴BD⊥平面PAD，又AD⊂平面PAD，
∴BD⊥AD．
又∠BAD=60∘，∴AB=2AD=4．
过点C作CG⊥AD于点G，连结PG，
由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⋂底面ABCD=AD，CG⊂平面ABCD，
∴CG⊥平面PAD，
所以∠CPG是直线PC与平面PAD所成角．
又CG=23，PG=23，所以∠CPG=45∘，
即直线PC与平面PAD所成角的正弦值为22．

【解析】本题考查了线面平行的判定，考查了求线面角的方法，属于中档题．
(Ⅰ)取PD的中点M，连结AM，ME，证得四边形AFEM是平行四边形，进而证得EF//平面PAD；
(Ⅱ)取AD的中点O，连结PO，过点C作CG⊥AD于点G，连结PG，证得∠CPG是直线PC与平面PAD所成角，进而求得结果．