数学必修 第二册4.1 空间的几何体教学设计

 空间几何体的直观图

【教学目标】

1、掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.

2、会画出空间几何体的直观图.

3、提高学生识图和画图的能力，从而提升学生几何直观和空间想象能力。

【教学重点】

掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图和画空间几何体的直观图.

【教学方法】

直观演示法，讨论法，探究法

【教学过程】

（一）、创设情境、引出课题

     我们常用三视图和直观图来表示空间几何体，根据三视图，我们就可以得到一个精确的空间几何体，正是因为三视图的这个特点，在生产活动中得到广泛的应用，比如我们的零件图纸，建筑图纸，都是三视图。但是三视图不能更好的体现空间几何体的整体，没有直观的概念。如何展现几何体的“全貌”，体现线线，线面间的关系呢？

首先我们来研究如何画水平放置的平面图形的直观图。

（二）探索研究、得出新知

1、如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？

步骤：1°如图1（1），在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O.在图1(2)中，画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.

    2°在图1(2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′=AD，在y′轴上取M′N′=MN.以点N′为中点画B′C′平行于x′轴，并且等于BC；再以M′为中点画E′F′平行于x′轴，并且等于EF.

    3°连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′〔图1(3)〕.

图1

学生活动，得到斜二测画法的步骤：

1°在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.

2°已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.

3°已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

2．如何用斜二测画法画出空间几何体的立体图形呢？

例：请画出底面边长为a，高为的正六棱柱的直观图

（电脑演示作图过程，引导学生快速完成）

步骤：(1)画几何体的底面

    方法参考画水平放置的正六边形的直观图的画法。

(2)画几何体的高

在已知图形中过点作轴垂直于平面，在直观图中对应的轴，也垂直于平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

（三） 例题剖析，巩固新知

例1、如图所示是水平放置的三角形的直观图，∥y′轴，则原图形中△ABC是(　　)

A．等边三角形    B．等腰三角形   C．直角三角形 D．等腰直角三角形

解：本题主要考查由直观图还原为原图，将斜二测画法逆用，即与x′O′y′坐标轴平行的线在xOy系中与坐标轴垂直，且AB＝2A′B′，AC＝A′C′．如图．故选C．

2、 用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为(　　)

A.   B.   C.   D.

解：设原矩形的长为a，宽为b，则其直观图是长为a，高为sin 45°＝b的平行四边形，所以＝＝.故选D.

3、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　)

A.2＋   B.   C.   D.1＋

解：恢复后的原图形为一直角梯形，

所以S＝(1＋＋1)×2＝2＋.故选A.

4、已知是边长为的正三角形，那么它的平面直观图的面积为(　　)

A.        B.         C.          D.

解：,选C

5、如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是(　　)

A．14　　　B．10　　　C．28　　　D．14

解：因为A′D′∥y′轴，

A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，

所以原图形是一个直角梯形，如图所示．

又A′D′＝4，

所以原直角梯形的上、下底及高分别是2，5，8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.

（四） 当堂检测

 1、水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．

 解：原图是AC＝3，BC＝4的直角三角形，故斜边上的中线长为 ＝．

2、如图所示，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为__________．

解：由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.

3、有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm2.

 解：该矩形直观图的面积为×5×4＝5.

【课堂小结】

本节课你学到了哪些知识？有哪些收获？

【课后作业】

【教学反思】