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高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.1 空间的几何体精品作业ppt课件
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这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.1 空间的几何体精品作业ppt课件，文件包含411第1课时棱柱棱锥棱台课件pptx、411第1课时棱柱棱锥棱台作业docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共52页， 欢迎下载使用。
1.了解空间几何体的分类及其相关概念.(数学抽象)2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.(直观想象、逻辑推理)
【激趣诱思】下图给出的是埃及金字塔、法国巴黎罗浮宫博物馆玻璃金字塔的图片,这两个图片看上去有共同的特征,共同特征是什么呢?如何描述这些共同特征呢?
知识点一:空间几何体1.空间几何体:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体.
微思考观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体:(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形?(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形?(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形?提示 (1)②④.(2)①③⑤.(3)⑥.
知识点二:棱柱1.棱柱
不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱
2.具有某些特征性质的棱柱:侧面都是矩形的棱柱称为直棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.如果棱柱的底面和侧面都是矩形,这样的棱柱就是长方体,而所有棱长都相等的长方体就是正方体.两个底面都是平行四边形的棱柱称为平行六面体.
3.常见的几种四棱柱之间的转化关系
微思考有两个面平行,其余各面都是平行四边形,这样的几何体一定是棱柱吗?举例说明.提示 不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.
微练习下列说法正确的是( )A.四棱柱是平行六面体B.直平行六面体是长方体C.长方体的六个面都是矩形D.底面是矩形的四棱柱是长方体答案 C解析 底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体,选项A错误;底面是矩形的直平行六面体才是长方体,选项B错误;底面是矩形的直四棱柱才是长方体,选项D错误;选项C显然正确.
知识点三:棱锥1.棱锥
2.正棱锥:底面是正多边形,将底面水平放置后,它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上的棱锥.
微思考(1)有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗?(2)各个面都是全等的三角形的三棱锥是正三棱锥吗?提示 (1)不一定,其余各面必须要有一个公共顶点.如图所示的几何体符合问题中的条件,但不是棱锥.(2)不是,例如三棱锥S-ABC中,若SB=AC=a,SA=AB=SC=BC=b,a≠b,则满足已知条件,但是三棱锥不是正三棱锥.
要点笔记 棱柱、棱锥、棱台之间的关系
微思考观察下面的几何体是否为棱台?为什么?提示 不是.因为延长各侧棱不能还原成棱锥.
微判断(1)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台.( )(2)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台.( )(3)棱台的各条侧棱延长后必交于一点.( )答案 (1)× (2)× (3)√
例1长方体ABCD-A'B'C'D'如图所示,当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果是,指出底面及侧棱;如果不是,请说明理由.分析根据几何体的特征及棱柱的定义判断.
解 截面BCFE右侧部分是棱柱,根据棱柱的定义,多面体BEB'-CFC'是三棱柱,其中△BEB'和△CFC'是底面,EF,B'C',BC是侧棱;截面BCFE左侧部分也是棱柱,多面体ABEA'-DCFD'是四棱柱,其中四边形ABEA'和四边形DCFD'是底面.A'D',EF,BC,AD为侧棱.要点笔记 关于多面体的识别问题,首先应明确多面体的结构特征,明确多面体的面、棱以及顶点的概念.
变式训练1(多选题)如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法正确的是( )A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形D.该几何体有8个面,并且各面均为三角形
答案 ABD解析 根据题图,得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体;该几何体有棱MA,MB,MC,MD,AB,BC,CD,DA,NA,NB,NC和ND,共12条,顶点是M,A,B,C,D和N共6个;该几何体有面MAB,面MBC,面MCD,面MDA,面NAB,面NBC,面NCD和面NDA共8个,且每个面都是三角形.所以选项A,B,D正确,故选ABD.
例2下列四个说法正确的有( )①棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面;②各个面都是三角形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;A.0个B.1个C.3个D.4个分析所给说法→联想空间图形→紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征→作出判断
答案 A解析 ①错误,如底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行,但不能作为底面;②错误,如图所示的几何体各面均为三角形,但不是三棱锥;③错误,因为不能保证侧棱延长后相交于同一点;④错误,四棱锥有4个侧面.反思感悟 棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看它们是否具备各自的性质:侧面、底面形状,侧棱、棱之间的关系等.判断时要充分发挥空间想象能力,必要时可借助于几何模型.
变式训练2下列说法正确的有 (填序号). ①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共顶点;③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形;④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;⑤多面体至少有四个面.答案 ①②④⑤
例3如图是三个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体?分析根据平面展开图的特征,将展开图还原为几何体后判断.
解 ①三棱柱;②四棱锥;③三棱台.
反思感悟 1.绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.2.由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展开图.
变式训练3纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,如下图①.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,如图②,则标“△”的面的方位是( )A.南B.北C.西D.下
答案 B解析 将所给图形还原为正方体,最上面为△,最左面为东,最里面为上,将正方体旋转后让左面向西,让“上”面向上可知标“△”的方位为北.
例4若定义正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高为斜高,求解以下问题:已知正三棱锥V-ABC,底面边长为8,侧棱长为2 ,计算它的高和斜高.分析根据正三棱锥的性质,找出底面正三角形的中心及底面边的中点,构造直角三角形.利用勾股定理求解.
解 如图所示,设O是底面中心,连接VO,AO,并延长AO交BC于点D,连接VD,则VO为正三棱锥的高,VD为斜高.∴△VAO和△VCD是直角三角形.
反思感悟 1.正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于E,则PE为斜高.(1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图中Rt△PEC.(2)斜高、高构成直角三角形,如图中Rt△POE.(3)侧棱、高构成直角三角形,如图中Rt△POC.
2.正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面中心,作O1E1⊥B1C1于E1,OE⊥BC于E,则E1E为斜高.(1)斜高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形E1ECC1.(2)斜高、高构成直角梯形,如图中梯形O1E1EO.(3)高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形O1OCC1.
变式训练4如图,已知四棱锥的底面是正方形,且边长为4,侧棱长都相等,E为BC的中点,高为PO,且∠OPE=30°,求该四棱锥的高与侧棱长.
多面体表面距离最短问题典例如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.分析把三棱锥的侧面展开,当△AEF的各边在同一直线上时,其周长最小.
解 将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长即为所求△AEF周长的最小值.∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,∴AA1=4 ,∴△AEF周长的最小值为4 .方法点睛 涉及多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解.
变式训练如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周,求此绳在A,B之间的最短绳长.
解 作出三棱锥的侧面展开图.如图,A,B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度.因为OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之间最短的绳长为5.
1.有两个面平行的多面体不可能是( )A.棱柱B.棱锥C.棱台D.棱柱和棱台答案 B解析 因为棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥.
2.下面图形为棱锥的是( )A.①③B.①③④C.①②④D.①②③④答案 C解析 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②④是棱锥,③不是棱锥,故选C.
3.下面多面体是棱柱的有( )A.1个B.2个 C.3个 D.4个答案 D解析 根据棱柱的定义进行判定,知这4个图都满足.
4.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是( )A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等答案 ACD解析 根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.
5.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是 . 答案 四棱柱或三棱柱解析 倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱或三棱柱.
6.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?
1.了解空间几何体的分类及其相关概念.(数学抽象)2.理解棱柱、棱锥、棱台的定义,知道这三种几何体的结构特征,能够识别和区分这些几何体.(直观想象、逻辑推理)
【激趣诱思】下图给出的是埃及金字塔、法国巴黎罗浮宫博物馆玻璃金字塔的图片,这两个图片看上去有共同的特征,共同特征是什么呢?如何描述这些共同特征呢?
知识点一:空间几何体1.空间几何体:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形称为空间几何体.
微思考观察下列图片,这些都是我们日常熟知的一些物体:(1)哪些物体围成它们的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形?(2)哪些物体围成它们的面中既有平面图形,又有曲面图形?(3)哪些物体围成它们的面都是曲面图形?提示 (1)②④.(2)①③⑤.(3)⑥.
知识点二:棱柱1.棱柱
不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱
2.具有某些特征性质的棱柱:侧面都是矩形的棱柱称为直棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.如果棱柱的底面和侧面都是矩形,这样的棱柱就是长方体,而所有棱长都相等的长方体就是正方体.两个底面都是平行四边形的棱柱称为平行六面体.
3.常见的几种四棱柱之间的转化关系
微思考有两个面平行,其余各面都是平行四边形,这样的几何体一定是棱柱吗?举例说明.提示 不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.
微练习下列说法正确的是( )A.四棱柱是平行六面体B.直平行六面体是长方体C.长方体的六个面都是矩形D.底面是矩形的四棱柱是长方体答案 C解析 底面是平行四边形的四棱柱才是平行六面体,选项A错误;底面是矩形的直平行六面体才是长方体,选项B错误;底面是矩形的直四棱柱才是长方体,选项D错误;选项C显然正确.
知识点三:棱锥1.棱锥
2.正棱锥:底面是正多边形,将底面水平放置后,它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上的棱锥.
微思考(1)有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗?(2)各个面都是全等的三角形的三棱锥是正三棱锥吗?提示 (1)不一定,其余各面必须要有一个公共顶点.如图所示的几何体符合问题中的条件,但不是棱锥.(2)不是,例如三棱锥S-ABC中,若SB=AC=a,SA=AB=SC=BC=b,a≠b,则满足已知条件,但是三棱锥不是正三棱锥.
要点笔记 棱柱、棱锥、棱台之间的关系
微思考观察下面的几何体是否为棱台?为什么?提示 不是.因为延长各侧棱不能还原成棱锥.
微判断(1)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台.( )(2)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫棱台.( )(3)棱台的各条侧棱延长后必交于一点.( )答案 (1)× (2)× (3)√
例1长方体ABCD-A'B'C'D'如图所示,当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果是,指出底面及侧棱;如果不是,请说明理由.分析根据几何体的特征及棱柱的定义判断.
解 截面BCFE右侧部分是棱柱,根据棱柱的定义,多面体BEB'-CFC'是三棱柱,其中△BEB'和△CFC'是底面,EF,B'C',BC是侧棱;截面BCFE左侧部分也是棱柱,多面体ABEA'-DCFD'是四棱柱,其中四边形ABEA'和四边形DCFD'是底面.A'D',EF,BC,AD为侧棱.要点笔记 关于多面体的识别问题,首先应明确多面体的结构特征,明确多面体的面、棱以及顶点的概念.
变式训练1(多选题)如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法正确的是( )A.该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B.该几何体有12条棱、6个顶点C.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形D.该几何体有8个面,并且各面均为三角形
答案 ABD解析 根据题图,得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体;该几何体有棱MA,MB,MC,MD,AB,BC,CD,DA,NA,NB,NC和ND,共12条,顶点是M,A,B,C,D和N共6个;该几何体有面MAB,面MBC,面MCD,面MDA,面NAB,面NBC,面NCD和面NDA共8个,且每个面都是三角形.所以选项A,B,D正确,故选ABD.
例2下列四个说法正确的有( )①棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面;②各个面都是三角形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;A.0个B.1个C.3个D.4个分析所给说法→联想空间图形→紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征→作出判断
答案 A解析 ①错误,如底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行,但不能作为底面;②错误,如图所示的几何体各面均为三角形,但不是三棱锥;③错误,因为不能保证侧棱延长后相交于同一点;④错误,四棱锥有4个侧面.反思感悟 棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看它们是否具备各自的性质:侧面、底面形状,侧棱、棱之间的关系等.判断时要充分发挥空间想象能力,必要时可借助于几何模型.
变式训练2下列说法正确的有 (填序号). ①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共顶点;③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形;④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;⑤多面体至少有四个面.答案 ①②④⑤
例3如图是三个几何体的平面展开图,请问各是什么几何体?分析根据平面展开图的特征,将展开图还原为几何体后判断.
解 ①三棱柱;②四棱锥;③三棱台.
反思感悟 1.绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.2.由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个平面展开图.
变式训练3纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,如下图①.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,如图②,则标“△”的面的方位是( )A.南B.北C.西D.下
答案 B解析 将所给图形还原为正方体,最上面为△,最左面为东,最里面为上,将正方体旋转后让左面向西,让“上”面向上可知标“△”的方位为北.
例4若定义正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高为斜高,求解以下问题:已知正三棱锥V-ABC,底面边长为8,侧棱长为2 ,计算它的高和斜高.分析根据正三棱锥的性质,找出底面正三角形的中心及底面边的中点,构造直角三角形.利用勾股定理求解.
解 如图所示,设O是底面中心,连接VO,AO,并延长AO交BC于点D,连接VD,则VO为正三棱锥的高,VD为斜高.∴△VAO和△VCD是直角三角形.
反思感悟 1.正棱锥中的直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于E,则PE为斜高.(1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图中Rt△PEC.(2)斜高、高构成直角三角形,如图中Rt△POE.(3)侧棱、高构成直角三角形,如图中Rt△POC.
2.正棱台中的直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面中心,作O1E1⊥B1C1于E1,OE⊥BC于E,则E1E为斜高.(1)斜高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形E1ECC1.(2)斜高、高构成直角梯形,如图中梯形O1E1EO.(3)高、侧棱构成直角梯形,如图中梯形O1OCC1.
变式训练4如图,已知四棱锥的底面是正方形,且边长为4,侧棱长都相等,E为BC的中点,高为PO,且∠OPE=30°,求该四棱锥的高与侧棱长.
多面体表面距离最短问题典例如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.分析把三棱锥的侧面展开,当△AEF的各边在同一直线上时,其周长最小.
解 将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长即为所求△AEF周长的最小值.∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.又VA=VA1=4,∴AA1=4 ,∴△AEF周长的最小值为4 .方法点睛 涉及多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解.
变式训练如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周,求此绳在A,B之间的最短绳长.
解 作出三棱锥的侧面展开图.如图,A,B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度.因为OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之间最短的绳长为5.
1.有两个面平行的多面体不可能是( )A.棱柱B.棱锥C.棱台D.棱柱和棱台答案 B解析 因为棱锥的任意两个面都相交,不可能有两个面平行,所以不可能是棱锥.
2.下面图形为棱锥的是( )A.①③B.①③④C.①②④D.①②③④答案 C解析 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②④是棱锥,③不是棱锥,故选C.
3.下面多面体是棱柱的有( )A.1个B.2个 C.3个 D.4个答案 D解析 根据棱柱的定义进行判定,知这4个图都满足.
4.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是( )A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等答案 ACD解析 根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.
5.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是 . 答案 四棱柱或三棱柱解析 倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱或三棱柱.
6.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?
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