高中数学湘教版（2019）必修 第二册3.4 复数的三角表示巩固练习

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3.4复数的三角表示同步练习

湘教版（2019）高中数学必修第二册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 将复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，且有，求   

A.  B.  C.  D. 都不对

3. 在复平面内，复数对应向量为坐标原点，设，以射线为始边，为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则   

A.  B.
C.  D.

4. 棣莫弗公式为虚数单位是由法国数学家棣莫弗发现的，根据棣莫弗公式可知，若复数满足，则复数的虚部是   

A.  B.  C.  D.

5. 已知复数满足，且有，求   

A.  B.  C.  D. 都不对

6. 任何一个复数其中，，为虚数单位都可以表示成其中，的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“为偶数”是“复数为纯虚数”的   

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7. 复数，则在复平面内，复数对应的点在    

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是   

A.  B.  C.  D.

9. 设，，则的值等于     

A.  B.
C.  D.

10. 在复平面内，为坐标原点，复数对应的点为，将向量按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为 

A.  B.  C.  D.

11. 欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数和完美地结合在一起，它是由欧拉公式：中，令得到的根据欧拉公式，在复平面内对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

12. 设，，则在复平面内对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

第II卷（非选择题）

二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）

13. 将复数对应的向量按逆时针方向旋转所得到的向量对应的复数为          ，该复数除以复数后所得到的复数为          ．
14. 已知，，则          ，          ．
15. 著名数学家棣莫佛出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论文．年棣莫佛提出了公式：，其中，根据这个公式，则          ；若，则          ．
16. 年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式 ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，则          ；          ．
17. 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，在复平面内对应的点位于第          象限，的最大值为          ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

18. 化简：

；

．






 

19. 计算下列各式，并作出几何解释：

；

；

；

．






 

20. 计算：

；

；

；

．






 

21. 计算

22. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，求与所得向量对应的复数．
    
    
    
    
    
    
     
23. 计算：

；

；

；

．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数乘法的几何意义，属于基础题．
根据复数乘法的几何意义得到，化简后即为所求结果．

【解答】

解：根据复数乘法的几何意义，对应的复数为：．
故选B．

2.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键．
根据题意可设为虚数单位；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根据复数的概念，可得，利用三角函数同角关系，即可求出的值，进而求出结果．

【解答】

解：因为，设为虚数单位；

由棣莫佛公式，可得

，

所以，

所以，即

因为，

所以；

化简可得，即，

所以，所以；

所以．

故选：．

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了复数乘方公式，属基础题．
根据复数乘方公式：，直接求解即可．
【解答】
解：根据复数乘方公式：，得

．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的新定义，即三角形式以及运算，复数代数形式的运算，复数的概念，属于基础题．
由复数三角形式的运算得，化简为，由复数的除法运算化简，得虚部．

【解答】

解：由得，．
所以复数的虚部为．
故选C．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了复数的模，复数的三角形式，属于中档题．
根据题意可设为虚数单位；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根据复数的概念，可得，利用三角函数同角关系，即可求出的值，进而求出结果．

【解答】

解：因为，设为虚数单位；

由棣莫佛公式，可得

，

所以，

所以，即

因为，

所以；

化简可得，即，

所以，所以；

所以．

故选：．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查充要条件的判断、复数的概念、三角形式的运算，属于中档题．
根据由棣莫弗定理复数复数，结合纯虚数的概念判断即可．
【解答】

解：由棣莫弗定理复数，
当为偶数时，或或，复数不一定为纯虚数，
若为纯虚数，
则，且，
则，所以，，为偶数，
所以“为偶数”是“复数为纯虚数”的必要但不充分条件．
故选B．

7.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数三角形式的运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
由已知求得，得到在复平面内的坐标得答案．

【解答】

解：，


在复平面内，复数对应的点的坐标为，在第二象限．
故选B．

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数乘法、除法的几何意义，考查复数除法运算的三角形式，属于中档题．
根据复数乘法、除法的几何意义，结合复数除法的三角形式的运算法则，即可求解．
【解答】
解：因为复数的三角形式是，
所以根据题意可得：向量对应的复数是．
故选：．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的三角表示，以及两角和与差的三角函数公式，属基础题目．
两复数相乘，将问题转化为两角和与差的三角函数问题，利用公式计算即可．

【解答】

解：由题意

，
故选D．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查复数的几何意义，比较基础．
根据题意可知旋转所得的向量对应复数是，化简即可．

【解答】

解：由已知复平面内点对应的复数，将向量绕原点按逆时针方向旋转，
所以所得向量对应的复数是．
故选A．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查复数的三角形式及其几何意义，属于基础题．
先根据题意化简，找到其在复平面内对应的点，再根据三角函数的正负即可求解．
【解答】
解：，在复平面内对应的点为
因为，所以，
所以在复平面内对应的点在第二象限   ，
故选B．  

12.【答案】
 

【解析】解：复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查复数乘法、除法的三角形式，属于中档题．
根据复数乘法、除法的三角形式的运算法则，即可求解．
【解答】
解：
由题意知
，
即将复数对应的向量按逆时针方向旋转所得到的向量对应的复数为
 

因为，

所以

故答案为：，

14.【答案】  

【解析】

【分析】
本题主要考查了复数乘法运算和除法运算的三角表示，属于基础题．
由题意得出，利用复数的乘法和除法．
【解答】
解：因为，

，

所以，

故答案为；

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查棣莫佛定理的应用，属基础题．
根据棣莫佛定理得，求解即可．
【解答】
解：依题意，，
，
所以，
故答案为．  

16.【答案】

【解析】解：，
，
因此，．
故答案为：，．
根据复指数函数和三角函数的关系可计算得出的值，由已知条件得出，利用指数的运算性质以及复指数函数和三角函数的关系可求得的值．
本题考查指数幂和三角函数的计算，属于基础题．
 

17.【答案】三

【解析】

【分析】

本题考查了复数的三角形式、复数的几何意义应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
由，化简即可得出对应的点所在的象限，由在复平面中对应的点位于单位圆，再结合圆的知识即可求动点与的距离的最大值得到答案． 

【解答】

解：，
则复数在复平面中对应的点位于第三象限．
在复平面中对应的点位于单位圆上，
表示单位圆上的动点与的距离，
易知当在处时，有最大值，
故答案为三．

18.【答案】解：
；

．

【解析】本题考查复数的三角形式的乘除法的运算，属于基础题．
由复数的三角形式的乘除法的法则进行运算即可．
由复数的三角形式的除法法则运算．
 

19.【答案】解：
，
几何解释：对应的向量按逆时针旋转，再把它的模变为原来的，所得的向量对应的复数；




；
几何解释：把对应的向量按顺时针旋转，再把它的模变为原来的倍，所得的向量对应的复数；
 

，
几何解释：把对应的向量按顺时针旋转，再把它的模变为原来的倍，所得的向量对应的复数；

．
几何解释：把对应的向量按顺时针旋转，再把它的模变为原来的倍，所得的向量对应的复数；

【解析】本题考查复数的三角形式，复数的运算，属于中档题．
由复数三角形式的运算和几何意义得答案；
由复数三角形式的运算和几何意义得答案；
由复数三角形式的运算和几何意义得答案；
由复数三角形式的运算和几何意义得答案．
 

20.【答案】解：









．
 

【解析】本题主要考查复数的三角表示及其乘除，属基础题．
利用复数的三角表示及其乘除运算规则运算即可；
利用复数的三角表示及其乘除运算规则运算即可；
利用复数的三角表示及其乘除运算规则运算即可；
利用复数的三角表示及其乘除运算规则运算即可；
 

21.【答案】解：

．
原式
．
原式
．

原式
．
 

【解析】本题考查复数的三角形式，属于基础题．
利用复数乘法运算的三角表示运算；
利用复数乘法运算的三角表示运算；
利用复数除法运算的三角表示运算；
利用复数除法运算的三角表示运算．
 

22.【答案】解：所得向量对应的复数为：
 

【解析】本题考查复数乘法、除法的几何意义，考查复数乘法的三角形式运算，属于基础题．
根据复数乘法、除法的几何意义，结合复数乘法的三角形式的运算法则，即可求解．
 

23.【答案】解：原式
  
；

；

原式

原式．

【解析】本题考查复数的三角表示及乘除运算法则，属于中档题．
运用复数的三角表示及乘除运算法则直接运算即可；
运用复数的三角表示及乘除运算法则直接运算即可；
运用复数的三角表示及乘除运算法则直接运算即可；
运用复数的三角表示及乘除运算法则直接运算即可．