2020-2021学年5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第2课时课时练习

课时作业23　函数奇偶性的应用

时间：45分钟

——基础巩固类——

1．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)等于(　A　)

A．－2    B．0

C．1    D．2

解析：因为x>0时，f(x)＝x2＋，所以f(1)＝1＋1＝2.

又f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故选A．

2．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为(　A　)

A．4    B．0

C．2m    D．－m＋4

解析：由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2＝m，得a·57－b·55＋c·53＝2－m，则f(5)＝a·57－b·55＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.

所以f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故选A．

3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)等于(　A　)

A．x＋x4    B．－x－x4

C．－x＋x4    D．x－x4

解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)．

则f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4.

又因为函数f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)，x∈(0，＋∞)．

从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f(x)＝x＋x4.故选A．

4．偶函数y＝f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则有(　A　)

A．f(－π)>f>f(－1)

B．f>f(－1)>f(－π)

C．f(－π)>f(－1)>f

D．f(－1)>f(－π)>f

解析：由题意，得f(－π)＝f(π)，f(－1)＝f(1)．又函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且1<<π，所以f(1)<f<f(π)，即f(－1)<f<f(－π)．故选A．

5．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)(　B　)

A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6

B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6

C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6

D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6

解析：由f(x)是偶函数，得f(x)的图象关于y轴对称，其图象可以用如图简单地表示，则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.故选B．

6．若偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式>0的解集为(　B　)

A．(－2,0)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D．(－2,0)∪(0,2)

解析：∵f(x)为偶函数，∴＝>0，∴xf(x)>0，∴或又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，∴x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．故选B．

7．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0]上的解析式为f(x)＝x＋2.

解析：由题意知f(x)在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.

8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，若f(2)＝3f(－1)，则m＝－.

解析：∵x>0时，f(x)＝x2＋mx＋1，

∴f(2)＝5＋2m，f(1)＝2＋m，

又f(－1)＝－f(1)＝－2－m，

由f(2)＝3f(－1)知，5＋2m＝－6－3m，∴m＝－.

9．已知函数f(x)是定义在[－2,0)∪(0,2]上的奇函数．当x>0时，f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的值域是[－3，－2)∪(2,3]．

解析：∵函数f(x)为奇函数，在(0,2]上的值域为(2,3]，∴f(x)在[－2,0)上的值域为[－3，－2)．故f(x)的值域为[－3，－2)∪(2,3]．

10．函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，函数的解析式为f(x)＝－1.

(1)求f(－1)的值；

(2)求当x<0时函数的解析式；

(3)用定义证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

解：(1)因为f(x)是偶函数，

所以f(－1)＝f(1)＝2－1＝1.

(2)当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－1.

又因为f(x)为偶函数，

所以当x<0时，f(x)＝f(－x)＝－1＝－－1.

(3)证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且0<x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝－1－＝－＝.

因为x1－x2<0，x1x2>0.

所以f(x2)－f(x1)<0.

所以f(x1)>f(x2)．

因此f(x)＝－1在(0，＋∞)上是减函数．

11．已知函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.

(1)求证：f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(3)试比较f与f的大小．

解：(1)证明：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，

∴f(1)＝0.

令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f((－1)×(－1))＝f(－1)＋f(－1)，

∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.

∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．

∴f(x)是偶函数．

(2)证明：设0<x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝f－f(x1)

＝f(x1)＋f－f(x1)＝f.

∵x2>x1>0，∴>1，∴f>0，

即f(x2)－f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1)，

即f(x1)<f(x2)．

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(3)由(1)知f(x)是偶函数，

则有f＝f，

由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

则f>f.∴f>f.

——能力提升类——

12．若函数y＝f(x)是偶函数，定义域为R，且该函数图象与x轴的交点有3个，则下列说法正确的是(　A　)

①3个交点的横坐标之和为0；②3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关；③f(0)＝0；④f(0)的值与函数解析式有关．

A．①③    B．①④

C．②④    D．②③

解析：由于偶函数图象关于y轴对称，若(x0,0)是函数与x轴的交点，则(－x0,0)一定也是函数与x轴的交点，当交点个数为3个时，有一个交点一定是原点，从而①③正确．

13．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于(　B　)

A．0.5    B．－0.5

C．1.5    D．－1.5

解析：由已知，可得f(7.5)＝f(5.5＋2)＝－f(5.5)＝－f(2＋3.5)＝－[－f(3.5)]＝f(3.5)＝f(2＋1.5)＝－f(1.5)＝－f(2－0.5)＝－[－f(－0.5)]＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.

14．奇函数f(x)满足：①f(x)在(0，＋∞)内单调递增；②f(1)＝0.则不等式x·f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数且是奇函数，f(1)＝0.

∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，f(－1)＝0.

当x>0时，f(x)>0

即f(x)>f(1)，∴x>1，

当x<0时，f(x)<0，

即f(x)<f(－1)，∴x<－1.

∴x·f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

15．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.函数f(x)在y轴左侧的图象如图所示．

(1)写出函数f(x)，x∈R的增区间；

(2)求函数f(x)，x∈R的解析式；

(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2，x∈[1,2]，求函数g(x)的最小值．

解：(1)f(x)的增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．

(2)设x>0，则－x<0，

∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，

且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.

∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x>0)，

∴f(x)＝

(3)由(2)知g(x)＝x2－(2＋2a)x＋2，x∈[1,2]，其图象的对称轴为x＝a＋1，

当a＋1≤1，即a≤0时，g(x)min＝g(1)＝1－2a；

当1<a＋1<2，即0<a<1时，g(x)min＝g(a＋1)＝－a2－2a＋1；

当a＋1≥2，即a≥1时，g(x)min＝g(2)＝2－4A．

综上，g(x)min＝