高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数习题

课时素养评价 三十一

　对数的概念

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分)

1.已知log7[log3(log2x)]=0，那么等于 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.由条件知，log3(log2x)=1，

所以log2x=3，所以x=8，所以=.

【补偿训练】

　　若对数式log(t-2)3有意义，则实数t的取值范围是 (　　)

A.[2，+∞)   B.(2，3)∪(3，+∞)

C.(-∞，2)   D.(2，+∞)

【解析】选B.要使对数式log(t-2)3有意义，

需，解得t>2且t≠3，

所以实数t的取值范围是(2，3)∪(3，+∞).

2.16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数.直到18世纪，才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab=N⇔b=logaN.现在已知a=log23，则2a=_______. 

【解析】由a=log23，化对数式为指数式可得2a=3.

答案：3

3.e0++=_______. 

【解析】原式=1+2+8=11.

答案：11

4.把对数式log84=x化成指数式是_______；可求出x=_______. 

【解析】因为log84=x，所以8x=4，

所以23x=22，所以x=.

答案：8x=4　

5.(1)将log232=5化成指数式.

(2)将3-3=化成对数式.

(3)log4x=-，求x.

(4)已知log2(log3x)=1，求x.

【解析】(1)因为log232=5，所以25=32.

(2)因为3-3=，所以log3=-3.

(3)因为log4x=-，所以x===2-3=.

(4)因为log2(log3x)=1，所以log3x=2，即x=32=9.

　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.设f(log2x)=2x(x>0)，则f(2)的值是 (　　)

A.128   B.16   C.8   D.256

【解析】选B.由题意，令log2x=2，解得x=4，

则f(log2x)=2x=24=16.

2.(2020·西安高一检测)已知2×9x-28=，则x= (　　)

A.log37-log32   B.lo4

C.log34     D.log37

【解析】选C.2×9x-28=，

所以2×(3x)2-28-3x=0，即(3x-4)(2·3x+7)=0，

解得3x=4，则x=log34.

3.已知x2+y2-4x-2y+5=0，则logx(yx)的值是 (　　)

A.1   B.0    C.x   D.y

【解题指南】先对方程配方，求出x，y后再利用对数性质求值.

【解析】选B.由x2+y2-4x-2y+5=0，

则(x-2)2+(y-1)2=0，所以x=2，y=1，

所以logx(yx)=log2(12)=0.

【补偿训练】

　　 若10α=2，β=lg 3，则10= (　　)

A.   B.    C.1    D.

【解析】选D.因为β=lg 3，所以10β=3.

所以10====.

二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.下列各式正确的有 (　　)

A.lg(lg 10)=0

B.lg(ln e)=0

C.若10=lg x，则x=10

D.若log25x=，则x=±5

【解析】选AB.对于A，因为lg(lg 10)=lg 1=0，所以A对；

对于B，因为lg(ln e)=lg 1=0，所以B对；

对于C，因为10=lg x，所以x=1010，C错；

对于D，因为log25x=，所以x=2=5.

所以只有AB正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.若loga2=m，loga3=n，其中a>0，且a≠1，则am+n=_______. 

【解析】loga2=m，可得am=2.

loga3=n，an=3.am+n=aman=2×3=6.

答案：6

6.(2020·绍兴高一检测)已知方程loga(5x-3x)=x(其中a>0，a≠1)，若x=2是方程的解，则a=_______；当a=2时，方程的解x=_______. 

【解析】因为x=2是方程的解，所以loga(52-32)=2.

所以a2=16，且a>0，所以a=4.

当a=2时，log2(5x-3x)=x.

所以5x-3x=2x，显然x=1是方程的解.

答案：4　1

【补偿训练】

　　方程log3(9x-4)=x+1的解x=_______. 

【解析】因为log3(9x-4)=x+1，所以9x-4=3x+1，

所以(3x)2-3·3x-4=0，

所以3x=4，x=log34，或3x=-1(舍).

答案：log34

四、解答题

7.(10分)若lox=m，loy=m+2，求的值.

【解析】因为lox=m，所以=x，x2=.

因为loy=m+2，所以=y，y=，所以====16.

【补偿训练】

　　 已知logab=logba(a>0，a≠1；b>0，b≠1)，求证：a=b或a=.

【证明】令logab=logba=t，则at=b，bt=a，

所以=a则=a，所以t2=1，t=±1，

当t=1时，a=b；当t=-1时，a=.

所以a=b或a=.

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