高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）习题，共7页。

1．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋7， x∈[－1，1,2x＋6， x∈[1，2]))则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
2．已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x－1)，x∈[－8，－4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值eq \f(5,3)，无最小值
B．f(x)有最大值eq \f(5,3)，最小值eq \f(7,5)
C．f(x)有最大值eq \f(7,5)，无最小值
D．f(x)有最大值2，最小值eq \f(7,5)
3．函数f(x)＝x－eq \r(x＋1)的最小值为( )
A．－eq \f(5,4) B．－eq \f(1,2)
C．－1 D．0
4．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,x)，x≥1，,－x2＋2，x<1))的最大值为________．
5．函数f(x)＝eq \f(1,x)在[1，b](b>1)上的最小值是eq \f(1,4)，则b＝________.
6．已知函数f(x)＝eq \f(2x－1,x＋1)，x∈[3,5]．
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；
(2)求该函数的最大值和最小值．
[提能力]
7．(多选)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是( )
A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1
B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值
C．f(x)在区间[2,3]上有最小值2，最大值5
D．当01时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1.
8．已知函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是________．
9．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a、b的值；
(2)设f(x)＝eq \f(gx,x－2)，若不等式f(x)－k>0在x∈(2,5]上恒成立，求实数k的取值范围．
[战疑难]
10．已知eq \f(1,3)≤a≤1，若函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)．
(1)求g(a)的函数表达式；
(2)求函数g(a)单调增区间与单调减区间，并求出g(a)的最小值．
课时作业(十四) 函数的最大(小)值
1．解析：当－1≤x<1时，6≤x＋7<8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
答案：A
2．解析：f(x)＝eq \f(2x＋1,x－1)＝2＋eq \f(3,x－1)，它在[－8，－4)上单调递减，因此有最大值f(－8)＝eq \f(5,3)，无最小值．故选A.
答案：A
3．解析：令eq \r(x＋1)＝t≥0，则x＝t2－1，则f(t)＝t2－t－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2－eq \f(5,4)，故函数的最小值在t＝eq \f(1,2)取到，f(t)min＝－eq \f(5,4).
答案：A
4．解析：当x≥1时，函数f(x)＝eq \f(1,x)为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.
答案：2
5．解析：因为f(x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,4)，所以b＝4.
答案：4
6．解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的，
证明：设任意x1，x2，满足3≤x1因为f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1－1,x1＋1)－eq \f(2x2－1,x2＋1)
＝eq \f(2x1－1x2＋1－2x2－1x1＋1,x1＋1x2＋1)
＝eq \f(3x1－x2,x1＋1x2＋1)，
因为3≤x10，x2＋1>0，x1－x2<0.
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)＝eq \f(2x－1,x＋1)在[3,5]上是单调递增的．
(2)f(x)min＝f(3)＝eq \f(2×3－1,3＋1)＝eq \f(5,4)，
f(x)max＝f(5)＝eq \f(2×5－1,5＋1)＝eq \f(3,2).
7．解析：函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当01时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．
答案：BCD
8．解析：∵y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x＝1时，ymin＝2；当y＝3时，x2－2x＋3＝3，解得x＝0或x＝2.由y＝x2－2x＋3的图象知，当m∈[1,2]时，能保证y的最大值为3，最小值为2.
答案：[1,2]
9．解析：(1)∵g(x)开口方向向上，且对称轴方程为x＝1，
∴g(x)在[2,3]上单调递增，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(gxmin＝g2＝4a－4a＋1＋b＝1，,gxmax＝g3＝9a－6a＋1＋b＝4，))
解得a＝1且b＝0.
(2)∵f(x)－k>0在x∈(2,5]上恒成立．
所以只需k由(1)知f(x)＝eq \f(x2－2x＋1,x－2)＝x＋eq \f(1,x－2)＝x－2＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4.
当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时等号成立．∴k<4.
10．解析：(1)∵eq \f(1,3)≤a≤1，
∴f(x)的图象为开口向上的抛物线，且对称轴x＝eq \f(1,a)∈[1,3]．
∴f(x)有最小值N(a)＝1－eq \f(1,a).
当2≤eq \f(1,a)≤3时，a∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))，f(x)有最大值M(a)＝f(1)＝a－1；
当1≤eq \f(1,a)<2时，a∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，f(x)有最大值M(a)＝f(3)＝9a－5.
∴g(a)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＋\f(1,a)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤a≤\f(1,2)))，,9a－6＋\f(1,a)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)(2)设eq \f(1,3)≤a1≤a2≤eq \f(1,2)，则
g(a1)－g(a2)＝(a1－a2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a1a2)))>0，
∴g(a1)>g(a2)，∴g(a)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))上是减函数．
设eq \f(1,2)∴g(a1)∴当a＝eq \f(1,2)时，g(a)有最小值eq \f(1,2).