2018-2019学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2018-2019学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分.答案请填写在横线上）
1．（3分）化简：＝　 　．
2．（3分）方程x（x﹣5）＝2x的根是　 　．
3．（3分）已知函数，则f（3）＝　 　．
4．（3分）直角坐标平面内的两点P（﹣2，4）、Q（﹣3，5）的距离为　 　．
5．（3分）已知方程x2+3kx﹣6＝0的一个根是2，则k＝　 　．
6．（3分）若最简根式和是同类二次根式，则a•b的值是　 　．
7．（3分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是　 　，这个逆命题是　 　命题；
8．（3分）某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那么两次降价后的价格为　 　元．
9．（3分）已知A（m，3）、B（﹣2，n）在同一个反比例函数图象上，则＝　 　．
10．（3分）到点A的距离等于5cm的点的轨迹是　 　．
11．（3分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB＝CD，∠C＝20°，那么∠A＝　 　度．

12．（3分）比较大小：　 　．
13．（3分）如图，△ABC中，AD是角平分线，AC＝4cm．DE⊥AB，E为垂足．DE＝3cm．则△ADC的面积是　 　cm2．

14．（3分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4＝　 　．

二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
15．（3分）二次根式的一个有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
16．（3分）下列关于x的方程中一定没有实数根的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0
17．（3分）已知函数y＝kx中y随x的增大而减小，那么它和函数y＝在同一直角坐标系内的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝，BD平分∠ABC，BD＝2，则以下结论错误的是（　　）

A．点D在AB的垂直平分线上
B．点D到AB的距离为1
C．点A到BD的距离为2
D．点B到AC的距离为
三、解答题（本大题共7个题，共46分．第19、20题，每题4分；第21、22、23题，每题6分；第24、25题，每题10分）
19．（4分）当t＝2时，求二次根式的值．
20．（4分）解方程：．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1＝0（m为常数）有两个实数根，求m的取值范围．
22．（6分）已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．求证：AB＝AC．

23．（6分）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝8，点D在边BC上，BD＝3CD，线段DB绕点D顺时针旋转α度后（0＜α＜180），点B旋转至点E，如果点E恰好落在Rt△ABC的边上，求：△DBE的面积．

24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy内，点A在直线y＝3x上（点A在第一象限），OA＝2．
（1）求点A的坐标；
（2）过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，如果点E和点A都在反比例函数y＝（k≠0）图象上（点E在第一象限），过点E作EF⊥y轴，垂足为点F，如果S△AEF＝S△AOB，求点E的坐标．

25．（10分）已知，如图，在△ABC中，AE平分∠CAB交BC于点E，AC＝6，CE＝3，AE＝3，BE＝5，点F是边AB上的动点（点F与点A，B不重合），连接EF，设BF＝x，EF＝y．
（1）求AB的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△AEF为等腰三角形时，直接写出BF的长．


2018-2019学年上海市长宁区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分.答案请填写在横线上）
1．（3分）化简：＝　　．
【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，而的平方根为±，所以算术平方根为．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
2．（3分）方程x（x﹣5）＝2x的根是　x1＝0，x2＝7　．
【分析】将方程整理成一般式，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：将方程x（x﹣5）＝2x整理成一般式得：x2﹣7x＝0，
则x（x﹣7）＝0，
∴x＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝0，x2＝7，
故答案为：x1＝0，x2＝7．
3．（3分）已知函数，则f（3）＝　+1　．
【分析】根据函数关系式，把x的值代入，即可解答．
【解答】解：f（3）＝＝＝＝；
故答案为：+1．
4．（3分）直角坐标平面内的两点P（﹣2，4）、Q（﹣3，5）的距离为　　．
【分析】根据两点间的距离为可直接得到答案．
【解答】解：∵P（﹣2，6）、Q（2，3），
∴PQ＝＝，
故答案为：．
5．（3分）已知方程x2+3kx﹣6＝0的一个根是2，则k＝　　．
【分析】把x＝2代入方程x2+3kx﹣6＝0得4+6k﹣6＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2+3kx﹣6＝0得4+6k﹣6＝0，解得k＝．
故答案为．
6．（3分）若最简根式和是同类二次根式，则a•b的值是　18　．
【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．
【解答】解：∵最简根式和是同类二次根式∴，
解得：，
∴a•b＝18，
故答案为：18．
7．（3分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是　有两个角相等的三角形是等腰三角形　，这个逆命题是　真　命题；
【分析】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
【解答】解：命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形．
因为，在同一个三角形内有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此逆命题是真命题．
8．（3分）某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那么两次降价后的价格为　405O　元．
【分析】先求出第一次降价以后的价格为：原价×（1﹣降价的百分率），再根据现在的价格＝第一次降价后的价格×（1﹣降价的百分率）即可得出结果．
【解答】解：第一次降价后价格为5000×（1﹣10%）＝4500元，
第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为4500×（1﹣10%）＝4050元．
答：两次降价后的价格为405O元．
故答案为：405O．
9．（3分）已知A（m，3）、B（﹣2，n）在同一个反比例函数图象上，则＝　　．
【分析】设反比例函数解析式为y＝（k为常数，k≠0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝3m＝﹣2n，即可得的值．
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，
根据题意得：k＝3m＝﹣2n
∴＝﹣
故答案为：﹣．
10．（3分）到点A的距离等于5cm的点的轨迹是　以点A为圆心，以5cm为半径的圆　．
【分析】圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离等于5cm的点的集合是圆．
【解答】解：根据圆的定义可知，到点A的距离等于5cm的点的集合是以点A为圆心，5cm为半径的圆．
故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．
11．（3分）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线分别与AC、BC交于点D、E，如果AB＝CD，∠C＝20°，那么∠A＝　40　度．

【分析】连接DB，根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠BDA＝2∠C，证明BA＝BD，得到∠A＝∠BDA，只要证明∠A＝2∠C即可解决问题；
【解答】解：连接DB，
∵DE是边BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C，
∴∠BDA＝2∠C，
∵AB＝CD，DB＝DC，
∴BA＝BD，
∴∠A＝∠BDA，
∴∠A＝2∠C，
∵∠C＝20°，
∴∠A＝40°，
故答案为40．

12．（3分）比较大小：　＞　．
【分析】根据算术平方根的定义可得4﹣x≥0，解得x≤4，进一步得到x﹣6＜0，再根据立方根的定义可得＜0，再根据非负数大于负数即可求解．
【解答】解：由算术平方根的定义可得4﹣x≥0，解得x≤4，
则x﹣6＜0，
则＜0，
∵≥0，
∴＞．
故答案为：＞．
13．（3分）如图，△ABC中，AD是角平分线，AC＝4cm．DE⊥AB，E为垂足．DE＝3cm．则△ADC的面积是　6　cm2．

【分析】过点D作DF⊥AC，由AD是它的角平分线，根据角平分线的性质，即可求得DE＝DF，又由AC＝4cm，可求得△ACD的面积．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝3cm，
∴S△ADC＝•DF•AC＝×3×4＝6（cm2），
故答案为：6．

14．（3分）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S4＝　2　．

【分析】首先证明△CDE≌△ABC可得AB＝CD，BC＝DE，同理可得FG2+LK2＝HL2＝1，进而得到S1+S2+S3+S4＝CE2+HL2＝1+3＝4．再由S2+S3＝2，可得S1+S4＝2．
【解答】解：在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS），
∴AB＝CD，BC＝DE，
∴AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2＝3，
同理可证FG2+LK2＝HL2＝1，
∴S1+S2+S3+S4＝CE2+HL2＝1+3＝4．
∵S2+S3＝2，
∴S1+S4＝2，
故答案为：2．

二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
15．（3分）二次根式的一个有理化因式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是．
【解答】解：×＝（）2＝x+y，
故选：C．
16．（3分）下列关于x的方程中一定没有实数根的是（　　）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0
【分析】根据根的判别式的值的大小与零的关系来判断根的情况．没有实数根的一元二次方程，即判别式的值是负数的方程．
【解答】解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根；
B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根；
C、△＝1＝0，方程有两个相等的实数根；
D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
17．（3分）已知函数y＝kx中y随x的增大而减小，那么它和函数y＝在同一直角坐标系内的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先根据正比例函数的性质判断出k的符号，再根据反比例函数的性质利用排除法求解即可．
【解答】解：∵函数y＝kx中y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∴函数y＝kx的图象经过二、四象限，故可排除A、B；
∵k＜0，
∴函数y＝的图象在二、四象限，故C错误，D正确．
故选：D．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝，BD平分∠ABC，BD＝2，则以下结论错误的是（　　）

A．点D在AB的垂直平分线上
B．点D到AB的距离为1
C．点A到BD的距离为2
D．点B到AC的距离为
【分析】根据三角函数的定义得到∠A＝30°，根据三角形的内角和得到∠ABC＝60°，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝30°，求得点D在AB的垂直平分线上，过D作DE⊥AB于E，求得点D到AB的距离为1，BC＝CD＝，得到点B到AC的距离为，过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，得到点A到BD的距离为．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝，
∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠A＝∠ABD，CD＝BD＝1，
∴AD＝BD＝2，
∴点D在AB的垂直平分线上，
过D作DE⊥AB于E，
∴DE＝DC＝1，
∴点D到AB的距离为1，BC＝CD＝，
∴点B到AC的距离为，
过A作AF⊥BD交BD的延长线于F，
∴AF＝AB＝BC＝，
∴点A到BD的距离为，
故选：C．

三、解答题（本大题共7个题，共46分．第19、20题，每题4分；第21、22、23题，每题6分；第24、25题，每题10分）
19．（4分）当t＝2时，求二次根式的值．
【分析】将t的值代入＝＝|3﹣t|计算可得．
【解答】解：当t＝2时，

＝
＝|3﹣t|
＝|3﹣2|
＝3﹣2．
20．（4分）解方程：．
【分析】首先将原式整理得出x2﹣4x﹣12＝0，再利用因式分解法将方程分解为两式相乘等于0的形式，求出即可．
【解答】解：x（x﹣2）＝2（x+6），（1分）
x2﹣2x＝2x+12，（1分）
x2﹣4x﹣12＝0，（1分）
（x﹣6）（x+2）＝0，（1分）
x1＝6，x2＝﹣2．（2分）
∴原方程的根为x1＝6，x2＝﹣2．
21．（6分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1＝0（m为常数）有两个实数根，求m的取值范围．
【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1＝0（m为常数）有两个实数根，
∴△≥0且m﹣1≠0，即（2m﹣1）2 ﹣4（m﹣1）（m+1）≥0且m≠1，
解得m 且m≠1．
22．（6分）已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BD＝CD．求证：AB＝AC．

【分析】欲证明AB＝AC，利用全等三角形的性质证明∠B＝∠C即可；
【解答】证明：∵AD平分∠BAC（已知），
∴∠EAD＝∠FAD（角平分线的定义），
∵DE⊥AB，DF⊥AC （已知），
∴∠DEA＝∠DFA（垂直的意义），
又∵AD＝AD（公共边），
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形对应边相等），
∵DB＝DC（已知），∠BED＝∠DFC＝90°，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等），
∴AB＝AC（等角对等边）．
23．（6分）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝8，点D在边BC上，BD＝3CD，线段DB绕点D顺时针旋转α度后（0＜α＜180），点B旋转至点E，如果点E恰好落在Rt△ABC的边上，求：△DBE的面积．

【分析】根据勾股定理可求AB，BC的长，即可求BD＝6，CD＝2，分点E落在AB上，或AC上两种情况讨论，根据勾股定理和等边三角形的性质以及三角形面积公式可求△DBE的面积．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝2BC
∵在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，
∴4BC2＝BC2+64×3，
∴BC＝8，
∴AB＝16，
∵点D在边BC上，BD＝3CD，
∴BD＝6，CD＝2，
如图，当点E在AB上时，过点E作EF⊥BC于点F，

∵旋转
∴DE＝BD＝6，且∠ABC＝60°，
∴△BDE是等边三角形
∴BE＝6，且EF⊥BD，∠ABC＝60°，
∴BF＝3，EF＝BF＝3
∴S△BED＝BD×EF＝9，
如图，当点E在AC上时，

∵旋转
∴BD＝DE＝6
在Rt△CDE中，CE＝＝＝4，
∴S△BED＝BD×EC＝12，
综上所述：△DBE的面积为12或9．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy内，点A在直线y＝3x上（点A在第一象限），OA＝2．
（1）求点A的坐标；
（2）过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，如果点E和点A都在反比例函数y＝（k≠0）图象上（点E在第一象限），过点E作EF⊥y轴，垂足为点F，如果S△AEF＝S△AOB，求点E的坐标．

【分析】（1）根据点A在直线y＝3x上（点A在第一象限），可设A（x，3x），其中x＞0，再根据勾股定理可得BO2+AB2＝OA2，即x2+（3x）2＝（2）2，解得x＝2即可计算出A点坐标；
（2）根据待定系数法求得反比例函数的解析式，然后由点E在反比例函数在第一象限的图象上，设出点E的坐标为（n，）（n＞0）．利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△AEF，根据点A在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△ABO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点E的坐标．
【解答】解：（1）∵点A在直线y＝3x上（点A在第一象限），
∴设A（x，3x），其中x＞0，
∵OA＝2，
∴x2+9x2＝（2）2，
解得：x＝2，
点A的坐标为（2，6）；
（2）∵点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝12，
可得 反比例函数解析式为y＝，
由题意得 点B的坐标为（2，0），
∴S△ACB＝6，
∵S△AEF＝S△AOB，
设点E（n，），可得F（0，）；
①点E在点A的上方，
由S△AEF＝n•（﹣6）＝6，得n＝0（舍去），
∴点E的坐标不存在；
②点E在点A的下方，
由S△AEF＝n•（6﹣）＝6，得n＝4，
∴点E的坐标为（4，3），
综上所述：满足条件的点E（4，3）．
25．（10分）已知，如图，在△ABC中，AE平分∠CAB交BC于点E，AC＝6，CE＝3，AE＝3，BE＝5，点F是边AB上的动点（点F与点A，B不重合），连接EF，设BF＝x，EF＝y．
（1）求AB的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当△AEF为等腰三角形时，直接写出BF的长．

【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理可得∠ACE＝90°，再由勾股定理计算AB的长；
（2）作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得：EG＝CE＝3，表示FG的长，因为F可能在G的左边或右边，所以FG＝|4﹣x|，最后根据勾股定理可得y关于x的函数解析式；
（3）当△AEF为等腰三角形时，存在两种情况：①当AE＝AF＝3时，如图2，②当AF＝EF时，如图3，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
【解答】解：（1）∵AC＝6，CE＝3，AE＝3，
∴AC2+CE2＝62+32＝45，
AE2＝（3）2＝45，
∴AC2+CE2＝AE2，
∴∠ACE＝90°，
∵BE＝5，
∴BC＝8，
由勾股定理得：AB＝＝＝10；
（2）如图1，过E作EG⊥AB于G，
∵AE平分∠BAC，∠C＝90°，
∴EG＝EC＝3，
∵AE＝AE，
∴Rt△ACE≌Rt△AGE（HL），
∴AG＝AC＝6，
∴BG＝10﹣6＝4，
∵BF＝x，
∴FG＝|4﹣x|，
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF＝，
∴y＝＝（0＜x＜10）；
（3）分两种情况讨论：
①当AE＝AF＝3时，如图2，
∵AB＝10，
∴BF＝10﹣3，
②当AF＝EF时，如图3，过F作FP⊥AE于P，
∴AP＝AE＝，
∵∠CAE＝∠FAP，∠APF＝∠C＝90°，
∴△ACE∽△APF，
∴，即，
AF＝，
∴BF＝10﹣＝，
综上，当△AEF为等腰三角形时，BF的长为10﹣3或．



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日期：2019/2/20 11:34:04；用户：初数；邮箱：kh02@xyh.com；学号：22313616