2021-2022学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案解析）

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已知在△ABC中，∠C=90∘，∠A=α，AB=c，那么BC的长为( )
A. c⋅sinαB. c⋅tanαC. ccsαD. c⋅ctα
如果向量a与向量b方向相反，且3|a|=|b|，那么向量a用向量b表示为( )
A. a=3bB. a=−3bC. a=13bD. a=−13b
如图，已知AB//CD//EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于( )
A. 2
B. 4
C. 245
D. 365
抛物线y=ax2+bx+c(其中a>0、b<0、c>0)一定不经过的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
下列命题中，说法正确的是( )
A. 所有菱形都相似
B. 两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似
C. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍
D. 斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似
如图，点E是线段BC的中点，∠B=∠C=∠AED，下列结论中，说法错误的是( )
A. △ABE与△ECD相似B. △ABE与△AED相似
C. ABAE=AEADD. ∠BAE=∠ADE
已知xy=12，那么2xx+y的值为______.
抛物线y=2x2−1的顶点坐标是______.
在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为______千米．
已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AC>BC，BC=2，则AC=______.
如果两个相似三角形周长之比为3：2，那么这两个三角形的面积之比为______.
点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则EFBC=______.
如图，小明沿着坡度i=1：2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度AC=______米．
已知抛物线y=ax2+bx−2(ab>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抽物线于点B，若AB=2，则点B坐标为______.
我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图，正方形ABCD中，F、G分别是AD和AB的中点，若EF⊥AD，EF=30，GH⊥AB，GH=750，且EH过点A，那么正方形ABCD的边长为______.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，tan∠BAC=32，CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC左侧一点，连接AE、CE、ED，若EC⊥CD，∠EAC=∠B，则S△CDES△ABC的值为______.
定义：在△ABC中，点D和点E分别在AB边、AC边上，且DE//BC，点D、点E之间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于BC的横纵比．已知，在△ABC中，BC=4，BC上的高长为3，DE关于BC的横纵比为2：3，则DE=______.
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC=3，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF=1，则BE=______.
计算：ct30∘−2sin60∘−tan45∘sin30∘+cs245∘.
抛物线y=−x2+bx+c经过点A(0,3)，B(−1,0).
(1)求抛物线的表达式及其顶点坐标．
(2)填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是______，平移后的抛物线表达式是______.
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，且AB：CD=3：2，点E是边CD的中点，连接BE交对角线AC于点F，若AB=m，AD=n.
(1)用m、n表示AC、AF；
(2)求作BF在BA、BC方向上的分向量．
(不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量)
如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76∘，在地面点D处测得点A的仰角是53∘，点B仰角是45∘，点A与点D之间的距离为3.5米．
求：(1)点A到地面的距离；
(2)AB的长度．(精确到0.1米)
(参考数据：sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，sin76∘≈0.97，cs76∘≈0.24)
如图，线段BD是△ABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上，连接AE、BF，且AB⋅BD=BC⋅BE.
(1)求证：AD=AE；
(2)如果BF=DF，求证：AF⋅CD=AE⋅DF.
抛物线y=ax2+2ax+c与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0,3)，其顶点D的纵坐标为4.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)求∠ACB的正切值；
(3)点F在线段CB的延长线上，且∠AFC=∠DAB，求CF的长．
已知，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC=OE，射线OE交射线BA于点D.
(1)如图，如果OC=2，求S△ADES△ODB的值；
(2)连接AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；
(3)当点E在边AC上时，连接BE、CD，∠DBE=∠CDO，求线段OC的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，sinA=BCAB，
∴BC=AB⋅sinA=c⋅sinα.
故选：A.
本题考查了解直角三角形，熟练掌握并区分锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
根据锐角三角函数的正弦值计算即可．
2.【答案】D
【解析】解：∵向量a与向量b方向相反，且3|a|=|b|，
∴3a=−b，
∴a=−13b.
故选：D.
本题考查了平面向量的知识，注意根据题意得到3a=−b是解此题的关键．
由向量a与向量b方向相反，且3|a|=|b|，可得a=−13b，继而求得答案．
3.【答案】C
【解析】
【解答】
解：∵AB//CD//EF，
∴ADAF=BCBE，即35=BC12，
∴BC=365，
∴CE=BE−BC=12−365=245.
故选：C.
【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理．
根据平行线分线段成比例定理得到ADAF=BCBE，即35=BC12，可计算出BC，然后利用CE=BE−BC进行计算．
4.【答案】C
【解析】解：①∵a>0、c>0，
∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴，
②∵a>0，b<0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴是直线x=−b2a>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c的函数图象的对称轴与x轴正半轴相交，
综合①②，二次函数y=ax2+bx+c的图象一定不经过第三象限．
故选：C.
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴．
根据已知条件“a>0，b<0，c>0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限．
5.【答案】D
【解析】解：A、所有的菱形不都相似，故错误，不符合题意；
B、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故错误，不符合题意；
C、三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍，故错误，不符合题意；
D、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故正确，符合题意；
故选：D.
本题考查了命题与定义的知识，解题的关键是了解菱形的定义、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识．
利用菱形的定义、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠AEC=∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，
∴∠DEC=∠BAE，
∵∠B=∠C，
∴△BAE∽△CED，
∴ABCE=AEED，
∵点E是线段BC的中点，则BE=CE，
∴ABBE=AEDE，
∴ABAE=BEDE，
∵∠B=∠AED，
∴△ABE∽△AED，
∴ABAE=AEAD，
故选项A，B，C正确，D错误.
故选：D.
本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
证明△BAE∽△CED，△ABE∽△AED，可得结论．
7.【答案】23
【解析】解：∵xy=12，
∴y=2x，
∴2xx+y=2xx+2x=23.
故答案为：23.
本题考查比例的基本性质，根据已知得到y=2x是解题关键．
由已知可得y=2x，代入所求的代数式可得答案．
8.【答案】(0,−1)
【解析】解：根据顶点坐标公式，得顶点横坐标为x=−b2a=0，纵坐标为y=4ac−b24a=−1，
即顶点坐标是(0,−1).
故答案为：(0,−1).
本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
利用顶点坐标公式直接求解．
9.【答案】0.5
【解析】解：根据比例尺=图上距离：实际距离，
设两地实际距离为x厘米，得1：10000=5：x，
∴相距5厘米的两地的实际距离是5×10000=50000(厘米)=0.5(千米).
故答案为：0.5.
本题考查了比例线段，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
比例尺=图上距离：实际距离，根据题意列出等式即可得出实际的距离．
10.【答案】5+1
【解析】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，BC=2，
∴AC=5−12AB，
∵AB−AC=BC，
∴AB−5−12AB=2，
解得AB=3+5，
则AC=AB−BC=5+1.
故答案为：5+1.
本题考查的是黄金分割，熟记黄金比值为5−12是解题的关键．
先根据黄金比值为5−12求出AB与AC的关系，再列式计算即可．
11.【答案】9：4
【解析】解：∵两个相似三角形的周长之比为3：2，
∴它们的相似比为3：2，
∴它们的面积比为9：4.
故答案为：9：4.
本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
已知两个相似三角形的周长比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．
12.【答案】23
【解析】解：连接AG并延长交BC于点D，
∵EF//BC，
∴AGAD=EGBD=AEAB=EFBC，
∵G是△ABC的重心，
∴AGAD=23，
∴EFBC=23.
故答案为：23.
本题考查三角形重心定理，熟练掌握三角形重心定理，灵活应用平行线的性质是解题的关键．
连接AG并延长交BC于点D，由EF//BC，可得AGAD=EGBD=AEAB=EFBC，又由G是△ABC的重心，可得AGAD=23，可得EFBC=23.
13.【答案】5
【解析】解：∵坡度i=1：2.4，
∴AC与BC的比为1：2.4，
设AC=x米，则BC=2.4x米，
由勾股定理，得x2+(2.4x)2=132，
解得x=5，
即AC=5米．
故答案为：5.
本题考查了解直角三角形及勾股定理，理解坡度的意义是解决本题的关键．
由坡度易得AC与BC的比为1：2.4，设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度．
14.【答案】(−2,−2)
【解析】解：∵y=ax2+bx−2(ab>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抽物线于点B，
∴A(0,−2)，A、B关于对称轴对称，
∵AB=2，
∴点B坐标为(2,−2)或(−2,−2)，
又ab>0，
则对称轴为直线x=−b2a<0，即对称轴在x轴的左边，
即点B坐标为(−2,−2).
故答案为：(−2,−2).
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
先根据抛物线解析式求出点A坐标，进而再根据抛物线的对称性求出点B坐标．
15.【答案】300
【解析】解：∵在正方形ABCD中，F、G分别是AD和AB的中点，AD=AB，
∴AF=12AD，AG=12AB，
∴AF=AG，
由题意可得，GH⊥AB，AD⊥AB，
∴GH//AD，
∴∠EAF=∠AHG，
又EF⊥AD，GH⊥AB，
则∠EFA=∠AGH=90∘，
∴△AEF∽△HAG，
∴FEGA=AFHG，又AF=AG，
即AF2=EF⋅HG=30×750=22500，
解得AF=150，
∴AD=2AF=300.
故答案是：300.
本题考查相似三角形的应用、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
根据题意，可知△AEF∽△HAG，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
16.【答案】1336
【解析】解：∵EC⊥CD，∠ACB=90∘，
∴∠ECD=∠ACB=90∘，
∴∠ECD−∠ACD=∠ACB−∠ACD，
即∠ECA=∠BCD，
又∵∠EAC=∠B，
∴△ACE∽△BCD，
即CD：CE=BC：AC，CD：BC=CE：AC，
∴△CDE∽△CBA，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90∘，tan∠BAC=BCAC=32，
设BC=3k，则AC=2k，
∴AB=BC2+AC2=13k，
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD=12AB=132k，
∵△CDE∽△CBA，
∴S△CDES△CBA=(CDCB)2=(132k3k)2=1336.
故答案为：1336.
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角函数的定义．
先由∠ECD=∠ACB=90∘，得出∠ECA=∠BCD，又∠EAC=∠B，得出△ACE∽△BCD，再由相似三角形的对应边成比例得出CD：BC=CE：AC，又∠ECD=∠ACB，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得出△CDE∽△CBA，由tan∠BAC=32，根据正切函数的定义设BC=3k，则AC=2k，由勾股定理求出AB=13k，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=132k，然后由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解．
17.【答案】43
【解析】解：∵DE关于BC的横纵比为2：3，
∴设点D、点E之间距离为2x，直线DE与直线BC间的距离为3x，DE//BC，
∴△ABC∽△ADE，DEBC=3−3x3，
∴2x4=3−3x3，
∴x=23，
∴DE=2x=43.
故答案为：43.
本题考查了相似三角形的判定和性质，理解“横纵比”的定义并运用是解题的关键．
先证明△ABC∽△ADE，由相似三角形的性质可求解．
18.【答案】724
【解析】解：过F作FG⊥AB交AB于点G，
∵∠C=90∘，AC=BC=3，CF=1，
∴AB=AC2+BC2=32，BF=BC−CF=3−1=2，∠ABC=45∘，
∴FG=GB=22BF=2，
∴AG=AB−BG=32−2=22，
设AE=x，则EF=x，EG=AG−AE=22−x，
在Rt△EGF中，EG2+FG2=EF2，
即(22−x)2+(2)2=x2，
解得x=542，
即AE=542，
∴BE=AB−AE=32−524=724.
故答案为：724.
本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用勾股定理，属于中考常考题型．
过F作FG⊥AB交AB于点G，先求出AB=32，BF=3−1=2，则FG=GB=22BF=2，所以AG=AB−BG=32−2=22，设AE=x，则EF=x，EG=22−x，在Rt△EGF中，EG2+FG2=EF2，利用勾股定理列出(22−x)2+(2)2=x2，解得x=542，可求出BE.
19.【答案】解：ct30∘−2sin60∘−tan45∘sin30∘+cs245∘
=3−2×32−112+(22)2
=3−(3−1)
=1.
【解析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
把特殊角的三角函数值代入计算即可．
20.【答案】解：(1)由题意，把A(0,3)，B(−1,0)代入y=−x2+bx+c，
得c=3−1−b+c=0，解得b=2c=3，
∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3；
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的顶点坐标是(1,4)；
(2)向左平移1个单位，再向下平移1个单位；y=−x2+3
【解析】解：(1)见答案；
(2)∵抛物线的顶点是(1,4)，A(0,3)，
∴将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，平移的过程是向左平移1个单位，再向下平移1个单位，
∵平移后抛物线形状、大小不变，
∴平移后的抛物线表达式是y=−x2+3.
故答案为：向左平移1个单位，再向下平移1个单位；y=−x2+3.
本题考查了二次函数图象与几何变换，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．
(1)把A(0,3)，B(−1,0)代入y=−x2+bx+c即可得抛物线的表达式为y=−x2+2x+3，配成顶点式即得其顶点坐标；
(2)由顶点的位置关系即可得平移过程，根据平移后顶点坐标即可得表达式．
21.【答案】解：(1)∵AB：CD=3：2，
∴CD=23AB，
∴DC=23m，
∴AC=AD+DC=n+23m；
又在梯形ABCD中，AB//CD，点E是边CD的中点，
∴DE=EC，CE//AB，
∴CFAF=ECAB=13，
∴AF=34AC，
∴AF=34(n+23m)=34n+12m；
(2)如图，BF在BA、BC方向上的分向量分别为BP，BQ.

【解析】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．
(1)利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可．
(2)利用平行四边形法则作出图形即可．
22.【答案】解：(1)过点A作AF⊥CD，垂足为F，
由题意，在Rt△AFD中，AF=ADsin53∘=3.5×0.8=2.8(米)，
答：点A到地面的距离为2.8米；
(2)过点A作AG⊥EC，垂足为G，
则AF=GC=2.8，AG=CF，
在Rt△AFD中，DF=ADcs53∘=3.5×0.6=2.1(米)，
设CF为x米，则CD为(2.1+x)米，
在Rt△BCD中，BC=CDtan45∘=2.1+x(米)，
∴GB=GC−BC=2.8−(2.1+x)=0.7−x(米)，
在Rt△AGB中，tan∠ABG=tan76∘=sin76∘cs76∘=，
∴tan∠ABG=tan76∘=AGBG，
∴x0.7−x=9724，
解得x≈0.56，
∴CF=AG=0.56(米)，
∴AB=AGsin76∘=≈0.6(米)，
答：AB的长度为0.6米．
【解析】本题考查了解直角三角形得应用-仰角俯角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
(1)要求点A到地面的距离，所以过点A作AF⊥CD，垂足为F，然后放在直角三角形AFD中即可解答；
(2)要求AB的长度，需要把AB放在直角三角形中，所以过点A作AG⊥EC，垂足为G，在Rt△AFD中，求出DF的长，然后设CF为x，用x表示AG，BG的长，再用76∘的正切值求出x，最后求出AB即可．
23.【答案】解：(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBD，
∵AB⋅BD=BC⋅BE，
∴ABBC=BEBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴∠BDC=∠AEB，
∵∠BDC=∠ADE，
∴∠AEB=∠ADE，
∴AD=AE；
(2)证明：∵BF=DF，
∴∠BDF=∠FBD，
∵∠BDF=∠BAF+∠ABD，∠FBD=∠DBC+∠CBF，
∴∠BAF+∠ABD=∠DBC+∠CBF，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠BAF=∠FBC，
∵∠BFC=∠AFB，
∴△BCF∽△ABF，
∴BFAF=CFBF，
∴BF2=AF⋅CF，
∵DF=BF，
∴DF2=AF⋅CF，
∵DF=AF−AD，
∴(AF−AD)⋅DF=AF⋅CF，
∴AF⋅DF−AD⋅DF=AF⋅CF，
∴AF⋅DF−AF⋅CF=AD⋅DF，
∴AF⋅(DF−CF)=AD⋅DF，
∵DF−CF=CD，AD=AE，
∴AF⋅CD=AE⋅DF.
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练进行相似三角形的证明是解题的关键．
(1)利用两边成比例且夹角相等证明△ABE∽△CBD，得∠BDC=∠AEB，从而证明∠ADE=∠E，则AD=AE；
(2)利用三角形外角的性质证明∠BAF=∠FBC，证明△BCF∽△ABF，得BFAF=CFBF，则(AF−AD)⋅DF=AF⋅CF，进行化简即可．
24.【答案】解：(1)∵y=ax2+2ax+c(a≠0)，
∴对称轴是直线x=−2a2a=−1，
∴顶点D的坐标为(−1,4)，
设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2+4，
把(0,3)代入得：a+4=3，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为：y=−(x+1)2+4=−x2−2x+3；
(2)如图1，过点A作AM⊥BC交BC于点M，
当y=0时，−x2−2x+3=0，
解得x1=−3，x2=1，
∴A(−3,0)，B(1,0)，
∴AB=3+1=4，BC=32+12=10，AC=32，
∵S△ABC=12AB⋅OC=12BC⋅AM，
∴12×4×3=12×10AM，
∴AM=6105，
由勾股定理得：CM=AC2−AM2=(32)2−(6105)2=3105，
∴tan∠ACB=AMCM=61053105=2；
(3)如图2，过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵tan∠ACB=2，tan∠DAB=DMAM=42=2，
∴∠ACB=∠DAB，
∵∠DAB=∠AFC，
∴∠ACB=∠AFC，
∴AC=AF，
设BC的解析式为：y=kx+bk≠0，
则b=3k+b=0，
解得：k=−3b=3，
∴BC的解析式为：y=−3x+3，
设F(m,−3m+3)，
又AC=32，A(−3,0)，
∴(32)2=(m+3)2+(−3m+3)2，
解得：m1=0(舍)，m2=65，
∴F(65,−35)，
∴CF=(65)2+(−35−3)2=6105.
【解析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的解析式，对称轴公式，顶点式，三角函数的定义，两点的距离，三角形面积等知识，第三问有难度，得出∠AFC=∠ACB是本题的关键．
(1)根据对称轴公式：x=−b2a可得对称轴是x=−1，得D(−1,4)，根据顶点式可设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4，把(0,3)代入可得结论；
(2)如图1，构建直角三角形，计算AM和CM的长，根据正切的定义可得结论；
(3)根据正切相等可得∠ACB=∠DAB，所以得AC=AF，根据两点的距离公式列方程可得结论．
25.【答案】解：(1)∵AB=AC=5，OE=OC=2，
∴∠B=∠C，∠C=∠OEC，
∴∠B=∠OEC=∠AED，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△OEC，
∴OCAC=ECBC，
∴25=EC8，
∴EC=165，
∴AE=AC−EC=95，
∵∠ADE=∠ADE，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ODB，
又BO=BC−OC，
∴S△ADES△ODB=(AEBO)2=(958−2)2=9100；
(2)如图1，当点E在AC上时，
又∠AEO>90∘，△AEO是等腰三角形，
∴AE=EO，
由(1)可知：△ABC∽△OEC，
∴OCAC=ECBC，
∴OC5=EC8，
∴EC=85OC，
∵AC=AE+EC=EO+85OC=OC+85OC=5，
∴OC=2513；
如图2，当点E在线段CA的延长线上时，
∵AE=AO90∘，
又△AEO是以AE为腰的等腰三角形，AE=AO，
∴∠AEO=∠AOE，
∵∠B=∠C=∠OEC，
∴∠B=∠AEO，
∴△ABC∽△AEO，
∴AEAB=OEBC，
∴AE5=OC8，
∴AE=58OC，
由(1)可知△ABC∽△OEC，
∴OCAC=ECBC，
∴OC5=EC8，
∴EC=85OC，
∵AC=EC−AE=5，
∴85OC−58OC=5，
∴OC=20039，
综上，线段OC的长为20039或2513；
(3)如图3，当点E在线段AC上时，
∵∠ABE=∠CDO，∠ABC=∠OCE=∠OEC，
∴∠ABC−∠ABE=∠OEC−∠ODC，
∴∠EBO=∠DCA，
∵∠DAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB，∠BOE=∠ACB+∠OEC=2∠ACB，
∴∠DAC=∠BOE，
∴△CDA∽△BEO，
∴CDBE=ACBO，
由(1)得，△ABC∽△OEC，
即∠BAC=∠EOC，
∵∠ABE=∠ODC，∠BAC=∠DOC，
∴△ABE∽△ODC，
∴CDBE=OCAE，
∴ACBO=ACBC−OC=OCAE=OCAC−CE，
由(2)得，EC=85OC，
∴58−OC=OC5−85OC，
∴OC=8−39或OC=8+39(不合题意舍去)，
∴OC=8−39.
【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．
(1)通过证明△ABC∽△OEC，可求EC的长、AE的长，通过证明△ADE∽△ODB，可求解；
(2)分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解；
(3)通过证明△CDA∽△BEO，可得CDBE=ACBO，通过证明△ABE∽△ODC，可得CDBE=OCAE，列出等式可求解．