2018年上海市长宁区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2018年上海市长宁区中考一模数学试卷（期末），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠A=α，AC=3，则 AB 的长可以表示为
A. 3csαB. 3sinαC. 3sinαD. 3csα

2. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在边 BA，CA 的延长线上，ABAD=2，那么下列条件中能判断 DE∥BC 的是
A. AEEC=12B. ECAC=2C. DEBC=12D. ACAE=2

3. 将抛物线 y=−x+12+3 向右平移 2 个单位后得到的新抛物线的表达式为
A. y=−x+12+1B. y=−x−12+3
C. y=−x+12+5D. y=−x+32+3

4. 已知在直角坐标平面内，以点 P−2,3 为圆心，2 为半径的圆 P 与 x 轴的位置关系是
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 相离、相切、相交都有可能

5. 已知 e 是单位向量，且 a=−2e，b=4e，那么下列说法错误的是
A. a∥bB. a=2
C. b=−2aD. a=−12b

6. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC 平分 ∠DAB，且 ∠DAC=∠DBC，那么下列结论不一定正确的是
A. △AOD∽△BOCB. △AOB∽△DOC
C. CD=BCD. BC⋅CD=AC⋅OA

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 若线段 a，b 满足 ab=12，则 a+bb 的值为 ．

8. 正六边形的中心角等于 度．

9. 若抛物线 y=a−2x2 的开口向上，则 a 的取值范围是 ．

10. 抛物线 y=x2−4x+3 的顶点坐标为 ．

11. 已知 △ABC 与 △DEF 相似，且 △ABC 与 △DEF 的相似比为 2:3，若 △DEF 的面积为 36，则 △ABC 的面积等于 ．

12. 已知线段 AB=4，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP
13. 若某斜面的坡度为 1:3，则该坡面的坡角为 度．

14. 已知点 A−2,m，B2,n 都在抛物线 y=x2+2x−t 上，则 m 与 n 的大小关系是 m n．（填“>”，“<”或“=”）

15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，点 G 是重心，连接 AG，过点 G 作 DG∥BC，DG 交 AB 于点 D，若 AB=6，BC=9，则 △ADG 的周长等于 ．

16. 已知 ⊙O1 的半径为 4，⊙O2 的半径为 R，若 ⊙O1 与 ⊙O2 相切，且 O1O2=10，则 R 的值为 ．

17. 如果一个四边形的某个顶点到其他三个顶点的距离相等，我们把这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．如图，已知梯形 ABCD 是等距四边形，AB∥CD，点 B 是等距点．若 BC=10，csA=1010，则 CD 的长等于 ．

18. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠D=60∘，点 E，F 分别在边 AB，BC 上．将 △BEF 沿着直线 EF 翻折，点 B 恰好与边 AD 的中点 G 重合，则 BE 的长等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 计算：ct45∘4sin245∘−tan60∘−cs30∘．

20. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AB 上，DE∥BC，DF∥AC，DE，DF 分别交边 AC，BC 于点 E，F，且 AEEC=32．
（1）求 BFBC 的值；
（2）连接 EF，设 BC=a，AC=b，用含 a，b 的式子表示 EF．

21. 如图，点 C 在 ⊙O 上，连接 CO 并延长交弦 AB 于点 D，AC=BC，连接 AC，OB，若 CD=40，AC=205．
（1）求弦 AB 的长；
（2）求 sin∠ABO 的值．

22. 如图，一栋居民楼 AB 的高为 16 米，远处有一栋商务楼 CD，小明在居民楼的楼底 A 处测得商务楼的楼顶 D 处的仰角为 60∘，又在商务楼的楼顶 D 处测得居民楼的楼顶 B 处的俯角为 45∘．其中 A，C 两点分别位于 B，D 两点的正下方，且 A，C 两点在同一水平线上，求商务楼 CD 的高度．
（参考数据：2≈1.414，3≈1.732．结果精确到 0.1 米）

23. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 BC 上，连接 AD，∠ADB=∠CDE，DE 交边 AC 于点 E，DE 交 BA 的延长线于点 F，且 AD2=DE⋅DF．
（1）求证：△BFD∽△CAD；
（2）求证：BF⋅DE=AB⋅AD．

24. 在直角坐标平面内，直线 y=12x+2 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A，C．抛物线 y=−12x2+bx+c 经过点 A 与点 C，且与 x 轴的另一个交点为点 B．点 D 在该抛物线上，且位于直线 AC 的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）连接 BC，BD，且 BD 交 AC 于点 E，如果 △ABE 的面积与 △ABC 的面积之比为 4:5，求 ∠DBA 的余切值；
（3）过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F，联结 CD．若 △CFD 与 △AOC 相似，求点 D 的坐标．

25. 已知在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4．P 是对角线 BD 上的一个动点（点 P 不与点 B，D 重合），过点 P 作 PF⊥BD，交射线 BC 于点 F．连接 AP，画 ∠FPE=∠BAP，PE 交 BF 于点 E．设 PD=x，EF=y．
（1）当点 A，P，F 在一条直线上时，求 △ABF 的面积；
（2）如图 1，当点 F 在边 BC 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）连接 PC，若 ∠FPC=∠BPE，请直接写出 PD 的长．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. B
4. A
5. C
【解析】∵a=−2e，b=4e，e 为单位向量；
∴a∥b，a=2，b=4；
∴b=2a；
故（A）（B）不符合题意，（C）符合题意；
∵−12b=−12×4e=−2e，
∴a=−12b
故（D）不符合题意．
6. D【解析】因为 AC 平分 ∠DAB，
所以 ∠DAC=∠BAC，
又因为 ∠DAC=∠DBC，
所以 ∠DAC=∠BAC=∠DBC，
因为 ∠AOD=∠BOC，
所以 △AOD∽△BOC，
故（A）不符合题意；
所以 AOOD=BOOC，
又因为 ∠AOB=∠DOC，
所以 △AOB∽△DOC，
故（B）不合题意；
所以 ∠OAB=∠ODC，
所以 ∠BDC=∠DBC，
所以 CD=CB，
故（C）不合题意；
由题中条件无法推出 BC⋅CD=AC⋅OA；
故（D）符合题意．
第二部分
7. 32
8. 60
9. a>2
10. 2,−1
11. 16
12. 6−25
13. 30
14. <
15. 10
16. 6 或 14
17. 16
【解析】如图，连接 BD，过 B 作 BE⊥CD 于点 E，过 D 作 DF⊥AB 于点 F，过点 B 作 BG⊥AD 于 G，
因为 AB∥CD，
所以 ∠DFB=∠FBE=∠BED=90∘．
所以四边形 BEDF 为矩形，
由题可得：AB=BD=BC=10，
所以 AG=DG，DE=CE．
所以 AG=AB⋅csA=10，
所以 AD=2AG=210，
所以 AF=AD⋅csA=2，
所以 BF=AB−AF=8，
因为四边形 BEDF 为矩形，
所以 DE=CE=BF．
所以 CD=2BF=16．
18. 75
【解析】如图，依题意作出 △EFG，延长 GA，过 E 作 HM⊥BF，HM 交直线 DA，BC 于 H，M 点；
设 BE=2x；
∵ 四边形 ABCD 为菱形，AB=2；
∴AD∥BC，AD=BC=AB=2；
∴AE=2−2x，
∵∠BAH=∠B=60∘，∠EHA=∠BME=90∘，
∴EH=3×1−x，AH=1−x；
∵G 为 AD 的中点，
∴AG=1；
∴GH=2−x；
根据翻折的性质可得：EG=BE；
∵HE2+HG2=EG2，
∴31−x2+2−x2=2x2；
解得：x=710；
∴BE=75．
第三部分
19. 原式=14×222−3−32=12−3−32=2+3−32=2+32.
20. （1） ∵AEEC=32，
∴ECAC=25，
∵DE∥BC，
∴BDAB=ECAC=25，
又 ∵DF∥AC，
∴BFBC=BDAB=25．
（2） 如图，
∵BFBC=25，
∴FCBC=35，
∵BC=a，CF 与 BC 方向相反，
∴CF=−35a，
同理：EC=25b，
又 ∵EF=EC+CF，
∴EF=25b−35a．
21. （1） ∵CD 过圆心 O，AC=BC，
∴CD⊥AB，AB=2AD=2BD，
∵CD=40，AC=205，∠ADC=90∘，
∴AD=AC2−CD2=20，
∴AB=2AD=40．
（2） 设圆 O 的半径为 r，则 OD=40−r，
∵BD=AD=20，∠ODB=90∘，
∴BD2+OD2=OB2，即 202+40−r2=r2，解得，r=25，OD=15，
∴sin∠ABO=ODOB=35．
22. 过点 B 作 BE⊥CD 于点 E，
由题意可知 ∠DBE=45∘，∠DAC=60∘，CE=AB=16，
设 AC=x 米，则 CD=3x，BE=AC=x，
∵DE=CD−CE=3x−16，
∵∠BED=90∘，∠DBE=45∘，
∴BE=DE，
∴x=3x−16，
∴x=163−1，
∴x=83+8，
∴CD=3x=24+83≈37.9（米）．
答：商务楼 CD 的高度为 37.9 米．
23. （1） ∵AD2=DE⋅DF，
∴ADDE=DFAD，
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA，
∴∠F=∠DAE，
又 ∵∠ADB=∠CDE，
∴∠ADB+∠ADF=∠CDE+∠ADF，即 ∠BDF=∠CDA，
∴△BFD∽△CAD；
（2） ∵△BFD∽△CAD，
∴BFAC=DFAD，
∵ADDE=DFAD，
∴BFAC=ADDE，
∵△BFD∽△CAD，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴BFAB=ADDE，
∴BF⋅DE=AB⋅AD．
24. （1） 当 y=0 时，12x+2=0，解得 x=−4，则 A−4,0；
当 x=0 时，y=12x+2=2，则 C0,2，
把 A−4,0，C0,2 代入 y=−12x2+bx+c 得 −8−4b+c=0,c=2, 解得 b=−32,c=2,
∴ 抛物线的解析式为 y=−12x2−32x+2．
（2） 过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，如图 1，
当 y=0 时，−12x2−32x+2=0，解得 x1=−4，x2=1，则 B1,0，
设 Ex,12x+2，
∵S△ABC=121+4×2=5，
而 △ABE 的面积与 △ABC 的面积之比为 4:5，
∴S△AEB=4，
∴12×1+4×12x+2=4，解得 x=−45，
∴E−45,85，
∴BH=1+45=95，
在 Rt△BHE 中，ct∠EBH=BHEH=9585=98，
即 ∠DBA 的余切值为 98．
（3） ∠AOC=∠DFC=90∘，
若 ∠DCF=∠ACO 时，△DCF∽△ACO，
如图 2，过点 D 作 DG⊥y 轴于点 G，过点 C 作 CQ⊥DC 交 x 轴于点 Q，
∵∠DCQ=∠AOC，
∴∠DCF+∠ACQ=90∘，即 ∠ACO+∠ACQ=90∘，
而 ∠ACO+∠CAO=90∘，
∴∠ACQ=∠CAO，
∴QA=QC，
设 Qm,0，则 m+4=m2+22，解得 m=−32，
∴Q−32,0，
∵∠QCO+∠DCG=90∘，∠QCO+∠CQO=90∘，
∴∠DCG=∠CQO，
∴Rt△DCG∽Rt△CQO，
∴DGOC=GCOQ，即 DGCG=COOQ=232=43，
设 DG=4t，CG=3t，则 D−4t,3t+2，
把 D−4t,3t+2 代入 y=−12x2−32x+2 得 −8t2+6t+2=3t+2，
整理得 8t2−3t=0，解得 t1=0（舍去），t2=38，
∴D−32,258；
如图 3，
当 ∠DCF=∠CAO 时，△DCF∽△CAO，则 CD∥AO，
∴ 点 D 的纵坐标为 2，
把 y=2 代入 y=−12x2−32x+2 得 −12x2−32x+2=2，解得 x1=−3，x2=0（舍去），
∴D−3,2，
综上所述，点 D 的坐标为 −32,258 或 −3,2．
25. （1） 如图 2，
∵ 矩形 ABCD，
∴∠BAD=∠ABF=90∘，
∴∠ABD+∠ADB=90∘，
∵A，P，F 在一条直线上，且 PF⊥BD，
∴∠BPA=90∘，
∴∠ABD+∠BAF=90∘，
∴∠ADB=∠BAF，
∵tan∠ADB=ABAD=24=12，
∴tan∠BAF=BFAB=12，
∴BF=1，
∴S△ABF=12⋅AB⋅BF=12×2×1=1．
（2） 如图 3 中，
∵PF⊥BP，
∴∠BPF=90∘，
∴∠PFB+∠PBF=90∘，
∵∠ABF=90∘，
∴∠PBF+∠ABP=90∘，
∴∠ABP=∠PFB，
又 ∵∠BAP=∠FPE，
∴△BAP∽△FPE，
∴ABPF=BPEF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠PBF，
∴tan∠PBF=tan∠ADB=12，即 PFBP=12，
∵BP=25−x，
∴PF=1225−x，
∴225−x2=25−xy，
∴y=25−x24255≤x<25．
（3） PD 的长为 5±1 或 75−1455．
【解析】①当点 F 在线段 BC 上时，如图 4 中，
∵∠FPB=∠BCD=90∘，
∴∠1+∠2=90∘，∠1+∠3=90∘，
∴∠2=∠3，
∵∠4=∠5，∠4+∠7=90∘，∠5+∠6=90∘，
∴∠6=∠7，
∴△PEF∽△PCD，
∴PFPD=EFCD，
∴1225−xx=25−x242，
整理得：x2−25x+4=0，解得 x=5±1．
②如图 5 中，当点 F 在线段 BC 的延长线上时，作 PH⊥AD 于 H，连接 DF．
由 △APH∽△DFC 可得 AHDC=PHCF，
∴4−255x2=55x5225−x−4，
解得 x=75−1455或75+1455（舍弃）．
综上所述，PD 的长为 5±1 或 75−1455．