2021年上海市长宁区中考一模数学试卷（期末）

这是一份2021年上海市长宁区中考一模数学试卷（期末），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 已知在 △ABC 中，∠C=90∘，∠B=50∘，AB=10，那么 BC 的长为
A. 10cs50∘B. 10sin50∘C. 10tan50∘D. 10ct50∘

2. 下列命题中，说法正确的是
A. 四条边对应成比例的两个四边形相似；
B. 四个内角对应相等的两个四边形相似；
C. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似；
D. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．

3. 已知 e1，e2 是两个单位向量，向量 a=3e1，b=−3e2，那么下列结论正确的是
A. e1=e2B. a=b
C. a=bD. a=−b

4. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，那么 a，c 满足
A. a>0，c>0；B. a>0，c<0；C. a<0，c>0；D. a<0，c<0．

5. 已知点 P，点 Q 是线段 AB 的两个黄金分割点，且 AB=10，那么 PQ 的长为
A. 53−5B. 105−2C. 55−1D. 55+1

6. 如图，已知在 △ABC 中，点 D 、点 E 是边 BC 上的两点，连接 AD，AE，且 AD=AE，如果 △ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是
A. AB2=BE⋅BCB. CD⋅AB=AD⋅AC
C. AE2=CD⋅BED. AB⋅AC=BE⋅CD

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 已知 xy=12，那么 x+yx−y 的值为 ．

8. 计算：122a−b+b= ．

9. 计算：2cs45∘+sin260∘= ．

10. 如果两个相似三角形对应边上的中线之比为 5:4，那么这两个三角形的周长之比为 ．

11. 将抛物线 y=2x2−1 向下平移 3 个单位后，得到新抛物线的表达式为 ．

12. 一辆汽车沿着坡度 i=1:3 的斜坡向下行驶 50 米，那么它距离地面的垂直高度下降了 米．

13. 已知抛物线 y=x2−2x+c 经过点 −1,y1，2,y2，试比较 y1 和 y2 的大小：y1 y2（填“>”，“<”或“=”）．

14. 如图，已知 AC∥EF∥BD，如果 AE:EB=2:3，CF=6，那么 CD 的长等于 ．

15. 已知二次函数 fx=ax2+bx+c 的部分对应值如表，那么 f−3 的值为 ．
x⋯−2−1012345⋯fx⋯50−3−4−30512⋯

16. 如图，点 G 为 △ABC 的重心，如果 AG=CG，BG=2，AC=4，那么 AB 的长等于 ．

17. 如图，矩形 ABCD 沿对角线 BD 翻折后，点 C 落在点 E 处，连接 CE 交边 AD 于点 F．如果 DF=1，BC=4，那么 AE 的长等于 ．

18. 如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线．在凸四边形 ABCD 中，AB=AC=3，AD=CD=32．点 E 、点 F 分别是边 AD 、边 BC 上的中点．如果 AC 是凸四边形 ABCD 的相似对角线，那么 EF 的长等于 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 已知二次函数 y=−12x2−x+72 .
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为 y=ax+m2+k 的形式；
（2）写出该二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴，并说明函数值 y 随自变量 x 的变化而变化的情况．

20. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 是边 AD 的中点．AC，BE 相交于点 O，设 BA=a，CB=b．
（1）试用 a，b 表示 BO；
（2）在图中作出 CO 在 CB，CD 上的分向量，并直接用 a，b 表示 CO．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）

21. 如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 E，点 F 在边 AC 上，且 DE∥BC，AFFE=AEEC．
（1）求证：DF∥BE；
（2）如果 AF=2，EF=4，AB=63，求 DEBE 的值．

22. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门．如图为该“测温门”截面示意图．身髙 1.6 米的小聪做了如下实验：当他在地面 M 处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头 B 处测得 A 的仰角为 30∘；当他在地面 N 处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 53∘．如果测得小聪的有效测温区间 MN 的长度是 0.98 米，求测温门顶部 A 处距地面的高度约为多少米?（注：额头到地面的距离以身高计，sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，ct53∘≈0.75，3≈1.73．）

23. 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CH⊥AB，垂足为点 H．点 D 在边 BC 上，联结 AD，交 CH 于点 E，且 CE=CD．
（1）求证：△ACE∽△ABD；
（2）求证：△ACD 的面积是 △ACE 的面积与 △ABD 的面积的比例中项．

24. 已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A−3,−6，B6,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点 D 是抛物线上的点，且位于线段 BC 上方，联结 CD．
①如果点 D 的横坐标为 2，求 ct∠DCB 的值；
②如果 ∠DCB=2∠CBO，求点 D 的坐标．

25. 已知，在矩形 ABCD 中，点 M 是边 AB 上的一个点（与点 A 、 B 不重合），连接 CM，作 ∠CMF=90∘，且 MF 分别交边 AD 于点 E 、交边 CD 的延长线于点 F，点 G 为线段 MF 的中点，连接 DG．
（1）如图 1，如果 AD=AM=4，当点 E 与点 G 重合时，求 △MFC 的面积．
（2）如图 2，如果 AM=2，BM=4，当点 G 在矩形 ABCD 内部时，设 AD=x，DG2=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域．
（3）如果 AM=6，CD=8，∠F=∠EDG，求线段 AD 的长．（直接写出计算结果）
答案
第一部分
1. A
2. D
3. C
4. C
5. B
6. D
第二部分
7. −3
8. a+12b
9. 74
10. 5:4
11. y=2x2−4
12. 25
13. >
14. 15
15. 12
16. 13
17. 655
18. 414
第三部分
19. （1） y=−12x2+2x−7=−12x+12−8=−12x+12+4.
（2） 该二次函数图象的开口向下，顶点坐标 −1,4，对称轴为线 x=−1；
在对称轴（即直线 x=−1）左侧的部分是函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；
在对称轴（即直线 x=−1）右侧的部分是函数值 y 随自变量 x 的增大而减小．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵ 点 E 是边 AD 的中点，
∴BCAE=ADAE=2，
∴AE=−12CB=−12b．
∴BE=BA+AE=a−12b．
∵AD∥BC，
∴EOOB=AEBC=12，
∴BEOB=EO+OBOB=32．
∴BO=23BE=23a−13b．
（2） 图略；
CO=23a+23b
21. （1） 因为 DE∥BC，
所以 ADDB=AEEC．
因为 AFFE=AEEC，
所以 ADDB=AFFE．
所以 DF∥BE．
（2） 因为 AF=2，EF=4，
所以 AE=AF+EF=6．
因为 DF∥BE，
所以 ADAB=AFAE．
因为 AB=63，
所以 AD63=26，
所以 AD=23．
因为 AEAB=663=33，ADAE=236=33，
所以 AEAB=ADAE，
因为 ∠DAE=∠EAB，
所以 △ADE∽△AEB，
所以 DEBE=AEAB=33．
22. 设直线 BC 交 AD 于点 E，AE=x 米，
∠ABE=30∘，∠ACE=53∘，∠AEC=90∘，
ED=CN=BM=1.6 米，BC=MN=0.98 米．
由题意得：在 Rt△AEC 中，∠AEC=90∘，
∵ct∠ACE=CEAE，
∴CE=AE⋅ct∠ACE=xct53∘．
在 Rt△ABE 中，∠AEB=90∘，
∵ct∠ABE=BEAE，
∴BE=AE⋅ct∠ABE=xct30∘．
∵BE=BC+CE，
∴xct30∘=xct53∘+0.98．
∴x=0.98ct30∘−ct53∘≈−0.75=1．
∴AD≈1+1.6=2.6 米．
答：测温门 AD 的顶部 A 处距地面的高度约为 2.6 米．
23. （1） 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，
∴ ∠CAB+∠B=90∘．
∵ CH⊥AB，
∴ ∠CHA=90∘，
∴ ∠CAB+∠ACE=90∘．
∴ ∠B=∠ACE．
∵ CE=CD，
∴ ∠CED=∠CDE．
∵ ∠CED+∠AEC=180∘，∠CDE+∠ADB=180∘，
∴ ∠AEC=∠ADB．
∴ △ACE∽△ABD．
（2） ∵ △ACE 与 △ACD 同高，
∴ S△ACES△ACD=AEAD．
同理：S△ACDS△ABD=CDBD．
∵ CD=CE，
∴ S△ACDS△ABD=CEBD．
∵ △ACE∽△ABD ，
∴ AEAD=CEBD．
∴ S△ACES△ACD=S△ACDS△ABD．
∴ △ACD 的面积是 △ACE 的面积与 △ABD 面积的比例中项．
24. （1） ∵ 抛物线 y=ax2+bx+2 经过点 A−3,−6，B6,0
∴9a−3b+2=−6,36a+6b+2=0.
解得：a=−13,b=53.
∴y=−13x2+53x+2．
（2） ①把 x=2 代发 y=−13x2+53x+2，得 y=4．
∴ 点 D 的坐标为 D2,4．
联结 BD，
∵B6,0,C0,2，
∴BD2=6−22+0−42=32．
CD2=0−22+2−42=8，BC2=6−02+0−22=40．
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90∘．
∴ 在 Rt△BDC 中，ct∠DCB=CDBD=12．
②过点 C 作直线 l∥x 轴，过点 D 作 DH⊥l，垂足为点 H，
∵CH∥x 轴，
∴∠HCB=∠CBO．
∵∠DCB=∠DCH+∠HCB=2∠CBO，
∴∠DCH=∠CBO，
∵∠DHC=∠COB=90∘，
∴△DCH∽△CBO，
∴DHCO=CHBO，
设 Dt,−13t2+53t+2，
∴−13t2+53t2=t6，
t=4，t=0（舍去）
∴D4,103．
25. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠A=90∘，AB∥CD．
∵AB∥CD，
∴AGGD=MGGF．
∵MG=FG，AD=4，
∴AG=2．
在 Rt△AMG 中，∠A=90∘，AG=2，AM=4，
∴tan∠AMG=AGAM=12．
MG=AG2+AM2=25，
∵MG=FG ，
∴MF=2MG=45．
∵AB∥CD，
∴∠F=∠AMG，
∴tan∠F=tan∠AMG=12．
在 Rt△CMF 中，∠CMF=90∘，
∴MC=MFtanF=25．
∴S△MFC=12⋅MC⋅MF=20．
（2） 分别过点 G 、点 M 作 GK⊥CF，MH⊥CF，垂足分别为点 K 、点 H．
∴∠GKF=90∘，∠MHF=∠MHC=90∘，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ADC=∠A=∠MHF=90∘，
∴ 四边形 ADHM 是矩形，
∴DH=AM=2，MH=AD=x，同理可得 CH=BM=4．
∵∠CMF=90∘
∴∠F+∠MCF=90∘
∵∠MHC=90∘
∴∠MCF+∠CMH=90∘
∴∠F=∠CMH，
∴△FMH∽△CMH，
∴MHFH=CHMH．
∴FH=x24．
∵GK⊥CF，MH⊥CF，
∴GK∥MH，
∴FGFM=GKMH=FKFH．
∵FM=2FG，
∴GK=x2，KH=FK=x28．
∴DK=DH−KH=2−x28．
在 Rt△GKD 中，∠GKD=90∘，
∴GK2=DK2+GK2，
∵GK2=y，
∴y=x464−x24+422 （3） 27 或 25．