高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词复习练习题

新20版练B1数学人教A版1.5全称量词与存在量词

第一章 集合与常用逻辑用语

1.5  全称量词与存在量词

考点1　全称量词和全称量词命题的理解与简单应用

1.(2019·湖北公安一中周练)下列不是全称量词的是(　　)。

A.任意一个　　　　　　　　B.所有的

C.每一个 D.很多

答案:D

解析：很明显A,B,C中的量词均是全称量词,D中的量词不是全称量词。

2.(2019·江西临川一中月考)下列命题中全称量词命题的个数为(　　)。

①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两条边的长度不相等;③存在一个菱形,它的四条边不相等;④高二(1)班绝大多数同学是团员。

A.0　　 　　B.1　　 　　C.2　　 　　D.3

答案:C

解析：①②是全称量词命题。

3.(2019·深圳大学附中单元检测)将“(x-y)2≥0”改写成全称量词命题,下列说法正确的是(　　)。

A.对任意x,y∈R都有(x-y)2≥0

B.存在x,y∈R使(x-y)2≥0

C.对任意x>0,y>0都有(x-y)2≥0

D.存在x<0,y<0使(x-y)2≥0

答案:A

解析：“任意”为全称量词,显然选项A正确。

4.(2018·厦门调考)下列命题中全称量词命题的个数是(　　)。

(1)所有的一元二次方程都有实根;

(2)∀x∈R,∈R;

(3)负数的平方都是正数。

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:D

解析：(1)中含有全称量词“所有的”,所以是全称量词命题;(2)中含有全称量词符号“∀”,所以是全称量词命题;(3)中省略了全称量词“任意一个”,所以是全称量词命题。

5.(2019·江西师大附中单元检测)下列命题中,不是全称量词命题的是(　　)。

A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2≥0

B.菱形的两条对角线相等

C.∀x∈R, =x

D.有许多实数x,x2>0

答案:D

解析：A中含有全称量词“任意”,B中隐含“所有的”,C中含有“∀”,故A,B,C是全称量词命题。

6.(2019·吉林四平一中单元测评)下列全称量词命题中真命题的个数为(　　)。

①末位是0的整数可以被2整除;

②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等;

③正方形中任意两条边都相等。

A.1 B.2 C.3 D.0

答案:C

解析：要判断全称量词命题“∀x∈M,P(x)”为真命题,要对集合M中的每一个元素x,证明P(x)成立,如果在M中找到一个元素x,使P(x)不成立,那么这个全称量词命题为假命题,故①正确,②正确,③正确。

7.(2019·南昌一中单元测评)下列全称量词命题中,是假命题的有(　　)。

①2x+1(x∈R)是整数;②对所有的x∈R,x>-1;③对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数。

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

答案:C

解析：①中的x=,则2x+1=∉Z,假命题;

②取x=-2,-2<-1,假命题;

③∀x∈Z,2x2+1均为奇数,正确。

8.(2019·江苏启东中学单元测评)将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是　　　　　　　。 

答案: ∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2

解析：这是一个全称量词命题,故补全等式成立的前提条件即可。

考点2　存在量词和存在量词命题的理解与简单应用

9.(2019·广东阳江一中周练)下列命题是存在量词命题的是(　　)。

A.函数y=x2的图像的顶点为(0,0)

B.正方形都是平行四边形

C.不相交的两条直线是平行直线

D.存在实数大于或等于3

答案:D

解析：含有存在量词的命题叫作存在量词命题,故D“存在实数大于或等于3”是存在量词命题。

10.(2019·湖南浏阳一中月考)存在实数x,使x2=1可以表示为(　　)。

A.∃x∈R,x2≠1 B.∃x∈R,x2>1

C.∃x∈R,x2=1 D.∃x∈R,x2<1

答案:C

解析：这是一个存在量词命题,一般结构:∃x∈M,P(x),故C正确。

11.(2019·西北工大附中单元检测)下列命题是存在量词命题的是(　　)。

A.x∈R,x2≥0

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.存在一条直线与两条平行直线都垂直

D.面积相等的三角形是全等三角形

答案:C

解析：C中含有“存在”,而A,B,D均为全称量词命题。

12.(2019·武汉二中周练)下列存在量词命题是假命题的是(　　)。

A.存在两两相交的三条直线,有4个交点

B.有些三角形不是等腰三角形

C.至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数

D.∃x∈R,x≤0

答案:A

解析：三条直线两两相交,交点个数可能为1,3,不可能为4,故A为假命题,其余皆为真命题。

13.下列命题不是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的是(　　)。

A.有一个x∈R,使得x2>3成立

B.对有些x∈R,使得x2>3成立

C.任选一个x∈R,都有x2>3成立

D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立

答案:C

解析：C选项是全称量词命题,故错误。

14.(2018·云南大理一中检测)下列命题中是存在量词命题的是　　　。 

①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形;③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数;⑤所有正数都是实数吗?

答案: ④

解析：①②③都是全称量词命题,④是存在量词命题,而⑤不是命题。

考点3　全称量词命题和存在量词命题的否定问题

15.(2019·石家庄二中月考)p:x∈R,x2>0恒成立,则p的否定为　　　。 

答案: ∃x∈R,x2≤0 

解析：p为全称量词命题,故∀x∈R改为∃x∈R,“>”改为“≤”即可。

16.(2019·上海建平中学周练)命题:∀x∈R,x2≠x的否定为　　　。 

答案: ∃x∈R,x2=x

17.(2019·杭州二中单元检测)已知命题p:∀x>0,有意义,则p的否定是(　　)。

A.∃x≤0,没有意义 B.∃x>0,没有意义

C.∀x>0,没有意义 D.∀x≤0,没有意义

答案:B

解析：范围不变,将“∀”改为“∃”,将“有”变为“没有”。

18.(2019·东北师大附中单元测评)已知命题p:∃x>0,使x2+2x+1=0成立,则p的否定是(　　)。

A.∃x≤0,使x2+2x+1=0不成立

B.∀x≤0,使x2+2x+1=0不成立

C.∀x>0,使x2+2x+1=0不成立

D.∃x>0,使x2+2x+1=0不成立

答案:C

解析：“∃”改“∀”,“成立”改“不成立”。

19.(2019·宁波调考)命题∃x∈R,x2+1≥0的否定是　　　。 

答案: ∀x∈R,x2+1<0

20.(2019·河北邯郸一中月考)若p的否定为:对所有的正数x,有意义,则p是　　　。 

答案: ∃x>0,没有意义 

解析：本题实质上是求否定的否定。

21.(2019·北京东城区一模)给出下列四个命题:

p1:∃x>0,x2+1=0;

p2:∃x∈R,x2-x+1=0;

p3:∀x>0,>0;

p4:∀x<0,x+|x|≠0。

则真命题的个数是　　　。 

答案:1

解析：p1:x2+1≥1,故不存在x使x2+1=0,∴p1为假命题;

p2:Δ=1-4=-3<0,x2-x+1=0无解,假命题;

p3:x为正数,其倒数也是正数,真命题;

p4:x<0,则x+|x|=x+(-x)=0,p4为假命题,故真命题的个数为1。

22.(2019·济南调考)已知下列命题:

①∃x∈Z,x2=3;

②∃x∈R,x2=3;

③∀x∈R,x2+x+1>0;

④∀x∈R,x2+x+1<0。

其中真命题是　　　。(只填序号)

答案: ②③

解析：①中,x2=3,x=±,①为假命题;②为真命题;③x2+x+1=x2+x++=+≥>0,∴③为真命题;④为假命题。

23.(2019·河池中学周练)判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,若是,用符号表示,并判断其真假。

(1)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解;

答案: 是全称量词命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程ax+b=0都有唯一解”,是假命题。

(2)存在实数x,使得 =2。

答案: 是存在量词命题,用符号表示为“∃x∈R,=2”,是假命题。

24.(2019·北京通州区一中训练)判断下列命题的真假,并写出它们的否定:

(1)∃x,y∈Z,3x-4y=20;

答案: 真命题。命题的否定为:∀x,y∈Z,3x-4y≠20。

(2)在实数范围内,有些一元二次方程无解;

答案: 真命题。命题的否定为:在实数范围内,所有的一元二次方程都有解。

(3)正数的绝对值是它本身。

答案: 省略了量词“所有的”,该命题是全称量词命题,且为真命题。命题的否定为:有的正数的绝对值不是它本身。