高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件复习练习题

课时素养评价 六

充分条件与必要条件

　　　　　　　　　　　　　 (15分钟　30分)

1.“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的 (　　)

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件也是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

【解析】选B.因为当a+b为偶数时，a，b都可以为奇数.

所以“a+b是偶数”“a和b都是偶数”，

显然“a和b都是偶数”⇒“a+b是偶数”.

所以“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件.

2.有以下说法，其中正确的个数为 (　　)

(1)“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.

(2)“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.

(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

【解析】选D.(1)由于“m是自然数”⇒“m是整数”，因此“m是自然数”是“m是整数”的充分条件.

(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应角相等，所以“两个三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.

(3)由(a+b)·(a-b)=0，得：|a|=|b|，推不出a=b，由a=b，能推出|a|=|b|，故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.

3.已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B”的 (　　)

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件也是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

【解析】选A.当a=3时，A={1，3}，故A⊆B，若A⊆B⇒a=2或a=3，不一定有a=3，故“a=3”是“A⊆B”的充分条件.

4.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：

(1)“ax2+bx+c=0有实根”是“ac<0”的_______. 

(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的_______. 

【解析】(1)因为ax2+bx+c=0有实根，

所以Δ=b2-4ac≥0，ac<0不一定成立；

但ac<0时，Δ=b2-4ac≥0一定成立，

所以“ax2+bx+c=0有实根”是“ac<0”的必要条件.

(2)△ABC≌△A′B′C′⇒△ABC∽△A′B′C′，

△ABC∽△A′B′C′△ABC≌△A′B′C′，

所以“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分条件.

答案：(1)必要条件　(2)充分条件

【补偿训练】

　　　用“充分”或“必要”填空：

(1)“x≠3”是“|x|≠3”的_____条件. 

(2)“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的_____条件. 

【解析】(1)因为|x|≠3时，x≠±3，

所以“x≠3”“|x|≠3”，“|x|≠3” ⇒ “x≠3”，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要条件.

(2)因为个位数字是5或0的自然数都能被5整除，所以“个位数字是5的自然数”⇒“这个自然数能被5整除”；“这个自然数能被5整除”“个位数字是5的自然数”，所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分条件.

答案：(1)必要　(2)充分

5.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的p是q的必要条件？

(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除.

(2)p：x>1，q：x2>1.

(3)p：b2=ac，q：=.

(4)p：A∩B=A，q：UB⊆UA.

【解析】(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立.即p⇒q，qp，

所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.

(2)因为x2>1⇒x>1或x<-1，

所以p⇒q，且qp.

所以p是q的充分条件，但p不是q的必要条件.

(3)b2=ac=，如b=0，c=0时，b2=ac，而，无意义.但=⇒b2=ac，

所以p是q的必要条件，但p不是q的充分条件.

(4)画出Venn图(如图).

结合图形可知，A∩B=A⇒AB⇒UBUA，

反之也成立，所以p是q的充分条件，且p是q的必要条件.

　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　40分)

一、单选题(每小题5分，共15分)

1.若非空集合A，B，C满足A∪B=C，且B不是A的子集，则 (　　)

A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件

B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件

C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件

D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件

【解析】选B.x∈A必有x∈C，但反之不一定成立，所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.

2.已知P={x|a-4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是              (　　)

A.-1≤a≤5 B.-1<a≤5

C.-2≤a≤3 D.-2≤a<3

【解析】选A.因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，

所以即所以-1≤a≤5.

3.“b=c=0”是“二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点”的 (　　)

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件也是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

【解析】选A.b=c=0⇒y=ax2，二次函数一定经过原点；二次函数y=ax2+bx+c经过原点⇒c=0，b不一定等于0.

【误区警示】解答本题容易忽视对二次函数y=ax2+bx+c经过原点的含义(即c=0)理解错误.

二、多选题(共5分，其中全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

4.下列条件中是“a+b>0”的充分条件的是 (　　)

A.a>0，b>0

B.a<0，b<0

C.a=3，b=-2

D.a>0，b<0且|a|>|b|

【解析】选ACD.问题是“谁”是“a+b>0”的充分条件；因为“a>0，b>0”⇒“a+b>0”，

“a<0，b<0”“a+b>0”，“a=3，b=-2”⇒“a+b>0”.

“a>0，b<0且|a|>|b|”⇒“a+b>0”，所以A，C，D中的条件均是“a+b>0”的充分条件，B中的条件不是“a+b>0”的充分条件.

三、填空题(每小题5分，共10分)

5.下列不等式：①x<1；②0<x<1；③-1<x<0；④-1<x<1.其中，可以是<1的一个充分条件的所有序号为_______，可以是<1的一个必要条件的所有序号为_______. 

【解析】由于<1，即-1<x<1，

①-1<x<1⇒x<1；

②0<x<1⇒-1<x<1；③-1<x<0⇒-1<x<1；

④-1<x<1⇒-1<x<1，

所以②③④是<1的一个充分条件，

①④是<1的一个必要条件.

答案：②③④　①④

6.设p：≤x≤1；q：a≤x≤a+1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是_______. 

【解析】因为q：a≤x≤a+1，p是q的充分条件，

所以解得0≤a≤.

答案：

四、解答题

7.(10分)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：

(1)s是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

【解题指南】可将r，p，q，s的关系用图表示，然后利用关系图解答.

【解析】r，p，q，s的关系如图，

(1)因为q⇒s，s⇒r⇒q，所以s是q的充分条件，同时s是q的必要条件.

(2)因为r⇒q，q⇒s⇒r，所以r是q的充分条件，同时r是q的必要条件.

(3)因为q⇒s⇒r⇒p，pq，所以p是q的必要条件，p不是q的充分条件.

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