高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件课后测评

新20版练B1数学人教A版1. 4充分条件与必要条件

第一章 集合与常用逻辑用语

1.4 充分条件与必要条件

考点1　充分条件的理解与关系的判定问题

1.(2019·兰州二中月考)“1<x<2”是“x<2”成立的(　　)。

A.充分不必要条件　　　　　B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析：1<x<2,则x<2,但当x≤1<2时,不满足1<x<2,故是充分不必要条件。

2.(2019·武汉二中周练)设a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“a<b”的(　　)。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析：(a-b)a2<0,则a2>0,且a-b<0,故a<b;反之,当a<b时,若a=0,则(a-b)a2<0不成立,故是充分不必要条件。

3.(2019·南昌一中月考)设P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在一次函数y=-x+1的图像上”的(　　)。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析：P(2,-1)满足x+y-1=0,故P(2,-1)在一次函数的图像上,但图像上除P点外,还有无穷多个点。

4.(2019·西南大学附中单元检测)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　)。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析：四边形ABCD为菱形,则对角线AC⊥BD。反之,不成立,两个同底的不全等的等腰三角形拼成的四边形满足对角线垂直,但此四边形不是菱形。

5.(2019·东北育才学校单元检测)p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数,则p是q成立的(　　)。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析：a,b都是偶数⇒a+b是偶数,a+b是偶数⇒ a,b都是偶数。

6.(2019·西安铁一中单元测评)设p:x=1,q:x2-4x+3=0,则p是q成立的(　　)条件。

A.充分非必要 B.必要非充分

C.充分必要 D.既非充分又非必要

答案:A

解析：q:x2-4x+3=(x-1)(x-3)=0⇔x=1或x=3。∴p⇒q,但q⇒ p。

考点2　必要条件的理解和关系判定问题

7.(2019·湖南边城一中月考)x=y的一个必要条件是(　　)。

A.x2=y2 B.=1

C.= D.=

答案:A

解析：以“x=y”作为条件可推出x2=y2;当x=y=0时,B不成立;当x=y<2时,C不成立;当x=y=1时,D不成立。

8.(2019·西安铁一中月考)“(2x-1)x=0”是“x=0”的(　　)。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析：(2x-1)x=0,则x=0或x=,故x=0能推出(2x-1)x=0,故为必要不充分条件。

9.(2019·兰州调考)设p:x<3,q:0<x<3,则p是q成立的(　　)。

A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析：∵{x|0<x<3} {x|x<3},∴p是q成立的必要不充分条件。

10.(2019·武汉二月调考)x∈A∪B是x∈A∩B的(　　)。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:B

解析：由集合的基本运算可知A∩B⊆A∪B,故x∈A∪B⇒ x∈A∩B,但x∈A∩B⇒x∈A∪B。

11.(2019·湖北荆州中学周练)∠1=∠2是∠1与∠2是对顶角的　　　条件。 

答案: 必要非充分条件

解析：对顶角相等,但相等的角不一定是对顶角。

12.(2019·江西临川一中周练)从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空:

(1)“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的　　　; 

答案: 必要条件

解析：ax2+bx+c=0(a≠0)有实根⇒b2-4ac≥0⇒b2≥4ac⇒ ac<0,反之,ac<0⇒b2-4ac>0⇒ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,

∴“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”是必要条件。

(2)“△ABC△A'B'C'”是“△ABC△A'B'C'”的　　　。 

答案: 充分条件

解析：

△ABC△A'B'C'⇒△ABC△A'B'C',

但△ABC△A'B'C'⇒ △ABC△A'B'C',

∴“△ABC△A'B'C'”是“△ABC△A'B'C'”的充分条件。

考点3　充要条件的理解和关系判定问题

13.(2019·安徽毛坦厂中学月考)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的(　　)。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析：x3-1=(x-1)(x2+x+1)=(x-1)。

∵x2+x+1>0,故x>1⇔x3≥1。

14.(2019·宁波效实中学单元测评)设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的(　　)。

A.充要条件 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析：3>-4,但3<|-4|,不具备充分性,反之,x>|y|,|y|≥y,故x>y,必要性成立。

15.(2019·广东阳江一中月考)p:x+y=0,q:x与y互为相反数,则p是q成立的(　　)。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析：x+y=0,则x=-y,即x与-y互为相反数,反之,也成立,故为充要条件。

16.(2019·长春调考)给出下列各组条件:

(1)p:ab=0,q:a2+b2=0;

(2)p:xy≥0,q:|xy|=xy;

(3)p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根;

(4)p:x>3或x<-1,q:x<-1。

其中p是q的充要条件的有(　　)。

A.1组　　　B.2组　　　C.3组　　　D.4组

答案:A

解析：(1)ab=0得a=0或b=0,不能得a2+b2=0,

而当a2+b2=0时,a=b=0,故p与q的必要不充分条件。

(2)∵xy≥0,∵|xy|=xy,反之,若|xy|=xy,则xy≥0,故为充要条件。

(3)Δ=1+4m,当m>0,Δ>0,方程有实根,反之,方程有实根,Δ≥0,而m≥-;m>0不一定成立,故p是q的充分不必要条件。

(4)p:x>3或x<-1,故p不能推出q,而q可得p,故p是q的必要不充分条件。故选A。

17.(2019·哈尔滨调考)A:0<a<2,B:关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+a-2=0的一个根大于零,另一个根小于零,则A是B的(　　)。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案:A

解析：关于x的一元二次方程x2+(a+1)x+a-2=0,一根大于零,另一根小于零,则a-2<0,a<2,故0<a<2是结论成立的充分不必要条件。

18.(2019·东北师大附中月考)方程ax2+x+1=0有实根的充要条件是　　　。 

答案:a≤

解析：当a=0时,方程为x+1=0,x=-1有实根,当a≠0时,满足则a≤且a≠0。综上,a≤。

考点4　充分条件与必要条件的综合问题

19.(2019·深圳中学单元检测)设非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},求A⊆(A∩B)的充要条件。

答案: 解:A为非空集合,则2a+1≤3a-5,故a≥6,B={x|3≤x≤22}。

由于A∩B⊆A,又A⊆(A∩B),

则A=A∩B,即A⊆B,

故∴1≤a≤9。

又a≥6,故6≤a≤9。

故A⊆(A∩B)的充要条件是6≤a≤9。

20.(2019·成都诊断)已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件。现有下列命题:

①s是q的充要条件;

②p是q的充分不必要条件;

③r是q的必要不充分条件;

④p是s的必要不充分条件;

⑤r是s的充分不必要条件,则正确命题的序号是(　　)。

A.①④⑤ B.①②④

C.②③⑤ D.②④⑤

答案:B

解析：由已知有p⇒r,r⇒ p,q⇒r,r⇒s,s⇒q,故r⇒q,q⇒s,且q⇒r,①正确,③不正确;p⇒r,r⇒q,则p⇒q,且q⇒ p,②正确;p⇒r,r⇒s,则p⇒s,且s⇒ p,④正确;r⇒s,且s⇒r,⑤不正确。

21.(2019·长沙调考)设甲、乙、丙三个条件,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么(　　)。

A.丙是甲的充分条件但不是甲的必要条件

B.丙是甲的必要条件但不是甲的充分条件

C.丙是甲的充要条件

D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件

答案:A

解析：甲是乙的必要条件,即乙⇒甲,

丙是乙的充分不必要条件,丙⇒乙,乙⇒ 丙,

故丙⇒甲,但甲⇒ 丙,即丙是甲的充分不必要条件。

22.(2019·西北工大附中期中考试)设n∈N*,求证一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=3或4。

答案: 证明:方程x2-4x+n=0的两根为

x1==2+,

x2=2-。

必要性:要使x为整数解,则4-n为完全平方数,

且n∈N*,即4-n=0,或4-n=1,即n=4或n=3。

充分性:当n=3时x1=3,x2=1,满足x为整数解,同理当n=4时也满足。

综上,有整数根的充要条件是n=3或4。