高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数学案及答案

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[重点] 指数函数单调性的应用．
[难点] 求指数型函数的值域．
知识点一 比较幂的大小
[填一填]
比较幂的大小的常用方法：
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
[答一答]
1．af(x)与(eq \f(1,a))g(x)(a>0，且a≠1)如何比较大小？
提示：化为同底的幂值，比如可将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))g(x)化为a－g(x)．
知识点二 指数函数型复合函数
[填一填]
指数函数与其他函数复合后形成复合函数，如y＝af(x)和y＝f(ax)(a>0，且a≠1)．通过对这些复合函数性质的研究，搞清指数函数与其他函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数的性质的区别与联系．
形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调性的判断，常用复合函数法．利用复合函数的单调性：当a>1时，函数y＝af(x)与函数y＝f(x)的单调性相同；当0[答一答]
2．讨论函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－x2＋2x的单调性．
提示：此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此也可根据复合函数的单调性对其进行讨论．
函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－x2＋2x的定义域为R，
令u＝－x2＋2x，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u.列表如下：
由表可知，原函数在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．
类型一 利用指数函数的单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小：
(1)1.9－π与1.9－3；(2)0.72－eq \r(3)与0.70.3；(3)0.7－1与0.6eq \r(2).
[分析] 底数相同的幂依据指数函数的单调性比较；底数不同且指数也不同的，可借助中间值比较．
[解] (1)∵指数函数y＝1.9x在R上是增函数，且－π<－3，∴1.9－π<1.9－3.
(2)∵指数函数y＝0.7x在R上是减函数，且2－eq \r(3)≈0.268<0.3，∴0.72－eq \r(3)>
(3)∵指数函数y＝0.7x在R上单调递减，且－1<0，
∴0.7－1>0.70＝1.
∵指数函数y＝0.6x在R上单调递减，且eq \r(2)>0，
∴0.6eq \r(2)<0.60＝1.∴0.7－1>0.6eq \r(2).
对于幂的大小比较，一般规律为：
1同底数幂的大小比较：构造指数函数，利用单调性比较大小.
2既不同底数，又不同指数的幂的大小比较：利用中间量法，常借助中间量0或1进行比较.
[变式训练1] 比较下列各题中两个值的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,7)))－1.8，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,7)))－2.5；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－0.5，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))－0.5；
(3)0.20.3,
解：(1)因为0所以函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,7)))x在其定义域R上单调递减，又－1.8>－2.5，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,7)))－1.8(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))－0.5>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))－0.5.
(3)因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2<
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<
类型二 解简单的指数不等式
[例2] (1)解不等式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1≤2；
(2)若a－3x>ax＋4(a>0且a≠1)．求x的取值范围．
[解] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1＝(2－1)2x－1＝21－2x.
因此原不等式等价于21－2x≤21，
又y＝2x是R上的增函数，所以1－2x≤1.所以x≥0.
因此原不等式的解集是{x|x≥0}．
(2)①当0由y＝ax在R上单调递减得－3x解得x>－1.
②当a>1时，由y＝ax在R上单调递增得－3x>x＋4，
即－4x>4.解得x<－1.
综上，当0当a>1时，x的取值范围为(－∞，－1)．
解与指数有关的不等式时，需注意的问题：
1形如ax>ay的不等式，借助y＝axa>0，且a≠1的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与02形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝axa>0，且a≠1的单调性求解；
3形如ax>bx的形式，利用图象求解.
[变式训练2] 根据下列条件，确定实数x的取值范围．
(1)0.23x－1>eq \f(1,25)；(2)eq \r(a)0且a≠1)．
解：(1)原不等式可化为51－3x>5－2.
∵函数y＝5x在R上是增函数，
∴1－3x>－2，即x<1.
故满足条件的实数x的取值范围是(－∞，1)．
(2)原不等式可化为a4x－1>a eq \s\up15( eq \f (1,2)) .
∵函数y＝ax(a>0且a≠1)，
当a>1时，y是增函数，当0故当a>1时，由4x－1>eq \f(1,2)知x>eq \f(3,8)；
当0综上可知，当a>1时，x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，＋∞))，当0类型三 指数函数的单调区间
[例3] 判断f(x)＝(eq \f(1,3))x2-2x的单调性，并求其值域．
[分析] 先利用复合函数单调性判断f(x)的单调性，再利用单调性求值域．
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(eq \f(1,3))u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝(eq \f(1,3))u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝(eq \f(1,3))x2-2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝(eq \f(1,3))u，u∈[－1，＋∞)，
∵01.关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是02．求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过计算f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]的单调性．
[变式训练3] 求函数y＝2eq \r(－x2＋2x＋3)的单调区间．
解：∵－x2＋2x＋3≥0，即x2－2x－3≤0，
∴－1≤x≤3.
∴函数的定义域为[－1,3]，函数u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其图象的对称轴为直线x＝1.
∴u＝－x2＋2x＋3在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
∵y＝2u为增函数，
∴函数y＝2eq \r(－x2＋2x＋3)在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
∴函数y＝2eq \r(－x2＋2x＋3)的单调增区间是[－1，1]，减区间是[1,3]．
1．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x的单调递增区间为( A )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：函数定义域为R，设u＝1－x，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u.
∵u＝1－x在R上为减函数，
又∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))u在(－∞，＋∞)为减函数，
∴y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－x在(－∞，＋∞)是增函数，∴选A.
2．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2a＋1A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞))
C．(－∞，1) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
解析：原式等价于2a＋1>3－2a，解得a>eq \f(1,2).
3．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1.5，则( D )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
解析：40.9＝21.8,80.48＝21.44，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1.5＝21.5，
根据y＝2x在R上是增函数，所以21.8>21.5>21.44，
即y1>y3>y2，故选D.
4．某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成512个．
解析：3 h＝9×20 min，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个．
5．已知函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2-6x+17.
(1)求此函数的定义域，值域．
(2)确定函数的单调区间．
解：(1)定义域为R，∵x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，
0∴函数的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,256))).
(2)令t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8，则y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t.
∵0又∵t＝x2－6x＋17在(－∞，3]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．
∴函数的单调递增区间为(－∞，3]，单调递减区间为[3，＋∞)．
——本课须掌握的两大问题
1．比较两个指数式值大小的主要方法
(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数y＝ax的单调性．
(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且c>bn，则am>bn.
2．指数函数单调性的应用
(1)形如y＝af(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(2)形如ax>ay的不等式，当a>1时，ax>ay⇔x>y；当0ay⇔x