高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数学案，共8页。

[重点] 根式与分数指数幂的互化．
[难点] 运用有理数指数幂运算性质进行化简、求值．
知识点一 分数指数幂的意义
[填一填]
[答一答]
1．可不可以理解为eq \f(m,n)个a相乘？它的实质是什么？
2．负数也有分数指数幂吗？
提示：在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如＝eq \r(4,－53)就没有意义．
知识点二 有理数指数幂的运算性质
[填一填]
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
[答一答]
3．在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a>0?
提示：(1)若a＝0，∵0的负数指数幂无意义，
∴(ab)r＝ar·br，当r<0时不成立，∴a≠0.
(2)若a<0，(ar)s＝ars也不一定成立，
∴a<0时不成立．因此规定a>0.
4．若a∈R，α、β∈Q，(aα)β一定等于(aβ)α吗？试举例说明．
提示：不一定相等．是没有意义的．
知识点三 无理数指数幂
[填一填]
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
[答一答]
5．为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？
提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如a＝－1，则(－1)α是1还是－1就无法确定了，规定后就清楚了．
类型一 根式与分数指数幂的互化
[例1] 将下列根式化为分数指数幂的形式：
(1)eq \r(\f(1,a)\r(\f(1,a)))(a>0)；(2)eq \f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))(x≠0)；
[变式训练1] 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：
(1)eq \r(3,a)·eq \r(4,a)；
(2)eq \r(a\r(a\r(a)))；
(3)eq \r(3,a2)·eq \r(a3)；
(4)(eq \r(3,a))2·eq \r(ab3).
类型二 利用有理数指数幂的性质化简与求值
[例2] 计算下列各式：



1进行指数幂运算的一般方法为化负数为正数，化根式为分数指数幂，化小数为分数.
2一般情况下，指数的底数是大于0的，但具体题目要具体对待，一定要注意底数的正负.
[变式训练2] 计算或化简下列各式(其中式子中的字母均为正数)．
(1)(aeq \f(1,2)·eq \r(3,b2))－3÷eq \r(b－4·\r(a－2))；
(2)[(0.027eq \f(2,3))－1.5]eq \f(1,3)＋[810.25－(－32)0.6－0.02×(eq \f(1,10))－2]eq \f(1,2).
类型三 条件因式的化简与求值


条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程．本题若通过＝3解出a的值代入求值，则非常复杂．
[变式训练3] 已知x＋y＝12，xy＝9，且x
1.eq \r(3,a)·eq \r(6,－a)等于( A )
A．－eq \r(－a)B．－eq \r(a)
C.eq \r(－a) D.eq \r(a)
解析：由已知，得a≤0，则eq \r(3,a)·eq \r(6,－a)＝＝－eq \r(－a)，故选A.
2．计算－0.01－0.5＋0.2－2－(2－3)－1＋(10－3)0的结果为( B )
A．15B．17
C．35D．37
解析：原式＝＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))－2－(－1)－1＋1＝－10＋52＋1＋1＝17.
解析：原式＝＋4＝－23.
5．已知＝4，求eq \f(x＋x－1＋4,x2＋x－2－200)的值．
解：∵＝4，∴x＋2＋x－1＝16.
∴x＋x－1＝14，∴x2＋2＋x－2＝196，
∴x2＋x－2＝194，
∴原式＝eq \f(14＋4,194－200)＝－3.
——本课须掌握的问题
根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．