考点06 三角函数-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

考点6三角函数

一、选择题

1．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA=OB=r，长为l（l<r）．为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD，其中，．已知x∈时，，则廊桥CD的长度大约为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由已知，是等腰三角形，所以，

因为，所以，

所以．

故选：B．

2．（2021·全国高三专题练习（文））某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为的线段并作等边三角形第一次画线：以点为圆心､为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；第二次画线：以点为圆心､为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点以此类推，得到的螺线如如图所示，则（ ）

A．第二次画线的圆弧长度为

B．前三次画线的圆弧总长度为

C．在螺线与直线恰有个交点(不含点)时停止画线，此时螺线的总长度为

D．在螺线与直线恰有个交点(不含点)时停止画线，此时螺线的总长度为

【答案】D

【详解】

第次画线：以点为圆心，，旋转，划线圆弧长；

第次划线，以点为圆心，，旋转，划线圆弧长，A选项错误；交累计次.

第次划线，以点为圆心，，旋转，划线圆弧长，B选项错误；交累计次.

第次画线：以点为圆心，，旋转，划线圆弧长；

第次划线，以点为圆心，，旋转，划线圆弧长，交累计次；

前次累计划线.

第次划线，以点为圆心，，旋转，划线圆弧长，交累计次，累计划线，C选项错误.

第次画线：以点为圆心，，旋转，划线圆弧长；

第次划线，以点为圆心，，旋转，划线圆弧长，交累计次；

第次划线，以点为圆心，，旋转，划线圆弧长，交累计次，累计划线，D选项正确.

故选：D

3．（2021·全国高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢）矢，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据：，）

A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米

【答案】C

【详解】

圆心角为，半径等于米的弧田，该弧田的“弦”长为米，

圆心到弦的距离为米，所以，该弧田的“矢”长为米，

因此，该弧田的面积为平方米.

故选：C.

4．（2021·运城市景胜中学高三月考（理））中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁(如图1)，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使扇形的面积与圆面中剩余部分的面积比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.若为一个按上述方法制作的扇面装饰品装裱边框(如图2)，则需要边框的长度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

解：设扇形的圆心角为，的长为，

由题意可知，解得

，解得，

，，

故边框的长度

故选：A

5．（2021·辽宁营口市·高三期末）勒洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是德国机械学家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

根据题意，以正三角形三个顶点为圆心，以边长 为半径形成的三个圆弧的构成了以为半径的半圆，此时勒洛三角形面积为半圆的面积再减去两个正三角形的面积即可.

所以勒洛三角形面积为.

故选：A.

一、选择题

1．（2021·四川高三月考（文））已知角的终边绕原点逆时针旋转后，得到角的终边，角的终边过点，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由，得，化简可得，

解得，，，

所以．

故选：D．

2．（2021·北京高三其他模拟）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点的纵坐标为，所以，所以根据三角函数的定义，得：.

所以.

故选：D

3．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三三模（理））已知，则的终边在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【详解】

，

即，所以与异号，

又，所以，

所以的终边在第四象限.

故选：D

4．（2021·广东汕头市·高三二模）已知函数，的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

取x=0,对于A：；对于B：；对于C：；对于D：，结合图象中f(0)=0,故排除BD.

取x=,对于A：,对于C：,结合图象，可排除C.

故选：A.

5．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：由题意知，，则，所以，

故选:C.

二、解答题

6．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数．

（1）求函数图象的对称轴方程；

（2）若，，且满足．求的值．

【答案】（1），；（2）或．

【详解】

（1）．

令，，解得，，

所以函数图象的对称轴方程为，．

（2）因为，所以，

又，所以．

又，所以．

当时，；

当时，．

综上，的值为或．

7．（2021·全国高三专题练习）已知，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1），，且，，，

因此，；

（2），，，

，则，，所以，，

，因此，.

一、选择题

1．（2021·通辽新城第一中学高三其他模拟（理））定义行列式运算，将函数的图像向左平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意得，

所以平移后解析式为，

因为其图象关于原点对称，为奇函数

所以，解得，

因为，令，可得的最小值为.

故选：B

2．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（    ）

A．(0，0) B．(，0)

C．(，0) D．以上选项都不对

【答案】D

【详解】

解：因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；

令3x+=，解得，k∈Z；

所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；

选项ABC都不正确，

故选：D.

3．（2021·天津市南开区南大奥宇培训学校高三其他模拟）函数的图象如图，把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，下列结论中：

①；②函数的最小正周期为；

③函数在区间上单调递增；④函数关于点中心对称

其中正确结论的个数是（    ）．

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【详解】

解：由图可知： ，

，

即，

又，，

由图可知：，

又，

，

且，

，

故，

当时，，解得：，满足条件，

，

故，

对①，由上述可知①错误；

对②，，

的最小正周期为，故②正确；

对③，令，

即，

令，此时单调递增区间为，且，故③正确；

对④，，

不是对称中心，故④错误；

故选：C.

4．（2021·安徽蚌埠市·蚌埠二中高三其他模拟（文））已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由条件可得，，作出两个函数图象，如图：

，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.

由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，

由，整理得，得，

则，所以，

要使为钝角三角形，只需即可，

由，所以.

故选：D.

5．（2021·四川自贡市·高三三模（理））已知，给出下列结论：

①若f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，则ω=1；

②存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；

③若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为；

④若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为.

其中，所有正确结论的编号是（    ）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④

【答案】D

【详解】

∵，

∴的最小正周期为.

对于① ：因为f(x1)=1，f(x2)=﹣1，且|x1﹣x2|min=π，所以的最小正周期为T=2π，

. 故① 错误；

对于② ：图象变换后所得函数为，

若其图象关于y轴对称，则，k∈Z，解得ω=1+3k，k∈Z，

当k=0时，.故② 正确；

对于③ ：设，当时，.

在上有7个零点，即在上有7个零点.

则，解得. 故③错误；

对于④ ：由，

得，

取k=0，可得，

若f(x)在上单调递增，则，解得.故④ 正确.

故选：D.

二、解答题

6．（2021·珠海市第二中学高三月考）从下面三个条件：①函数的图象关于直线对称；

②函数的图象关于点对称；

③函数在区间上单调递增

从中任选一个补充在下面的问题中，若问题中的正实数存在，求出的值；若不存在，说明理由．

已知函数的最小正周期不小于，且满足_______，是否存在正实数，使得函数在区间的最大值为？

【答案】若选①、②，不存在，理由见解析；若选③，存在满足题意.

【详解】

解：因为

即

由于函数的最小正周期不小于，所以，
所以，，
若选择，即的图像关于直线对称， 
有，解得，
由于，，，所以，，
此时，，
由，得，
因此当，即时，取得最大值，
令，解得，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数在上有最大值．

若选择，即的图象关于点对称，
则有，解得，
由于，，，所以，．

此时，．

由，得，因此当，即时，

取得最大值，
令，解得，不符合题意．

故不存在正实数a，使得函数在上有最大值；

若选择，即在上单调递增，
则有

解得
由于，，，所以，．

此时，．

由，得，
因此当，即时，取得最大值，
令，解得，符合题意．

故存在正实数，使得函数在上有最大值．

7．（2021·北京二中高三其他模拟）已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.

（1）请指出这三个条件，并说明理由；

（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.

【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）.

【详解】

（1）三个条件是：①③④，理由如下：

若满足②：因为，所以；

若满足③：因为，所以，所以，

若满足④：，

由此可知：若满足②，则③④均不满足，

所以满足的三个条件是：①③④；

（2）由③④知：，

由①知：，所以，所以，

又因为，或，

所以或，

所以，所以，

不妨令，所以，

当时，；当时，；当时，，

所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,

所以的取值范围是.

一、选择题

1．（2021·江苏淮安市·高三三模）比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而世界闻名.把地球看成一个球(球心记为)，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，的方向即为点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于北纬，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜，且其中轴线与竖直方向的夹角为，则中轴线与赤道所在平面所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解析如图所示，为比萨斜塔的中轴线，，，则，中轴线与赤道所在平面所成的角为.

故选:A.

2．（2021·运城市新康国际实验学校高三月考（文））三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积与大正方形面积之比为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题意得，因为，

，

所以，则，

所以，

所以，

因为，所以，

所以

，

故选：D

3．（2021·江西高三其他模拟（文））设地球表面某地正午太阳高度角为为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有.根据地理知识，某地区的纬度值约为北纬，当太阳直射南回归线(此时的太阳直射纬度为)时物体的影子最长，如果在当地某高度为的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡(如图所示)，两楼的距离应至少约为的（    ）倍.(注意)

A．0.5倍 B．0.8倍 C．1倍 D．1.25倍

【答案】D

【详解】

θ＝90°﹣|φ﹣ξ|＝|－（）|＝，设影长为，则

∴，∴

∴两楼的距离应至少约为h0的1.25倍．

故选：D．

4．（2021·北京高三一模）某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间：时，点与钟面上标12的点重合，当两点间的距离为（单位：cm），则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由题知，圆心角为，过O作AB的垂线，则．

故选：D

5．（2021·广东韶关市·高三一模）人的心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值､最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值.设某人的血压满足函数式，其中为血压(单位：)，为时间(单位：)，则下列说法正确的是（    ）

A．收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B．收缩压和舒张压均低于相应的标准值

C．收缩压高于标准值，舒张压低于标准值 D．收缩压低于标准值，舒张压高于标准值

【答案】C

【详解】

由三角函数知识，函数的最大值(即收缩压)为126，函数的最小值(即舒张压)为76，比较得：收缩压高与标准值，舒张压低于标准值，

故选：C.

二、解答题

6．（2021·宁夏银川市·高三其他模拟（理））某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为．记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）．

（1）若，求QN的长度；

（2）求新路总长度的最小值．

【答案】（1）1千米；（2）．

【详解】

（1）连接CB，CN，CM，

因为OM⊥ON，所以OM，ON，PM，QN均与圆C相切

所以CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，

所以CB⊥CA

因为∠PCA＝，∠PCQ＝，

所以∠QCB＝，

此时四边形BCQN是正方形，所以QN＝CQ＝1，

答：QN的长度为1千米；

（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝，

则MP＝，，NQ＝

设新路长为，其中（，），即

∴，

，当时取“＝”，

答：新路总长度的最小值为．

7．（2021·上海市实验学校高三开学考试）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，的长分别为和，上部是圆心为的劣弧，．

（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；

（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设与地面水平线所成的角为．记拱门上的点到地面的最大距离为，试用的函数表示，并求出的最大值．

【答案】（1）拱门最高点到地面的距离为．（2），其最大值为

【详解】

（1）如图，过作与地面垂直的直线交于点，交劣弧于点，的

长即为拱门最高点到地面的距离．

在中，，，

所以，圆的半径．

所以．

答：拱门最高点到地面的距离为．

（2）在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点．

当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆的半径长与圆心到地面距离之和；

当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离．

由（1）知，在中，．

以为坐标原点，直线为轴，建立如图所示的坐标系．

当点在劣弧上时，．

由，，

由三角函数定义，

得 ，

则．

所以当即时，

取得最大值．

当点在线段上时，．设，在中，

，

．

由，得．

所以 ．

又当时，．

所以在上递增．

所以当时，取得最大值．

因为，所以的最大值为．

综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）．