考点05 幂函数、指数函数以及对数函数-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

考点5幂函数、指数函数以及对数函数

指数函数的图象和性质

对数函数的图象和性质

一、选择题

1．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））若，则下列函数①；②；③；④；⑤满足条件的有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【详解】

只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.

故选：D.

2．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由是幂函数，知：，又在上，

∴，即，则且，

∴.

故选：D.

3．（2021·江苏无锡市·高三一模）若则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

①当或0时，成立；

②当时，，可有，解得；

③当且时，

若，则，解得

若，则，解得

所以

则原不等式的解为，

故选：B

4．（2021·江西赣州市·高三期末（理））若，，，其中为自然对数的底数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

因为函数在上单调递增，所以；

，由时，，即在单调递减，故，即，从而得

故.

故选：A

5．（2021·福建龙岩市·高三期中）幂函数满足,则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

设幂函数，

则，

解得，

所以

所以，

故选：A

二、解答题

6．（2021·江苏高三专题练习）已知幂函数f（x）＝（3m2﹣2m）x在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x2﹣4x+t.

（1）求实数m的值；

（2）当x∈[1，9]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.

【答案】（1）m＝1（2）﹣42≤t≤5

【详解】

(1)∵f(x)=(3m2﹣2m)x为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;

∴m=1;

(2)由(1)可得,

当x∈[1,9]时,f(x)值域为:[1,3],

g(x)=x2﹣4x+t的值域为:[t﹣4,t+45],

∴A=[1,3],B=[t﹣4,t+45];

∵命题p:x∈A,命题q:x∈B,且命题q是命题p的必要不充分条件,

∴A⫋B,

∴,

故实数t的取值范围为.

7．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数的图像关于y轴对称，且在上函数值随着x的增大而减小.

（1）求m值.

（2）若满足，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）因为函数在上单调递减，

所以，

解得.

又因为，所以，；

因为函数的图象关于轴对称，

所以为偶数，故.

（2）由（1）可知，，所以得，解得或，

即a的取值范围为.

一、选择题

1．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：根据题意，是定义在，上的偶函数，则有，则，

同时，即，则有，必有，

则，其定义域为，，

则，设，若，则有，

在区间，上，且为减函数，

在区间，上为增函数，

则在，上为减函数，其最大值为，

故选：．

2．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））函数的部分图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为，所以，解得，即函数的定义域为，又，故函数为奇函数，排除B；

当时，，，所以，故排除CD；

故选：A

3．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）已知实数满足等式，下列关系式中不可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

作出函数与函数的图像，如图，

当时，根据图像得，故A选项正确；

当时，根据图像得，故D选项正确；

当时，根据图像得，故B选项正确；

故不可能成立的是.

故选：C

4．（2021·宁夏银川市·高三二模（理））已知函数（    ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递减 D．是奇函数，且在单调递增

【答案】D

【详解】

因为，，

所以，即函数为奇函数，

当时，单调递增，

故选：D

5．（2021·河南洛阳市·高三三模（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，如：，，已知，则函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

，

当时，，则，则，此时，

当时，，则，

当时，，则，则，此时，

则对于函数，

当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时，

故的值域为.

故选：A.

二、解答题

6．（2021·上海高三三模）已知函数为实常数.

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.

【答案】（1）函数是奇函数，理由见解析；（2）.

【详解】

解：（1）当时，

即；故此时函数是奇函数；

因当时，，故

，且

于是此时函数既不是偶函数，也不是奇函数；

（2）因是奇函数，故由（1）知，从而；

由不等式，得，

令因，故

由于函数在单调递增，所以；

因此，当不等式在上恒成立时，

7．（2021·江苏高三专题练习）已知函数，且的解集为

（1）求函数的解析式

（2）解关于x的不等式（其中）

（3）设，若对任意的，都有，求t得取值范围

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【详解】

（1）由题意，是方程的两个根，

所以，解得，

所以；

（2）由题意，不等式即为

即，

①当时，不等式为，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为；

③当时，，不等式的解集为；

④当时，，不等式的解集为；

（3）由题意，，

对任意的，都有，

则当时，，

因为当时，，，

所以，

所以.

1．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由，得，所以函数的定义域为.

故选：C

2．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知函数，在R上单调递增，其中e为自然对数的底数，那么当m取得最大值时，关于x的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：因为函数在R上单调递增，则有，解得，

所以m的最大值为1，此时，

令，解得，

当时，，解得，所以，

当时，，解得，

综上，不等式的解集为，

故选：B.

3．（2021·四川宜宾市·高三三模（文））牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃？（结果保留整数，参考数据：）（    ）

A．9 B．8 C．7 D．6

【答案】C

【详解】

由题意知：分钟，

故选：C.

4．（2021·济南市·山东省实验中学高三二模）中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数满足，且当时的解析式为，则函数在的图象与直线围成封闭图形的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意知：关于对称，而，且，，

∴在，、及的图象如下，

∴将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到图示：由x轴、y轴、、所围成的矩形的面积，

∴函数在的图象与直线围成封闭图形的面积为.

故选：C

5．（2021·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）已知集合，则A＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由条件可知，解得：，

则.

故选：D

二、解答题

6．（2021·上海华师大二附中高三三模）已知.

（1）解不等式：；

（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.

【答案】（1）或；（2）或.

【详解】

（1）或；

（2）令，则

在区间上的最小值，在上的最大值为4，

当时，，；

当，，.

综上，或

7．（2021·全国高三专题练习）已知函数（且）.

（1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明；

（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）增区间为，减区间为；证明见解析；（2）.

【详解】

（1）由可得，则的定义域为，

，

当时，的增区间为，减区间为.

证明：设，的增区间为，减区间为，

当时，设，可得，，即，可得在递增；

设，可得，，

即，可得在递减.

（2）由，，可得，

所以，即为，解得，

即的取值范围是.