考点07 函数应用-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

考点7函数应用

一、选择题

1．（2021·全国高三其他模拟（文））若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由已知可得，

令则，

当时，则在上单调递增，

当时，则在[0，2)上单调递减，在上单调递增，

作出函数h(x)的大致图像如图所示，则有当或时，原方程恰有2个不同的实根，

令，，当单调递减且恒小于0，，当时函数单调递增，且，

故实数a的取值范围为.

故选：C

2．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（理））已知奇函数，当时，，且对任意都有成立.若方程在仅有2个不相等的实根，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：由题意，是奇函数，

∴

可得周期，

当时，，

当时，，

作出的图象如下图所示：

由图象可知，要使仅有2个交点，

即在只有一个解.

∴，

由，即

解得，此时满足题意.

故选：D.

3．（2021·天津高三一模）已知函数若方程有5个不等实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，所以一定是方程的一个实根，

当时，由题意可知：此时方程有四个非零实根，

由，设，问题转化为：函数与函数

有四个不同交点（交点不能在纵轴上），

（1）当时，，令 ，

则，

当时，函数单调递减，且 ，此时单调递增，且，所以 此时单调递减，且；

当时，函数单调递增，且 ，此时单调递增，且，所以 此时单调递增，且；

（2）当时，，令 ，

则，

当时，函数单调递增，且 ，此时单调递减，且，所以 此时单调递减，且；

（3）当时，，

当时，函数单调递增，此时 ，因此函数单调递减，

所以函数也单调递减，

所以，

当时，，函数单调递减，此时 ，因此函数单调递增，

所以函数也单调递增，因此 ，

所以函数在 时，与函数的图象如下图所示：

根据以上的分析函数的性质，结合图象可知：要想函数与函数

有四个不同交点（交点不能在纵轴上），只需或，

故选：D

4．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数 给出下列三个结论：① 当时，函数的单调递减区间为；② 若函数无最小值，则的取值范围为；③ 若且，则，使得函数恰有3个零点,,，且. 其中，所有正确结论的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】

①当时，，画出函数的图象，如下图，

由图象可知当时，函数单调递减，当时函数单调递减，但函数在时，函数并不单调递减，故①不正确；

②当时，时，函数单调递增，并且当时，，所以函数没有最小值；

当时，，，函数的最小值是0；

当时，时，函数单调递减，函数的最小值是1，当时，，的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，

综上，若函数没有最小值，只需满足，故②正确；

对于③，令，当时，，当时，，

不妨设，，，，

则，令，可得，

当时，，则三个零点，

当时，，则三个零点.

综上可知③正确；

故选：C

5．（2021·全国高三专题练习）已知函数，若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：设h(x)＝f(x)+m，

作出函数f(x)和g(x)的图象如图：

则h(x)是f(x)的图象上下平移得到，

由图象知B点的纵坐标为，

A点的纵坐标为，

当x＝2时，

，

结合对数函数和二次函数的图象与性质，可知要使方程恰有三个不相等的实数解，必须且只需与的图象有三个不同的交点，必须且只需，即,解得，

即实数m的取值范围是,

故选：C．

二、解答题

6．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三三模（文））已知，.

（1）解不等式；

（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）不等式，即为.

当时，即化为，得，此时不等式的解集为，

当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.

综上，不等式的解集为.

（2）,即.

作出函数的图象如图所示，

当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以.

所以实数的取值范围是.

7．（2021·上海高三二模）已知函数(为常数，).

（1）讨论函数的奇偶性；

（2）当为偶函数时，若方程在上有实根，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【详解】

（1）∵函数的定义域为，

又∵

∴①当时，即时，可得

即当时，函数为偶函数；

②当时，即时，可得

即当时，函数为奇函数.

（2）由（1）可得，当函数为偶函数时，，

即时，

由题可得，

令，则有

∵

∴，

又∵，当且仅当时，等号成立

根据对勾函数的性质可知，，即

①

此时的取值不存在；

②

此时，可得的取值为

综上可得

一、选择题

1．（2021·江苏南通市·高三一模）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强与标准声强(约为，单位：)之比的常用对数称作声强的声强级，记作(贝尔)，即.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度(分贝)与喷出的泉水高度()之间满足关系式，甲､乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为，.若甲同学大喝一声的声强大约相当于个乙同学同时大喝一声的声强，则的值约为（    ）

A．10 B．100 C．200 D．1000

【答案】B

【详解】

设甲同学的声强为，乙同学的声强为，则，，

两式相减即得,即从而，所以的值约为100.

故选：B.

2．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文名称，是由中国铁路总公司牵头组织研制､具有完全自主知识产权､达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强(单位：)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级(单位：)与声强的函数关系式为，已知时，.若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由已知得，解得，故.设某列车原来的声强级为，声强为，该列车的声强级降低后的声强级为，声强为，则，所以，解得.

故选：C.

3．（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（理））某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：

若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为　　

A．1500元 B．1550元 C．1750元 D．1800元

【答案】A

【详解】

设此商场购物总金额为元，可以获得的折扣金额为元，

由题设可知：，

因为，所以，所以，解得，

故此人购物实际所付金额为（元），故选A．

4．（2021·全国高三专题练习）电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”，成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的散点图如图所示，且该图表示的函数模型．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过小时才可以驾车，则的值为（    ）（参考数据：，）

车辆驾驶人员血液酒精含量阈值

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】B

【详解】

由散点图可知，该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其血液酒精含量大于20，

则令，即，

解得，

，的最小值为6，

故至少经过6小时才可以驾车.

故选：B.

5．（2021·全国）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ）

A．1.2天 B．1.8天

C．2.5天 D．3.5天

【答案】B

【详解】

因为，，，所以，所以，

设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，

则，所以，所以，

所以天.

故选：B.

二、解答题

6．（2021·全国高三专题练习）已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）.

【详解】

试题解析：（1）的定义域为，，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时，，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上，的取值范围为.

7．（2021·安徽滁州市·高三月考（文））水葫芦原产于巴西，年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为. 现水葫芦覆盖面积（单位）与经过时间个月的关系有两个函数模型与可供选择.

（参考数据： ）

（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（Ⅱ）求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.

【答案】（1）（2）原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.

【详解】

（Ⅰ）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢.

   则有，    解得 ，

（Ⅱ）当时，

该经过个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍. 有

答：原先投放的水葫芦的面积为8m2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的倍.