考点02 不等式-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

考点2不等式

不等式性质的应用方法

(1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等．

(2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项．

利用不等式性质判断命题真假的注意点

(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．

(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．

一、选择题

1．（2021·全国高三专题练习）若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

令，则，，，，

，因此，.

故选：C.

2．（2021·全国）已知，，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对于A中，令，此时满足，，但，所以不正确；

对于B中，由函数为上的单调递增函数，因为，所以，所以正确；

对于C中，令，此时满足，，但，所以不正确；

对于D中，令，此时满足，，但，所以不正确.

故选：B.

3．（2021·全国高三专题练习）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，则,所以D不成立 ,故选C.

4．（2021·全国高三专题练习）设，，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

分析：求出，得到的范围，进而可得结果．

详解：.

,即

又

即

故选B.

5．（2021·湖北孝感市·孝感高中高三月考）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

可知，

因为，

又，

所以，故，

而，

而，

所以，，即.

因此，.

故选：A.

二、解答题

6．（2021·陕西西安市·西安中学高三其他模拟（理））选修4-5：不等式选讲

已知函数，M为不等式的解集.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b时，.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【详解】

试题分析：（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．

试题解析：（I）

当时，由得解得；

当时，；

当时，由得解得.

所以的解集.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而

，

因此

一、选择题

1．（2021·全国）在中，，则的形状是

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】D

【详解】

由余弦定理可知，

两式相加，得到

所以，当且仅当时，等号成立，

而

所以，

因为，所以

所以，即，又，

所以是等边三角形，

故选D项.

2．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是.

A． B．2 C．4 D．8

【答案】B

【详解】

设，， ．

∵，，，∴，，两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即．

∵、、分别表示、、的面积，

∴，当且仅当时取等号

∴的最大值是，故选B．

3．（2021·浙江省杭州第二中学高三开学考试）已知某几何体的一条棱的长为，该棱在正视图中的投影长为，在侧视图与俯视图中的投影长为与，且，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【详解】

如图：构造长方体

设，在长方体中，DE为正视图中投影，BE为侧视图中投影，AC为俯视图的投影，

则，，

设，

则，，

所以，即，

由于，

所以，解得，

当且仅当时等号成立，

故选：C.

4．（2021·全国高三专题练习（文））已知实数满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

解：因为满足，

则

，

当且仅当时取等号，

故选：．

5．（2021·全国高三专题练习）《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在上取一点，使得，，过点作交圆周于，连接.作交于.则下列不等式可以表示的是

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.

在中，由射影定理可得，即，

由得，

故选A.

二、解答题

6．（2021·天水市第一中学高三月考（理））设函数.

（1）解不等式；

（2）已知的最小值为，正实数､满足，求的最小值，并指出此时､的值.

【答案】（1）；（2）最小值为，，.

【详解】

（1）

∵,

当时，，，所以 ；

当时，， ，所以；

当时，，，所以 ；

当时，，，所以；

∴不等式的解集为；

（2）由（1）可知的最小值为

所以,即

所以

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为，此时，.

7.（2021·山西高三二模（文））

（1）证明：；

（2）若，，求的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）因为，与且仅当时，等号成立，

令，则有，当且仅当时，等号成立，即.

（2）由（1）得，即，当且仅当时，等号成立，

所以，

又因为，

当且仅当时，等号成立，即，即，等号成立，

所以，即，

所以当，时，取到最大值，且最大值为.

一、选择题

1．（2021·江苏南京市·高三一模）不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

当时，，可得,

所以或，

又，所以；

当时，，可得，解得或，

又，所以；

综上，不等式的解集为.

故选：B.

2．（2021·兰州市第二十七中学高三月考（文））对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A．{a|a<2} B．{a|a≤2}

C．{a|－2<a<2} D．{a|－2<a≤2}

【答案】D

【详解】

当a－2＝0，即a＝2时，－4<0，恒成立，符合题意；

当a－2≠0时，由题意知，，解得－2<a<2，∴－2<a≤2，

故选:D．

3．（2021·全国高三专题练习（理））已知集合，非空集合，，则实数的取值范围为（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，由且为非空集合可知，

应满足，解得

故选：B

4．（2021·全国高三专题练习）若不等式 对任意实数 均成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意，不等式，可化为，

 当，即时，不等式恒成立，符合题意；

 当时，要使不等式恒成立，需 ，

解得，

综上所述，所以的取值范围为，

故选：.

5．（2021·全国高三专题练习）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝{x|＞0}，那么集合A∩(∁UB)＝(　　)

A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}

C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3}

【答案】D

【详解】

依题意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，故∁UB＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D.

二、解答题

6．（2021·江苏高三专题练习）已知函数（，为常数）.

（1）若，解关于的不等式；

（2）若，当时，，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【详解】

（1），所以

所以

等价于

①当时，即时，不等式的解集为

②当时，即时，不等式的解集为

③当时，即时，不等式的解集为

（2）因为，，

所以

显然：由时不等式恒成立，

可知；

当时，，

令，

（当且仅当即时取等号），

所以，又因为

所以.

7．（2021·全国高三专题练习），，．

（1）当时，求的的取值范围；

（2）解关于的不等式的解集；

（3）对于任意的，恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）当时，，当时，，当时，；（3）.

【详解】

解：（1）当时，

∴，即

∴

∴

（2）由，得 ，即，

①当时，

②当时，

③当时，

（3），

恒成立

法一：（！）当，即时

∴，即

∴

（！！）当，即时

即，无解

由（！）（！！）得

（法二）

，

即等价于

令

则，

恒成立

∴在单调递增

∴

∴

即