考点04 函数的概念与性质-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

考点4函数的概念与性质

求函数定义域的类型与方法

(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．

(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

(3)复合函数问题：

①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；

②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．

注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．

一、选择题

1．（2021·浙江温州市·高三三模）函数的图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：由图象可知，函数的偶函数，即，即，

则，B不正确；由图象可知，有解，即，故AC不正确，

故选:D.

2．（2021·陕西宝鸡市·高三三模（文））切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差对任意的，函数的最大值为E，即，把使E取得最小值时的直线叫切比雪夫直线，已知，有同学估算出了切比雪夫直线中x的系数，在这个前提下，b的值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【详解】

当时，令，则，

所以，而的最大值必然在端点处取得，

故，

当得时，的最大值为，此时使E取得最小值时，当得时，的最大值为，而，

综上，.

故选：C.

3．（2021·山东日照市·高三一模）如图所示，单位圆上一定点与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿轴正向滚动一周，则点形成的轨迹为（ ）

A．B．
 

C．D．
 

【答案】A

【详解】

如图所示，记为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，

因为圆的周长为，所以，且圆上点的纵坐标最大值为，

当圆逆时针滚动单位长度时，此时的相对位置互换，所以的纵坐标为，排除BCD，

故选：A.

4．（2021·安徽宣城市·高三期末（理））函数在上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

因为，

故是奇函数，排除选项C，D；

又，排除B，

故选：A.

5．（2021·江苏高三专题练习）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（    ）

A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个

B．可以是某个圆的“优美函数”

C．正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”

D．函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形

【答案】D

【详解】

解：对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，

所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；

对于B：因为函数图象关于原点成中心对称，

所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆的“优美函数”，

故选项B正确；

对于C：将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，

则正弦函数是该圆的“优美函数”，故选项C正确；

对于D：函数的图象是中心对称图形，

则函数不一定是“优美函数”，如；

但是函数是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，

如图所示：

所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数”

的不充分不必要条件，故选项D错误，

故选：D.

一、选择题

1.（2021·云南高三二模（文））已知函数，若，且，设，则（    ）

A．没有最小值 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】B

【详解】

如图，作出函数的图象，

且，则，且，

，即.

由，解得.

，

又，当时，.

故选：B.

2．（2021·全国高三专题练习）已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

画出函数图像如下图所示，由于，故，即，由推向可知，故选D.

3．（2021·隆德县中学（文））函数，则（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【详解】

因为，所以，

故选：C.

4．（2021·全国高三其他模拟（理））若函数的图象经过点，则曲线在点处的切线的斜率（    ）

A．e B． C． D．

【答案】D

【详解】

函数的图象经过点,所以，解得，

即函数，又，

得曲线在点处切线的斜率.

故选：D

5．（2021·河南高三月考（文））如图，在正方形中，点从点出发，沿向，以每个单位的速度在正方形的边上运动；点从点出发，沿方向，以每秒个单位的速度在正方形的边上运动.点与点同时出发，运动时间为(单位：秒)，的面积为(规定共线时其面积为零，则点第一次到达点时，的图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

根据题意，当,的面积为；

当,的面积为；

当,的面积为；

当,的面积为；

所以

所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图像为选项A.

故选:A.

二、解答题

6．（2021·山西阳泉市·高三三模（文））设函数．

（1）求的最小值；

（2）在（1）的件下，证明．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】

(1)

在递减，在递增，

当时，的最小值为

(2)证明：

当时，原式

当时，原式

，

或用如下方法：

．

7．（2021·全国高三专题练习）已知函数．

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；

（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．

【答案】（1）和；（2）；（3）．

【详解】

试题分析：（1）a=3时，，由此能求出f（x）的单调减区间．

（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，由此能求出所有的实数a．

（3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；当a∈（2，4]时和当a∈[-4，-2）时，等价转化f（x）的表达式，利用函数的单调性能得到实数t的取值范围．

试题解析：（1）由得函数的单调递增区间为和；

（2）由题意得对任意的实数，恒成立，

即，当恒成立，即，，，

故只要且在上恒成立即可，

在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可，

而当时，，为增函数，；

当时，，为增函数，，所以；

（3）当时，在R上是增函数，则关于x的方程不可能有三个不等的实数根；则当时，由得

时，对称轴，则在为增函数，此时的值域为，

时，对称轴，

则在为增函数，此时的值域为，

在为减函数，此时的值域为；

由存在，方程有三个不相等的实根，则，

即存在，使得即可，令，

只要使即可，而在上是增函数，，

故实数的取值范围为；同理可求当时，的取值范围为；

综上所述，实数的取值范围为．

一、选择题

1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数f(x)满足：对任意x∈R，f(﹣x)=﹣f(x)，f(2﹣x)=f(2+x)，且在区间[0，2]上，f(x)=+cosx﹣1，m=f()，n=f(7)，t=f(10)，则（    ）

A．m<n<t B．n<m<t C．m<t<n D．n<t<m

【答案】B

【详解】

∵f(﹣x)=﹣f(x)，f(2﹣x)=f(2+x)，

∴f(x)为奇函数，且关于x=2对称.

将x换成x+2，则f(2﹣(x+2))=f(2+x+2)，即f(﹣x)=f(x+4)=﹣f(x)，

将x换成x+4，则f(x+8)=﹣f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期为8，

∴ f（7）=f(8﹣1)=f(﹣1)=﹣f（1），

f(10)=f(8+2)=f（2），

当时，f(x)=+cosx﹣1，f′(x)=x﹣sinx，

令，则，

所以在上单调递增，则，

即当时，，所以在上单调递增，

即当时，f(x)≥f(0)=0.

∴﹣f（1）<0，0<f()<f（2），∴f（7）<f()<f(10)，即n<m<t.

故选：B.

2．（2021·全国高三其他模拟）已知函数，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

因为，

所以，

所以，即，

易知函数在上单调递减，所以，

即，解得或.

故选A.

3．（2021·浙江高三其他模拟）已知，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

，即，记，

显然在上单调递增，所以，所以，

故选：C.

4．（2021·上海高三二模）已知函数满足：对任意，都有．

命题：若是增函数，则不是减函数；

命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值．

则下列判断正确的是（    ）

A．和都是真命题 B．和都是假命题

C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题

【答案】A

【详解】

对于命题：设，因为是上的增函数，所以，

所以，

因为，

所以

所以

故函数不是减函数，

故命题为真命题；

对于命题在上有最大值，此时，有最小值，此时，

因为，

所以，

所以也有最大值和最小值，故命题为真命题．

故选：A

5．（2021·江西鹰潭市·高三一模（理））已知奇函数的定义域为，其导函数是．当时，，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：设，∴，

∵当时，，∴，

∴在上单调递减，∵是定义在上的奇函数，

故，∴是定义在上的偶函数．

∴在上单调递增．①当时，，

则不等式可转化为，

即，∴，故．

②当时，，

则不等式可转化为，

即，∴，故．

不等式的解集为．

故选：D．

二、解答题

6．（2021·全国高三专题练习）已知函数.

（1）若对于任意，恒有成立，求实数a的取值范围；

（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）对任意的，恒有，即，

 整理得对任意的恒成立，

因此，实数a的取值范围是.   

（2）.

当，即时，函数在上单调递增，

在上单调递减，此时；

当，即时，在[0, 2]上单调递增，

此时

综上所述，

7．（2021·全国高三专题练习）已知函数满足，当时，，且.

（1）求的值，并判断的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；在上为增函数；（2）.

【详解】

（1）令，得，得，

令，得，得；

设是任意两个不相等的实数，且，所以，所以

，

因为，所以，所以，

因此

即在上为增函数；

（2）因为，即，即，

又，所以，

又因为在上为增函数，所以在上恒成立；

得在上恒成立，

即在上恒成立，

因为，当时，取最小值，所以；

即时满足题意.

一、选择题

1．（2021·全国高三其他模拟（文））已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

因为偶函数y=f(x)在区间(﹣∞，0]上是减函数，

所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，

对于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）<f（3）=f(﹣3)，故A错误；

对于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B错误；

对于C､D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）<f（2），故C错误，D正确.

故选：D.

2．（2021·全国高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

3．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

4．（2021·浙江高三其他模拟）函数在上的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

设，

则，

所以为奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，

又当x=1时，，排除D.

故选：B

5．（2021·江苏泰州市·高三其他模拟）已知函数，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

显然，函数是定义域为的偶函数.

当时，，所以是减函数，且；

所以当时，是增函数，且.

因此，当或时，；当时，.

所以，或

或

或.

故的解集为.

故选：A.

二、解答题

6．（2021·江苏高三专题练习）已知函数是上的奇函数，当时，．

（1）当时，求的解析式；

（2）若，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】

（1）根据题意，当时，，则，

又由是上的奇函数，则，

故；

（2）当时，，则在上为增函数，

又由是上的奇函数，则在上也为增函数，

由于函数在处连续，故在上为增函数，

由可得，

，解得.

因此，实数的取值范围是.

7．（2021·浙江高三学业考试）设，已知函数.

（1）若是奇函数，求的值；

（2）当时，证明：；

（3）设，若实数满足，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【详解】

解：（1）由题意，对任意，都有，

即，亦即，因此；

（2）证明：因为，，

.

所以，.

（3）设，则，

当时，；

当时，；

，，

所以.

由得，即.

①当时，，，所以；

②当时，由（2）知，

，等号不能同时成立.

综上可知.