考点11 复数-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

考点11复数

一、选择题

1．（2021·福建厦门市·高三二模）已知i为虚数单位，，则（    ）

A．5 B．7 C．9 D．25

【答案】A

【详解】

因为，

所以，

所以,

故选：A.

2．（2021·全国高三其他模拟）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，则的最小值等于（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【详解】

由题意知，所以当时，取得最小值1．

故选：B.

3．（2021·上海华师大二附中高三三模）已知，则“”是“z为纯虚数”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【详解】

为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立；

z为纯虚数，故必要性成立；

故答案选：B

4．（2021·浙江温州市·高三其他模拟）已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z的虚部是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为复数z的实部为，

所以，

因为，

所以，

解得，（舍去），

所以复数z的虚部．

故选：A

5．（2021·广东江门市·高三一模）欧拉是十八世纪伟大的数学家，他巧妙地把自然对数的底数、虚数单位、三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”，根据该公式，可得（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】C

【详解】

根据该公式，可得，

故选：C.

二、解答题

6．（2021·全国高三专题练习）已知复数，其中为虚数单位，对于任意复数，有，．

（1）求的值；

（2）若复数满足，求的取值范围；

（3）我们把上述关系式看作复平面上表示复数的点和表示复数的点之间的一个变换，问是否存在一条直线，若点在直线上，则点仍然在直线上？如果存在，求出直线的方程，否则，说明理由．

【答案】（1）2；（2）；（3）存在，直线方程，理由见解析

【详解】

（1）因为，所以，

故，所以，

又，

故；

（2）由，得复数的轨迹是点，的中垂线，

又,

所以，

即，

故的取值范围为；

（3）设，，

由，得，①

设存在直线满足题意，则直线一定过原点，故设直线的方程为，②

由题意知：把①代入②可得，③

把②代入③可得，解得，

故存在直线，其方程为.

7．（2021·全国高三专题练习）复数所对应的点在点及为端点的线段上运动，复数满足，求：

（1）复数模的取值范围；

（2）复数对应的点的轨迹方程.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）设，

则；

（2）；

一、选择题

1．（2021·广东佛山市·石门中学高三其他模拟）设，其中，是实数，是虚数单位，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】D

【详解】

,

为实数，所以,

故选：D.

2．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））设复数的共轭复数为，且满足，为虚数单位，则复数的虚部是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【详解】

令，则，

∴，即复数的虚部是.

故选：A

3．（2021·全国高三其他模拟（理））设复数满足为纯虚数，在复平面内所对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意可知，，

则，

若为纯虚数，则，即.

故选：C

4．（2021·辽宁高三其他模拟）已知复数，(是虚数单位)，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

∵，，

∴

.

故选：B.

5．（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））若复数满足（是虚数单位），则（    ）

A． B．

C． D．2

【答案】A

【详解】

可得，

所以

，

故选：A

二、解答题

6．（2021·全国高三专题练习）已知虚数满足

（1）求；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）依题意

，

所以，所以.

（2）依题意，

即

，

所以.

由得，

所以，

所以.

7．（2021·浙江高三期末）已知复数（是虚数单位）．

（I）求复数z的模长；

（Ⅱ）若．求的值．

【答案】（I）（Ⅱ）

【详解】

解：（I），所以

（Ⅱ）因为，即，所以，所以解得

一、选择题

1．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）设复数满足，且在复平面内对应的点为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

因为在复平面内对应的点为，所以，则,

所以，所以，

整理得.

故选：D.

2．（2021·新余市第一中学高三其他模拟（理））设复数，且在复平面上对应的点分别为，则（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【详解】

由于，得

由得

所以

故选：D

3．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三其他模拟）已知复数满足，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】

设，则，，

因为，

所以，即，

整理得b=0，所以，

所以，

当a=0时，最小值为2.

故选：B

4．（2021·浙江高三期末）欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是由欧拉公式：令得到的．根据欧拉公式，在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【详解】

解：因为，

所以在复平面内所对应的点的坐标为位于第二象限，

故选：B

5．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知复数，在复平面内复数所对应的两点之间的距离为（    ）

A． B．

C．4 D．10

【答案】A

【详解】

由可得，

所以在复平面内复数所对应的两点分别为：，

该两点之间的距离为，

故选：A

二、解答题

6．（2021·全国高三专题练习）已知复数满足(其中是虚数单位).

（1）在复平面内，若复数的共轭复数对应的点在直线上，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2），.

【详解】

解：（1）由，得，

，

由题意，，解得；

（2）由，得，

解得：.

实数的取值范围，.

7．（2021·全国高三专题练习）（1）已知关于的实系数方程，若是方程的一个复数根，求出，的值；

（2）已知，，均为实数，且复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.

【答案】（1） （2）

【详解】

（1）由题得，

解得

（2）设，为实数，.为实数，，.，

由已知得解得，即的取值范围是.

一、选择题

1．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

解：根据复数乘方公式：，得

.

故选：D.

2．（2021·全国高三专题练习（理））大数学家欧拉发现了一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数.此公式被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，（    ）（注：底数是正实数的实数指数幂的运算律适用于复数指数幂的运算）

A．1 B． C．i D．

【答案】D

【详解】

因为，

所以，

故选：D.

3．（2021·福建厦门市·厦门双十中学高三其他模拟）已知复数对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为，且复数的模为2，则复数为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【详解】

设复数，

∵向量与实轴正向的夹角为且复数的模为，

∴，，

∴．

故选:D.

4．（2021·河南郑州市·高三三模（理））1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，设复数，根据欧拉公式可知，表示的复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意知：，而，

∴，即虚部为.

故选：C.

5．（2021·全国高三三模）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若表示的复数对应的点在第二象限，则可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

得，

当时，，复数对应的点在第一象限；

当时，，复数对应的点在第二象限；

当时，，复数对应的点在轴上；

当时，，复数对应的点在第四象限；

故选：B．

二、解答题

6．（2021·全国高三专题练习）设复平面上点，，…，，…分别对应复数，，…，，…

（1）设，（，），用数学归纳法证明：，

（2）已知，且（为实常数），求出数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【详解】

（1）证明：当时，左边，右边，

左边=右边，即等式成立；

假设当时等式成立，即：，

则当时，

，

即当时，等式成立；

综上，对，

（2） = =1， 

且 （为实常数），

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以该数列的通项公式为

（3）在（2）的条件下，

所以 .

 ，

  ..