考点03 指数与对数-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

  考点3指数与对数

指数、对数的运算应遵循的原则

指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．

一、选择题

1．（2021·全国高三月考（理））已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，，所以.

故选：A.

2．（2021·全国高三专题练习）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

【详解】

，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

3．（2021·全国高三专题练习）“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

∵ln（x+1）＜00＜x+1＜1﹣1＜x＜0，

∴﹣1＜x＜0，但时，不一定有﹣1＜x＜0，如x=-3，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选B.

4．（2021·江西新余市·高三二模（文））已知正实数，，满足，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：∵ 正实数，，满足，

∴ 设，

则，，，

∴ ．

故选C．

5．（2021·江苏省滨海中学高三其他模拟）已知，，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

试题分析：因为所以选C．

6．（2021·全国高三专题练习（文））已知,,,则的最小值是（    ）.

A．3 B． C． D．9

【答案】A

【详解】

,,,

所以,即,

则,

当且仅当且即,时取等号,

则的最小值是3.

故选：A

7．（2021·江苏南京市·南京一中高三月考）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为.那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（    ）

A．倍 B．倍

C．倍 D．倍

【答案】C

【详解】

设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，

由题意可得，解得，

，解得，

所以，

因此喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.

故选：C

8．（2021·全国高三专题练习（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

【答案】A

【详解】

两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

二、填空题

9．（2021·贵州贵阳市·高三期末（文））若，则=___________________

【答案】

【详解】

因为

所以

所以

10．（2021·宁夏中卫市·高三二模（文））已知函数，则_____.

【答案】8.

【详解】

∵函数，

则，

∴.

故答案为：8.

11．（2021·全国高三专题练习）已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．

【答案】6

【详解】

函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．

则：，

整理得：=1，

解得：2p+q=a2pq，

由于：2p+q=36pq，

所以：a2=36，

由于a＞0，

故：a=6．

故答案为6

12．（2021·甘肃省会宁县第四中学高三月考（文））已知函数f(x)=，则的值为________.

【答案】

【详解】

因为>0，所以，

所以.

故答案为：.

三、解答题

13．（2021·全国高一课时练习）求下列各式的值：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【详解】

（1）设，则，所以；

（2）设，则，即，所以；

（3）；

（4）.

14．（2021·全国高一课时练习）计算下列各式的值：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

【答案】（1）；（2）1；（3）；（4）1．

【详解】

（1）；

（2）；

（3）

；

（4）

．

15．（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：

（1）　

（2）

（3）

【答案】（1）；（2）8；（3）．

【详解】

（1） 原式＝＝－2×10＝－20

（2） 原式＝××＝××＝8．

（3） 原式＝＝．

16．（2021·全国高一单元测试）设，，均为正数，且.

（1）试求，，之间的关系.

（2）求使成立，且与最近的正整数（即求与的差的绝对值最小的整数）.

（3）比较，，的大小.

【答案】（1）；（2）3；（3）.

【详解】

设，由，，均为正数知.

故取以为底的对数，可得.

∴，，.

（1），

∴，，之间的关系为.

（2）.

由，得，从而.

而，.

由知，

∴.

从而所求正整数为3.

（3）∵

.

而，，，，∴.

又∵，

而，，，，∴.

故有.