考点08 平面向量-备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）（解析版）

备战2022年高考数学一轮复习考点针对训练（江苏专用）

考点8平面向量

一、选择题

1．（2021·全国高三专题练习（理））设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则．上述命题中，假命题的个数是（    ）

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】D

【详解】

向量是既有大小又有方向的量，的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；

若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时，故②③也是假命题．

综上所述，假命题的个数是3．

故选：D

2．（2021·全国高三专题练习（理））已知单位向量､､，满足.若常数､､的取值集合为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由条件得，

和的取值只有三种可能，分别为､､，

但二者不可能同时一个取，另一个取，

∴的化简结果只有四种形式：､､､，

而，故所有可能取值只有或两种结果，

∴的最大值为.

故选：B

3．（2021·广东高三专题练习）设是非零向量，则“”是“” 成立的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】

依题意是非零向量，

表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，

当时，的方向相同，所以，

当时，的方向相同，但不一定有，如也符合，

所以“”是“” 成立的充分不必要条件.

故选：B

4．（2021·全国高三专题练习（文））已知点，则与向量同方向的单位向量是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

试题分析：与向量同方向的单位向量是.

5．（2021·全国高三专题练习）与向量平行的单位向量为

A． B． C．或D．

【答案】C

【详解】

向量平行的单位向量为，即或，

故选：.

一、选择题

1．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三月考（文））若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：，

，

，

，

，

设与的夹角为，

．

，，

．

故选：D．

2．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（理））在中，若，则下列说法正确的是（    ）

A．是的外心 B．是的内心

C．是的重心. D．是的垂心

【答案】D

【详解】

∵，∴，

∴，∴，

同理由，得到，

∴点是的三条高的交点.

故选：D

3．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（    ）

A．8 B． C． D．4

【答案】C

【详解】

以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则．

圆的方程为，可设，

所以．

故．

故选：C．

4．（2021·浙江高三其他模拟）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】B

【详解】

解：由得，说明的终点的轨迹是以的终点为圆心，为半径的圆，

的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为，

，（当且仅当时取等号）．

故选：．

5．（2021·山西高三三模（文））已知△ABC的重心为O，则向量（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

设分别是的中点，

由于是三角形的重心，

所以.

故选：C

二、解答题

6．（2021·浙江高三专题练习）如图，在四边形中，，，，为等边三角形，是的中点.设，.

（1）用，表示，，

（2）求与夹角的余弦值.

【答案】（1），；（2）.

【详解】

解法一：

（1）由图可知.

因为E是CD的中点，所以.

（2）因为，为等边三角形，所以，，

所以，

所以，

.

设与的夹角为，则，

所以在与夹角的余弦值为.

解法二：（1）同解法一.

（2）以A为原点，AD所在直线为x轴，过A且与AD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，

则，，，.

因为E是CD的中点，所以，

所以，，

所以，

.

设与的夹角为，则，

所以与夹角的余弦值为.

7．（2021·浙江高三期末）已知向量，，其中，，求

（1）；

（2）与的夹角的余弦值．

【答案】（1）；（2）

【详解】

解：（1）由题知，，

所以

所以

（2）设与的夹角为，

所以由夹角公式得：

所以与的夹角的余弦值为

一、选择题

1．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图①)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形(如图②)，所得六角形共有12条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线.已知点O是六角形的对称中心，A，B是六角形的两个顶点，动点P在六角形上(内部以及边界).若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

如图，设，，求的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，讨论如下：

当点P在A处时，，，故；

当点P在B处时，，，故；

当点P在C处时，，故；

当点P在D处时，，故；

当点P在E处时，，故；

当点P在F处时，，故.

于是的最大值为5.

根据其对称性可知的最小值为，故的取值范围是.

故选：C.

2．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）如图，O为正六边形的中心，则下列的终点P落在内部(不含边界)的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

对于A：，以O为公共起点，､为邻边作平行四边形，得对角线，显然点P不在△内部；

对于B：，以O为公共起点，､为邻边作平行四边形，得对角线，显然点P在△内部；

对于C：，以O为公共起点，､为邻边作平行四边形，得对角线，显然点P不在△内部；

对于D：，以O为公共起点，､为邻边作平行四边形，得对角线，显然点P不在△内部.

故选：B.

3．（2021·重庆一中高三月考）已知向量，，则（    ）

A． B．2 C． D．5

【答案】A

【详解】

,

故选：A.

4．（2021·山东泰安市·高三三模）已知平面四边形满足，平面内点满足，与交于点，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

易知，，

，

∴，

故选：C .

5．（2021·山东潍坊市·高三三模）如图，在平行四边形中，，若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】D

【详解】

,

又∵，不共线 ，

根据平面向量基本定理可得,

∴,

故选：D.

二、解答题

6．（2021·浙江高三期末）如图，已知中，，设．

（Ⅰ）若D是的中点，用分别表示向量；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）求与的夹角的余弦值．

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【详解】

解：（Ⅰ）依题意D是的中点，，所以，

（Ⅱ）因为，所以

所以

（Ⅲ），设与的夹角为，则

7．（2021·江苏高三专题练习）如图，在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且．设．

（1）试用基底，表示；

（2）若G为长方形ABCD内部一点，且．求证：E，G，F三点共线．

【答案】（1）,；（2）证明见解析．

【详解】

（1）由题可知：＝，

（2），

共线，

且有一公共点，

∴E，G，F三点共线．

一、选择题

1．（2021·浙江金华市·高三三模）半径为1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C为弧上的动点，已知，记，则（    ）

A．若m+n=3，则M的最小值为3  B．若m+n=3，则有唯一C点使M取最小值

C．若m·n=3，则M的最小值为3  D．若m·n=3，则有唯一C点使M取最小值

【答案】A

【详解】

解：利用特值法判定.如图，圆弧是将圆弧以O为中心放大到原来的3倍得到.

若,取时,

，当C与A重合时取得最小值3，

同理当时，C与B重合时M取得最小值3；

故若m+n=3，则使M取最小值的点可能与重合，也可能与重合，不唯一；

若,取时,

，当C与A重合时取得最小值，

同理当时，C与B重合时M取得最小值；

故若m·n=3，则M的最小值不一定为3，使M取最小值的点可能与重合，也可能与重合，不唯一；

综上，判定BCD错误，

故选：A.

2．（2021·重庆巴蜀中学高三月考）如图，四边形ABCD满足：．若点M为线段BD上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由题意知：，有且，即，

∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴构建直角坐标系，

设点，且满足，点，

∴，其中，

当时，的最小值为，

故选：B．

3．（2021·贵州高三二模（理））已知平面向量，，其中，向量与的夹角为，则的最大值为（    ）

A． B．3 C．4 D．

【答案】C

【详解】

设，，则，，

又向量与的夹角为，则，即C点的轨迹为优弧上的点，

则圆心角，三角形AOB为正三角形，圆半径，

则当取圆O的直径向量时，取最大值为4.

故选：C.

4．（2021·浙江高三其他模拟）在中，，若，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则，.设点，由，

可得，化简得 ，

故点的轨迹为圆（不包含与轴的交点），记圆与轴的交点分别为，（在的左侧）则，，

所以，.

故选:C.

5．（2021·天津高三二模）在直角梯形中，，，，为边上一点，，为直线上一点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

以为原点，、所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

所以，

设，则，，因为，

所以，解得，，

所以直线所在的直线方程为，设，

，，

所以

，因为为直线上一点，

所以当时有最大值，为，

故选：C.